Trägheitsmoment von Partikeln und starren Körpern – Probleme und Lösungen

Das Trägheitsmoment des Teilchens

1. Eine 100 g schwere Kugel ist an einem Ende einer 30 cm langen Schnur befestigt. Wie groß ist das Trägheitsmoment der Kugel bezüglich der Drehachse AB? Die Masse der Schnur kann vernachlässigt werden.

Bekannt:

Die Rotationsachse bei AB

Masse der Kugel (m) = 100 Gramm = 100/1000 = 0.1 kg

Der Abstand zwischen Kugel und Drehachse (r) beträgt 30 cm = 0.3 m.

Gesucht: Trägheitsmoment der Kugel (I)

Lösung:

I = mr² ⁼ (0.1 kg)(0.3 m) ^²

I = (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ²

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_{2. Eine Kugel mit einer Masse von} 100 g, m₁ , und eine Kugel mit einer Masse von 200 g, m₂ , sind durch einen 60 cm langen Stab verbunden. Die Masse des Stabes wird vernachlässigt. Die Drehachse befindet sich im Mittelpunkt des Stabes. Wie groß ist das Trägheitsmoment der Kugel bezüglich der Drehachse?

Bekannt:

Masse der Kugel 1 (m ₁ ) = 100 Gramm = 100/1000 = 0.1 kg

Der Abstand zwischen Kugel 1 und der Drehachse (r₁ ₎ beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Masse der Kugel (m² ₎ = 200 Gramm = 200/1000 = 0.2 kg

Der Abstand zwischen Kugel 2 und der Drehachse (r₂ ₎ beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Gesucht: Trägheitsmoment der Kugeln

Antwort:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.2 kg)( 0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.2 kg)( 0.09 m ² )

I = 0.009 kg m ² + 0.018 kg m ²

I = 0.027 kg m ²

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3. Zwei Kugeln (m₁ ₎ mit einer Masse von 200 g und eine Kugel ( m₂ ₎ mit einer Masse von 100 g sind durch einen 60 cm langen Stab verbunden. Die Masse des Stabes wird vernachlässigt. Die Drehachse befindet sich an der Kugel m₂ _. Wie groß ist das Trägheitsmoment der Kugeln?

Bekannt:

Masse der Kugel 1 (m ₁ ) = 2 00 Gramm = 200/1000 = 0.2 kg

Der Abstand zwischen Kugel 1 und der Drehachse (r ₁ ) beträgt 60 cm = 60/100 = 0.6 m.

Masse der Kugel 2 (m ₂ ) = 100 Gramm = 100/1000 = 0.1 kg

Der Abstand zwischen Kugel 2 und der Drehachse (r ₂ ) beträgt 0 m.

Gesucht: Trägheitsmoment der Kugeln

Lösung:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 kg)( 0,6 m) ² + (0.2 kg)(0 ) ²

I = (0.2 kg)( 0.36 m ² ) + 0

I = 0.072 kg m ²

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4. Zwei Kugeln mit einer Masse von je 100 Gramm sind durch eine Schnur verbunden. Die Schnur ist 60 cm lang und 30 cm breit. Wie groß ist das Trägheitsmoment der Kugeln bezüglich der Drehachse? Die Masse der Schnur kann vernachlässigt werden.

Bekannt:

Masse der Kugel = m₁ ₌ m₂ ₌ m₃ ₌ m₄ ₌ 100 Gramm = 100/1000 = 0.1 kg

Der Abstand zwischen Kugel und Drehachse (r₁ ₎ beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Der Abstand zwischen Kugel 2 und der Drehachse (r ₂ ) beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Der Abstand zwischen Kugel 3 und der Drehachse (r ₃ ) beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Der Abstand zwischen Kugel 4 und der Drehachse (r ₄ ) beträgt 30 cm = 30/100 = 0.3 m.

Bekannt: Trägheitsmoment

Lösung:

I = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² +m₄ r₄²

I = (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)( 0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ² + (0.1 kg)(0.3 m) ²

I = (0.1 kg)( 0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² ) + (0.1 kg)(0.09 m ² )

I = 0.036 kg m ²

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Das Trägheitsmoment eines starren Körpers

5. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines 2 kg schweren, gleichmäßigen Stabes mit einer Länge von 2 m? Die Drehachse befindet sich in der Mitte des Stabes.

Bekannt:

Masse des Stabes (M) = 2 kg

Die Länge des Stabes (L) beträgt 2 m.

Gesucht: Trägheitsmoment

Lösung:

Die Formel für das Trägheitsmoment, wenn sich die Drehachse in der Mitte des langen, gleichförmigen Stabes befindet:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/12) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/12)(8 kg m ² )

I = 8/12 kg m ²

I = 2/3 kg m ²

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6. Wie groß ist das Trägheitsmoment eines 2 kg schweren, gleichmäßigen Stabes mit einer Länge von 2 m? Die Drehachse befindet sich an einem Ende des Stabes.

Bekannt:

Masse des Stabes (M) = 2 kg

Die Länge des starren Stabes (L) beträgt 2 m.

Gesucht: Trägheitsmoment

Lösung:

Die Formel für das Trägheitsmoment, wenn sich die Drehachse an einem Ende des Stabes befindet:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 kg)( 2 m) ²

I = (1/3) (2 kg)(4 m ² )

I = (1/3)(8 kg m ² )

I = 8/3 kg m ²

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7. Ein 10 kg schwerer Vollzylinder mit einem Radius von 0.1 m. Die Drehachse befindet sich im Mittelpunkt des Vollzylinders (siehe Abbildung unten). Wie groß ist das Trägheitsmoment des Zylinders?

Bekannt:

Masse des Vollzylinders (M) = 10 kg

Radius des Zylinders (L) = 0.1 m

Gesucht: Das Trägheitsmoment

Gesucht: Das Trägheitsmoment

Lösung:

Die Formel für das Trägheitsmoment, wenn sich die Drehachse im Mittelpunkt des Zylinders befindet:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 kg)(0.1 m) ²

I = (1/2) (10 kg)(0.01 m ² )

I = (1/2)(0.1 kg m ² )

I = 0.05 kg m ²

8. Eine 20 kg schwere, homogene Kugel mit einer Länge von 0.1 m. Die Rotationsachse im Mittelpunkt der Kugel ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Bekannt:

Masse der Kugel (M) = 20 kg

Der Radius der Kugel (L) beträgt 0.1 m.

Gesucht: ein Moment der Trägheit

Lösung:

Die Formel für das Trägheitsmoment, wenn sich die Rotationsachse im Mittelpunkt der Kugel befindet:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 kg)(0.1 m) ²

I = (2/5)(20 kg)(0.01 m ² )

I = (2/5)(0.2 kg m ² )

I = 0.4/5 kg m ²

I = 0.08 kg m ²

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9. Eine dünne, rechteckige Platte mit einer Masse von 2 kg, einer Länge von 0.5 m und einer Breite von 0.2 m. Die Drehachse befindet sich in der Mitte der Platte (siehe Abbildung unten). Wie groß ist das Trägheitsmoment des Rechtecks?

Bekannt:

Masse der rechteckigen Platte (M) = 2 kg

Die Länge der Platte (a) beträgt 0.5 m.

Die Breite der Platte (b) beträgt 0.2 m.

Gesucht: Trägheitsmoment

Lösung:

Formel für das Trägheitsmoment, wenn sich die Drehachse im Mittelpunkt der Platte befindet:

I = (1/ 12 ) M (a ² + b ² )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 kg m ²