Rotationsbewegung – Probleme und Lösungen

Rotationsbewegung – Probleme und Lösungen

Drehmoment

1. Ein Balken ist 140 cm lang. Drei Kräfte wirken auf den Balken: F₁ ₌ 20 N, F₂ ₌ 10 N und F₃ ₌ 40 N. Richtung und Position der Kräfte sind in der Abbildung unten dargestellt. Welches Drehmoment bewirkt die Rotation des Balkens um seinen Schwerpunkt?

Bekannt:

Der Massenschwerpunkt befindet sich in der Mitte des Balkens.

Balkenlänge (l) = 140 cm = 1.4 Meter

Kraft 1 (F₃ ₎ = 20 N, Hebelarm 1 (l₃ ₎ = 70 cm = 0.7 Meter

Kraft 2 (F₂ ₎ = 10 N, Hebelarm 2 (l₂ ₎ = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 Meter

Kraft 3 (F₃ ₎ = 40 N, Hebelarm 3 (l₃ ₎ = 70 cm = 0.7 Meter

Gesucht: Die Größe des Drehmoments

Lösung:

Das Drehmoment 1 dreht den Balken im Uhrzeigersinn, daher wird dem Drehmoment 1 ein negatives Vorzeichen zugewiesen.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Das Drehmoment 2 dreht den Balken gegen den Uhrzeigersinn, daher wird dem Drehmoment 2 ein positives Vorzeichen zugewiesen.

τ² ₌ F²l² = ( _{10 N )} (0.3 m) = 3 N m

Das Drehmoment 3 dreht den Balken im Uhrzeigersinn, daher wird dem Drehmoment 3 ein positives Vorzeichen zugewiesen.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Das resultierende Drehmoment:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

Das Drehmoment beträgt 39 Nm. Die Drehrichtung des Balkens ist im Uhrzeigersinn, daher wird ein negatives Vorzeichen zugewiesen.

2. Welches resultierende Drehmoment wirkt auf den Balken? Die Drehachse befindet sich im Punkt D. (sin 53 ^o = 0.8)

Bekannt:

Die Rotationsachse im Punkt D

F ₁ = 10 N und l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 Meter

F ₂ = 10√2 N und l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 Meter

F ₃ = 20 N und l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 Meter

Gesucht: Das Nettodrehmoment

Lösung:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Das Drehmoment 1 dreht den Balken gegen den Uhrzeigersinn, daher weisen wir dem Drehmoment 1 ein positives Vorzeichen zu.)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Das Drehmoment 2 dreht den Balken im Uhrzeigersinn, daher geben wir dem Drehmoment 2 ein negatives Vorzeichen.)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Das Drehmoment 3 dreht den Balken gegen den Uhrzeigersinn, daher weisen wir dem Drehmoment 3 ein positives Vorzeichen zu.)

Das resultierende Drehmoment:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Wie groß ist das resultierende Drehmoment, wenn die Drehachse im Punkt D liegt? (sin 53 ^o = 0.8)

Bekannt:

Die Rotationsachse befindet sich im Punkt D.

Abstand zwischen F1 _und der Drehachse (rAD ₎ = 40 cm = 0.4 m

Abstand zwischen F ₂ und der Drehachse (r _BD ) = 20 cm = 0.2 m

Abstand zwischen F ₃ und der Drehachse (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F ₁ = 10 Newton

F ₂ = 10√2 Newton

F ₃ = 20 Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Gesucht: Das Nettodrehmoment

Lösung:

Das Moment der Kraft 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Das Drehmoment 1 dreht den Balken gegen den Uhrzeigersinn, daher weisen wir dem Drehmoment 1 ein positives Vorzeichen zu.)

Das Moment der Kraft 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Das Drehmoment 2 dreht den Balken im Uhrzeigersinn, daher geben wir dem Drehmoment 2 ein negatives Vorzeichen.)

