Artikel über Newtons zweites Gesetz zur Rotationsbewegung
4.1 Der Zusammenhang zwischen dem Kraftmoment, dem Trägheitsmoment und der Winkelbeschleunigung
Wirkt eine resultierende Kraft (ΣF) auf einen Körper der Masse (m), so bewegt sich der Körper geradlinig mit einer bestimmten Beschleunigung (a). Der Zusammenhang zwischen resultierender Kraft, Masse und Beschleunigung wird durch die Gleichung ausgedrückt:
Σ F = ma
Dies ist die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes.
Die Größen der Drehbewegung, die der resultierenden Kraft (ΣF) in der linearen Bewegung entsprechen, sind das resultierende Kraftmoment (Στ). Die Größen der Drehbewegung, die der Masse (m) in der linearen Bewegung entsprechen, sind die Trägheitsmomente (I). Die Größen der Drehbewegung, die der Beschleunigung (a) in der linearen Bewegung entsprechen, sind die Winkelbeschleunigung (α).
Wirkt auf einen Körper mit einem bestimmten Trägheitsmoment (I) ein resultierendes Drehmoment (Στ), so rotiert der Körper mit einer bestimmten Winkelbeschleunigung (α). Der Zusammenhang zwischen resultierendem Drehmoment, Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
Στ = I α
Diese Gleichung ist eine Rotationsanalogie des zweiten Newtonschen Gesetzes.
4.2 Beispielaufgaben zum zweiten Newtonschen Gesetz über die Rotationsbewegung
Beispielaufgabe 1.
Eine massive Rolle mit einer Masse von 1 kg und einem Radius von 10 cm ist an den Rändern mit einem Seil umwickelt. An einem Ende des Seils hängt eine Last von 1 kg. Das Seil selbst wird als masselos betrachtet. Bestimmen Sie die Größe der Fallbeschleunigung der Last im freien Fall. (g = 10 m/s²)2)
Lösung:
Bekannt:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s² ) = 10 N
r = 0.1 m
Gesucht: Beschleunigung der Last
Lösung:
Zuerst berechnet man das Trägheitsmoment und das Kraftmoment.
Das Trägheitsmoment der massiven Rolle:
I = 1/2 mr² = 1/2 (1 kg)(0.1 m) ²
I = (0.5 kg)(0.01 m² ) = 0.005 kg m²
Das Moment der Kraft:
τ = F l = (10 N)(0.1 m) = 1 N m
Winkelbeschleunigung:
Lastbeschleunigung:
a = r α = (0.1)(200) = 20 m/s 2
Beispielaufgabe 2.
Eine massive Rolle mit der Masse 2M und dem Radius R ist an ihrem Rand mit einem Seil umwickelt, an dessen einem Ende eine Last der Masse m hängt. Wird die Last entfernt, dreht sich die Rolle mit der Winkelbeschleunigung ω. Wird die Rolle nun mit einem Objekt der Masse M verbunden, sodass sie sich mit der gleichen Winkelbeschleunigung dreht, so ist die Masse der Last zu bestimmen. (I Rolle = ½ MR² )
Lösung:
Bekannt:
Masse der massiven Rolle: 2M
Der Radius der Vollscheibe: R
Masse der Last: m
Gesucht: Ladungsmasse
Lösung:
Berechnen Sie das Trägheitsmoment der massiven Rolle vor und nach dem Anbringen von Objekten der Masse M:
Das Trägheitsmoment 1 : I = 1⁄2 mr 2 = 1⁄2
(2M)(R) 2 = MR 2
Das Trägheitsmoment 2 : I = 1⁄2 mr 2 = 1⁄2
(2M + M)(R) 2 = 1⁄2 (3M)(R) 2 = 1.5 MR 2
Moment der Kraft, die von der Last auf die Rolle ausgeübt wird:
τ = F l = (m)(g)(R)
Die Winkelbeschleunigung der Rolle ist sowohl vor als auch nach dem Anbringen von Objekten mit der Masse M gleich.
Masse der Ladung = 1.5-fache Masse der ursprünglichen Ladung.
