Trägheitsmoment

1. Trägheitsmoment des Partikels

Betrachten wir ein rotierendes Teilchen. Auf ein Teilchen der Masse m wirkt die Kraft F, sodass es sich um die Achse O dreht. Das Teilchen befindet sich im Abstand r von der Drehachse. Zunächst ruht das Teilchen (v = 0). Durch die Kraft F bewegt es sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit und erfährt dabei eine Tangentialbeschleunigung. Der Zusammenhang zwischen Kraft (F), Masse (m) und Tangentialbeschleunigung des Teilchens wird durch Gleichung 3 beschrieben:

F = ma _tan (Gleichung 3)

Die Partikel rotieren so, dass sie eine Winkelbeschleunigung erfahren. Der Zusammenhang zwischen Tangentialbeschleunigung und Winkelbeschleunigung wird durch Gleichung 4 ausgedrückt:

a _tan = r α (Gleichung 4)

Ersetze a in Gleichung 3 durch a in Gleichung 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Gleichung 5)

r_F ist das Kraftmoment und mr_² das Trägheitsmoment des Teilchens. Gleichung 5 beschreibt den Zusammenhang zwischen Kraftmoment, Trägheitsmoment und Winkelbeschleunigung rotierender Teilchen. Gleichung 5 ist die zweite Gleichung des Newtonschen Gesetzes für rotierende Teilchen.

Das Trägheitsmoment eines Teilchens ist das Produkt aus der Masse des Teilchens (m) und dem Quadrat des Abstands zwischen den Teilchen und der Drehachse (r² ⁾.

I = mr ² (Gleichung 6)

I = Trägheitsmoment des Teilchens, m = Masse des Teilchens, r = Abstand zwischen Teilchen und Drehachse. Gleichung 6 dient zur Bestimmung des Trägheitsmoments eines Teilchens.

3.2 Beispielaufgaben zum Trägheitsmoment des Partikels

Beispielaufgabe 1.

Ein Teilchen mit einer Masse von 2 kg wurde an einem 0.5 Meter langen Seil befestigt und anschließend in Rotation versetzt. Wie groß ist das Trägheitsmoment des rotierenden Teilchens?

Lösung:

Ich = Herr ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

Beispielaufgabe 2.

Zwei Teilchen mit Massen von jeweils 2 kg und 4 kg sind durch einen leichten Draht der Länge 2 Meter verbunden. Die Masse des Drahtes kann vernachlässigt werden. Bestimmen Sie das Trägheitsmoment der beiden Teilchen, wenn:

a) Die Rotationsachse befindet sich zwischen den beiden Partikeln.

Lösung:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

Ich = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) Die Rotationsachse befindet sich in einem Abstand von 0.5 Metern von dem Teilchen mit einer Masse von 2 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Ich = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) Die Rotationsachse befindet sich in einem Abstand von 0.5 Metern von dem Teilchen mit einer Masse von 4 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Ich = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

Aus den obigen Berechnungen geht hervor, dass das Trägheitsmoment stark von der Lage der Drehachse abhängt. Obwohl Form und Größe gleich sind, ändert sich das Trägheitsmoment aufgrund der unterschiedlichen Lage der Drehachse.

Teilchen in der Nähe der Drehachse besitzen ein kleineres Trägheitsmoment, während Teilchen, die weit von der Drehachse entfernt sind, ein größeres Trägheitsmoment aufweisen. Unter der Annahme, dass es sich bei den beiden oben genannten Teilchen um starre Körper handelt, befindet sich jedes Teilchen in der Nähe der Drehachse.

besitzt ein kleineres Trägheitsmoment als das Trägheitsmoment des Teilchens, das weiter von der Drehachse entfernt ist.

3.3 Trägheitsmoment eines homogenen starren Körpers

Starre Körper bestehen aus vielen Partikeln. Das Trägheitsmoment eines starren Körpers ist die Summe der Trägheitsmomente aller Partikel, aus denen der Körper besteht.

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + … + m_n r_n²

Um das Trägheitsmoment eines starren Körpers zu bestimmen, muss man ihn während einer Rotation betrachten, da die Lage der Rotationsachse das Trägheitsmoment beeinflusst. Das Trägheitsmoment (I) jedes einzelnen Teilchens hängt zudem von dessen Masse (m) und dem Quadrat seines Abstands (r² ⁾ von der Rotationsachse ab. Die Masse aller Teilchen, aus denen der Körper besteht, entspricht der Masse des Körpers selbst.

Das Problem besteht darin, dass der Abstand jedes Partikels von der Rotationsachse variiert.

Betrachten Sie die Abnahme in der Formel für das Trägheitsmoment eines dünnen Rings mit Fingern R und Masse M.

Befindet sich die Drehachse im Mittelpunkt des Rings, so sind alle Teilchen des dünnen Rings relativ zur Drehachse angeordnet. Das Trägheitsmoment eines dünnen Rings entspricht dem Trägheitsmoment aller seiner Teilchen.

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + … + m_n r_n²

Die Masse aller Teilchen = Masse des dünnen Rings (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Jedes Teilchen des dünnen Rings hat den Abstand r von der Rotationsachse, sodass r₁ ₌ r₂ ₌ r₃ ₌ rn = R gilt.

Die Gleichung des Trägheitsmoments des dünnen Rings:

I = MR ²

I = Trägheitsmoment des dünnen Rings, M = Masse des dünnen Rings, R = Radius des dünnen Rings.

Was passiert, wenn die Rotationsachse nicht im Mittelpunkt des Rings liegt? Wenn die Rotationsachse nicht im Mittelpunkt des Rings liegt, kann die Formel für das Trägheitsmoment des dünnen Rings nicht mit der oben beschriebenen Methode hergeleitet werden.

weil der Abstand jedes Teilchens von der Rotationsachse unterschiedlich ist. Die Herleitung der Formel für das Trägheitsmoment in einem solchen Fall wird in diesem Thema nicht behandelt.

Die Formel für das Trägheitsmoment einiger starrer Objekte

3.4 Beispielaufgabe zum Trägheitsmoment eines homogenen starren Körpers

Beispielaufgabe 1:

Der Stabzylinder AB hat eine Masse von 3 kg, wenn er um B gedreht wird.

Das Trägheitsmoment beträgt 27 kg m² ^. Wie groß ist das Trägheitsmoment, wenn

um C gedreht?

Lösung:

Lösung:

Die Formel für das Trägheitsmoment des homogenen Vollstabs (die Drehachse liegt im Mittelpunkt des Stabs):

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

Die Formel für das Trägheitsmoment eines homogenen Vollstabs (die Drehachse liegt am Rand des Stabs):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²