Das Moment der Kraft 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Das Drehmoment 2 dreht den Balken gegen den Uhrzeigersinn, daher weisen wir dem Drehmoment 3 ein positives Vorzeichen zu.)

Das resultierende Drehmoment:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Das Trägheitsmoment

4. Drahtlänge = 12 m, l₁ ₌ 4 m. Die Masse des Drahtes wird vernachlässigt. Wie groß ist das Trägheitsmoment des Systems?

Bekannt:

Masse von A (m _A ) = 0.2 kg

Masse von B (m _B ) = 0.6 kg

Abstand zwischen A und der Drehachse (r _A ) = 4 Meter

Abstand zwischen B und der Drehachse (r _B ) = 12 – 4 = 8 Meter

Gesucht: Das Trägheitsmoment des Systems

Lösung:

Das Trägheitsmoment von A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Das Trägheitsmoment von B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Das Trägheitsmoment des Systems:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotationsdynamik

5. Auf eine um eine Rolle der Masse M = 5 kg und des Radius R = 20 cm gewickelte Schnur wirkt eine Kraft von 6 N. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung der Rolle? Die Rolle ist ein homogener Vollzylinder.

Bekannt:

Kraft (F) = 6 Newton

Masse (M) = 5 kg

Radius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Gesucht: Winkelbeschleunigung (α)

Lösung:

Das Moment der Kraft:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 Meter) = 1.2 N·m

Das Trägheitsmoment eines Vollzylinders:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 m ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

Die Winkelbeschleunigung:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Ein Block der Masse 4 kg hängt an einem Seil, das um eine Rolle der Masse 8 kg und des Radius R = 10 cm gewickelt ist. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ ^s² . Wie groß ist die Bahnbeschleunigung des Blocks? Die Rolle ist ein homogener Vollzylinder.

Bekannt:

Masse der Rolle (m) = 8 kg

Radius der Rolle (r) = 10 cm = 0.1 m

Masse des Blocks (m) = 4 kg

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gewicht (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Gesucht: Die Fallbeschleunigung des Blocks

Lösung:

Das Trägheitsmoment des Vollzylinders:

I = 1/2 MR² ⁼ 1/2 (8 kg)(0.1 m) ^² = (4 kg)(0.01 m² ⁾ = 0.04 kg ^m²

Das Moment der Kraft:

τ = Fr = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

Die Winkelbeschleunigung:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

Die lineare Beschleunigung:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Ein Block der Masse m hängt an einem Seil, das um eine Rolle gewickelt ist. Wenn die Fallbeschleunigung des Blocks m/s² beträgt ^, wie groß ist das Trägheitsmoment der Rolle?

Bekannt:

Gewicht = w = mg

Hebelarm = R

Die Winkelbeschleunigung = α

Die Fallbeschleunigung des Blocks beträgt a ms ^-2

Gesucht: Das Trägheitsmoment der Rolle (I)

Lösung:

Der Zusammenhang zwischen linearer Beschleunigung und Winkelbeschleunigung:

a = R α

α = a / R

Das Trägheitsmoment:

τ = I α

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

Der Drehimpuls

8. Ein 0.2 Gramm schweres Teilchen bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von 10 m/s auf einer Kreisbahn. Der Radius der Kreisbahn beträgt 3 cm. Wie groß ist der Drehimpuls des Teilchens?

Bekannt:

Masse des Teilchens (m) = 0.2 Gramm = 2 x 10 ^-4 kg

Winkelgeschwindigkeit (ω) = 10 rad s ^-1

Radius (r) = 3 cm = 3 x 10 ^-2 Meter

Gesucht: Der Drehimpuls des Teilchens

Lösung:

Die Gleichung des Drehimpulses:

