Drehimpuls

Drehimpuls

Die Größe der Drehbewegung, die der Masse (m) in der linearen Bewegung entspricht, ist das Trägheitsmoment (I). Die Größe der Drehbewegung, die der Geschwindigkeit (v) in der linearen Bewegung entspricht, ist die Winkelgeschwindigkeit (ω). Somit besitzt der rotierende Körper einen Drehimpuls, der sich mit folgender Gleichung berechnen lässt:

L = I ω

L = Drehimpuls (kg m² ^/ s), I = Trägheitsmoment (kg m² ⁾ , ω = Winkelgeschwindigkeit (rad/s)

Beispielaufgaben zum Drehimpuls

Beispielaufgabe 1.

Ein Teilchen mit einer Masse von 0.5 Gramm bewegt sich mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s auf einer Kreisbahn. Bestimmen Sie den Drehimpuls des Teilchens, wenn der Radius seiner Bahn 10 cm beträgt.

Lösung:

Das Trägheitsmoment des Teilchens:

I = mr² ⁼ (0.5 × ^{10⁻³ kg} )(1 × ^10⁻¹ m) ^² = (0.5 × ^10⁻³ kg)(1 × ^10⁻² m² ) = 0.5 × ^10⁻⁵ kg ^m²

Die Winkelgeschwindigkeit des Teilchens:

ω = 2 rad/s

Der Drehimpuls des Teilchens:

L = (0.5 x 10 ^-5 kg ​​m ² )(2 rad/s) = 1 x 10 ^-5 kg ​​m ² /s

Das Gesetz der Drehimpulserhaltung

Der Drehimpulserhaltungssatz besagt, dass der Drehimpuls eines rotierenden starren Körpers konstant bleibt, wenn das resultierende Drehmoment auf ihn null ist. Dieser Satz lässt sich mathematisch herleiten, indem man die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes für den Drehimpuls modifiziert. Hier ist die Gleichung des zweiten Newtonschen Gesetzes für den Drehimpuls:

Ist das resultierende Kraftmoment null, so ändert sich die obige Gleichung zu:

I _t = das Trägheitsmoment am Ende, I _o = das Trägheitsmoment am Anfang, ω _t = die Winkelgeschwindigkeit am Ende, ω _o = die Winkelgeschwindigkeit am Anfang, L _t = der Drehimpuls am Ende, L _o = der Drehimpuls am Anfang.

Beispielaufgaben zum Drehimpulserhaltungssatz

Beispielaufgabe 1.

Eine homogene, massive Zylinderscheibe rotiert anfänglich mit einer Geschwindigkeit von 4 rad/s um ihre Achse. Die Masse und der Radius der Scheibe betragen 1 kg bzw. 0.5 m. Wenn über der Scheibe ein Ring mit einer Masse von 0.2 kg und einem Radius von 0.1 m platziert wird und der Mittelpunkt des Rings …

knapp über dem Mittelpunkt der Scheibe rotieren Scheibe und Ring gemeinsam mit der Winkelgeschwindigkeit von…..

Lösung:

Trägheitsmoment des Vollzylinders: I = 1/2 mr² ⁼ 1/2 (1 kg)(0.5 m) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg ^m²

Trägheitsmoment des Rings: I = mr² ⁼ (0.2 kg)(0.1 m) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg ^m²

Anfangsdrehimpuls (L ₁ ) = Enddrehimpuls (L ₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 kg m ² )(4 rad/s) = (0.125 kg m ² + 0.002 kg m ² )(ω ₂ )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω ₂ = 4 rad/s

