1. Definition der Schwerpunkt
Ein starrer Körper besteht aus vielen Teilchen; daher wirkt die Gravitationskraft auf jedes dieser Teilchen. Anders ausgedrückt: Jedes Teilchen hat sein eigenes Gewicht. Der Schwerpunkt eines Objekts ist der Punkt auf dem Objekt, in dem das Gewicht aller Teile des Objekts konzentriert ist.
Wenn ein Objekt homogen ist (die Dichte jedes Teils des Objekts ist gleich oder das Objekt besteht aus ähnlichem Material) und die Form des Objekts symmetrisch ist (zum Beispiel quadratisch, rechteckig, kreisförmig),
Dann fällt das Gewicht des Objekts mit seinem Massenschwerpunkt zusammen, der sich in der Mitte des Objekts befindet. Bei Dreiecken liegt der Massenschwerpunkt bei 1/3 h (h = Höhe des Dreiecks).
2. Gleichung des Schwerpunkts
Ist die Form des Objekts symmetrisch und das Objekt homogen, so fällt der Schwerpunkt des Objekts mit dem Massenmittelpunkt des Objekts zusammen.
Der Schwerpunkt und der Massenmittelpunkt befinden sich im Zentrum des Objekts. Ist das Objekt hingegen homogen, aber nicht symmetrisch, so lässt sich die Lage des Gewichts mithilfe der folgenden Formel bestimmen.
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der x-Achse:
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der y-Achse:
x = Mittelpunkt des Objekts auf der x-Achse, y = Mittelpunkt des Objekts auf der y-Achse, A = Fläche. Bei einem dreidimensionalen Objekt werden neben den Koordinaten des Schwerpunkts auf der x- und y-Achse auch die Koordinaten auf der z-Achse bestimmt. Die Fläche (A) wird durch das Volumen (V) ersetzt.
Beispielaufgabe 1.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts des homogenen Körpers in der seitlichen Abbildung!
Lösung:
Teile den Gegenstand in drei Teile.
A 1 = (10-0)(10-0) = (10)(10) = 100
A2 = (20-10)(30-0) = (10)(30) = 300
A 3 = (30-20)(10-0) = (10)(10) = 100
x 1 = 1/2 (10-0) = 1/2 (10) = 5
x 2 = 1/2 (20-10) + 10 = 1/2 (10) + 10 = 5 + 10 = 15
x 3 = 1/2 (30-20) + 20 = 1/2 (10) + 20 = 5 + 20 = 25
y 1 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
y 2 = 1⁄2 (30-0) = 1⁄2 (30) = 15
y 3 = 1⁄2 (10-0) = 1⁄2 (10) = 5
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der x-Achse:
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der y-Achse:
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts sind (15; 11).
Beispielaufgabe 2.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Gewichts des Objekts in der Abbildung!
Lösung:
Teile das Objekt in zwei Teile, Fläche 1 = Quadrat, Fläche 2 = Dreieck.
A 1 = (5-1)(3-0) = (4)(3) = 12
A 2 = 1⁄2 (6-0)(9-3) = 1⁄2 (6)(6) = (3)(6) = 18
x 1 = 1/2 (5-1) + 1 = 1/2 (4) + 1 = 2 + 1 = 3
x 2 = 1/2 (6-0) = 1/2 (6) = 3
y 1 = 1⁄2 (3-0) = 1⁄2 (3) = 1.5
y 2 = 1/3(9-3) + 3 = 1/3(6) + 3 = 2 + 3 = 5
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der x-Achse:
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts auf der y-Achse:
Die Koordinaten des Gewichts des Objekts sind (3; 3.6).