L = I ω

I = Drehimpuls, I = Trägheitsmoment, ω = Winkelgeschwindigkeit

Das Trägheitsmoment (von Partikeln):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Der Drehimpuls:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Was ist Rotationsbewegung?
   • AntwortenRotationsbewegung bezeichnet die Bewegung eines Objekts um eine feste Achse. Es handelt sich um eine Bewegung, bei der sich jeder Punkt des Objekts auf einer Kreisbahn um die Achse bewegt.
2. Wie verhält sich die Lineargeschwindigkeit zur Winkelgeschwindigkeit bei einer Drehbewegung?
   • Antworten: Lineare Geschwindigkeit ($v$Die Geschwindigkeit eines Punktes in einem rotierenden Objekt ist direkt proportional zu seinem Abstand ($r$) von der Rotationsachse und der Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) des Objekts. Die Relation ist gegeben durch $v=r\cdot \omega$.
3. Was ist das Trägheitsmoment und in welchem ​​Zusammenhang steht es mit der Rotationsbewegung?
   • AntwortenDas Trägheitsmoment ist das Rotationsanalogon der Masse in linearer Bewegung. Es beschreibt den Widerstand eines Objekts gegen Änderungen seines Rotationszustands. Das Trägheitsmoment hängt sowohl von der Masse des Objekts als auch von ihrer Verteilung relativ zur Rotationsachse ab.
4. Wie lässt sich Newtons erstes Bewegungsgesetz auf die Drehbewegung anwenden?
   • AntwortenSo wie ein Objekt in linearer Bewegung in Bewegung bleibt, solange keine äußere Kraft auf es einwirkt, bleibt ein Objekt in Rotationsbewegung in diesem Zustand, solange kein äußeres Drehmoment auf es einwirkt.
5. Welche Bedeutung hat der Trägheitsradius?
   • AntwortenDer Trägheitsradius gibt an, wie die Masse eines Objekts von seiner Drehachse verteilt ist. Er beschreibt im Wesentlichen, wie weit von der Achse die gesamte Masse des Objekts konzentriert sein müsste, um dasselbe Trägheitsmoment wie die ursprüngliche Verteilung zu erhalten.
6. Was ist Drehimpuls und wie wird er erhalten?
   • AntwortenDer Drehimpuls ist das Rotationsäquivalent des linearen Impulses. Er ist das Produkt aus dem Trägheitsmoment eines Objekts und seiner Winkelgeschwindigkeit. In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant, solange kein äußeres Drehmoment auf ihn einwirkt. Dies verdeutlicht die Erhaltung des Drehimpulses.
7. Wie beeinflusst das Drehmoment die Drehbewegung?
   • AntwortenDas Drehmoment ist das Rotationsäquivalent der Kraft. Es bewirkt Änderungen der Rotationsbewegung eines Objekts. Die Beziehung wird durch das zweite Newtonsche Gesetz für die Rotation beschrieben: $\tau =I\cdot \alpha$, Wobei $\tau$ ist das Drehmoment, $I$ ist das Trägheitsmoment und $\alpha$ ist die Winkelbeschleunigung.
8. Worin unterscheidet sich der Massenschwerpunkt vom Drehzentrum?
   • AntwortenObwohl sie zusammenfallen können, ist der Massenschwerpunkt der Punkt, an dem die gesamte Masse eines Objekts für Berechnungen bei linearer Bewegung konzentriert angenommen werden kann, wohingegen der Drehpunkt der Punkt (oder die Achse) ist, um den sich ein Objekt dreht.
9. Welche Rolle spielt die Zentripetalkraft bei der Rotationsbewegung?
   • AntwortenDie Zentripetalkraft ist die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, der sich auf einer Kreisbahn bewegt, und die zum Drehzentrum gerichtet ist. Sie sorgt dafür, dass der Körper seine gekrümmte Bahn beibehält und sich aufgrund seiner Trägheit nicht geradlinig bewegt.

10. Wie hängt die Rotationsenergie mit dem Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit zusammen?

    • AntwortenRotationsenergie ist die Energie, die durch die Rotation eines Objekts um eine Achse entsteht. Sie wird durch die Formel angegeben: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Wobei $I$ ist das Trägheitsmoment und $\omega$ ist die Winkelgeschwindigkeit.