Konzeptuelle Fragen und Antworten

1. Was ist Drehimpuls?
   Antworten: Der Drehimpuls ist ein Maß für das Ausmaß der Rotation eines Objekts unter Berücksichtigung seiner Masse und Form. Er ist das Rotationsanalogon des linearen Impulses.
2. Wie wird der Drehimpuls mathematisch bestimmt?
   Antworten: Der Drehimpuls (L) ist definiert als $L=r\times p$, Wobei $r$ ist der Ortsvektor von der Drehachse zum Angriffspunkt, und $p$ ist der lineare Impuls.
3. Ist der Drehimpuls eine skalare oder eine vektorielle Größe?
   Antworten: Der Drehimpuls ist eine Vektorgröße.
4. Welche Einheit hat der Drehimpuls im SI-System?
   Antworten: Die Einheit des Drehimpulses im SI-System ist Kilogramm Meter zum Quadrat pro Sekunde (kg·m²).²/ s).
5. Wie bleibt der Drehimpuls erhalten?
   Antworten: In einem geschlossenen System ohne äußere Drehmomente bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant.
6. Was besagt das Prinzip der Drehimpulserhaltung?
   Antworten: Das Prinzip besagt, dass der Gesamtdrehimpuls eines geschlossenen Systems konstant bleibt, solange kein äußeres Drehmoment auf ihn einwirkt.
7. In welchem ​​Zusammenhang steht die Rotation eines Eiskunstläufers mit dem Drehimpuls?
   Antworten: Wenn eine Eiskunstläuferin während einer Drehung Arme und Beine eng an den Körper zieht, verringert sie ihr Trägheitsmoment und dreht sich dadurch schneller. Dies veranschaulicht die Erhaltung des Drehimpulses.
8. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Drehmoment und Drehimpuls?
   Antworten: Drehmoment ($\tau$) ist die Änderungsrate des Drehimpulses. Mathematisch ausgedrückt: τ=dl/s​.
9. Kann ein Objekt Drehimpuls ohne Winkelgeschwindigkeit besitzen?
   Antworten: Nein, wenn ein Objekt Drehimpuls besitzt, hat es auch eine Winkelgeschwindigkeit. Betrag und Richtung des Drehimpulses hängen sowohl vom Trägheitsmoment als auch von der Winkelgeschwindigkeit ab.
10. Wie beeinflusst das Trägheitsmoment den Drehimpuls?
    Antworten: Der Drehimpuls (L) ist das Produkt aus Trägheitsmoment (I) und Winkelgeschwindigkeit (ω). $L=I\omega$Eine Erhöhung des Trägheitsmoments bei gegebener Winkelgeschwindigkeit führt zu einer Erhöhung des Drehimpulses.
11. Worin besteht der Unterschied zwischen Spin und Bahndrehimpuls in der Quantenmechanik?
    Antworten: Der Spin-Drehimpuls ist eine intrinsische Eigenschaft von Teilchen wie Elektronen und entsteht nicht durch Bewegung im Raum. Der Bahndrehimpuls hingegen entsteht durch die Bewegung eines Teilchens um einen Mittelpunkt.
12. Welche Rolle spielt der Drehimpuls bei der Entstehung von Planetensystemen?
    Antworten: Wenn eine Molekülwolke kollabiert und Sterne und Planeten bildet, bewirkt die Erhaltung des Drehimpulses, dass sich das Material um den neugeborenen Stern zu einer Scheibe abflacht, aus der sich Planeten bilden können.
13. Wie behält ein Gyroskop seine Ausrichtung im Raum bei?
    Antworten: Ein rotierendes Gyroskop besitzt Drehimpuls. Wenn ein äußeres Drehmoment versucht, seine Ausrichtung zu verändern, präzessiert das Gyroskop, d. h. es ändert seine Rotationsachse in einer Richtung senkrecht zum angelegten Drehmoment, aufgrund der Drehimpulserhaltung.
14. Was verursacht die Präzession eines Kreisels?
    Antworten: Die Präzession eines Kreisels wird durch das Drehmoment der Schwerkraft verursacht, das auf den gegenüber dem Drehpunkt liegenden Massenschwerpunkt des Kreisels wirkt. Dieses Drehmoment bewirkt eine Änderung der Richtung des Drehimpulses des Kreisels und führt so zu dessen Präzession.
15. Warum sind Sterne an ihren Polen abgeflacht?
    Antworten: Da Sterne rotieren, erfahren sie eine Zentrifugalkraft, die Materie nach außen drückt. Dieser Effekt ist am Äquator stärker als an den Polen, was zu einer abgeflachten Form führt.
16. Wie hängt der Drehimpuls mit dem zweiten Keplerschen Gesetz zusammen?
    Antworten: Keplers zweites Gesetz besagt, dass eine Verbindungsstrecke zwischen einem Planeten und der Sonne in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen überstreicht. Dies ist eine Folge der Drehimpulserhaltung.
17. Warum landet eine Katze beim Hinfallen immer auf ihren Pfoten?
    Antworten: Katzen nutzen den Drehimpulserhaltungssatz. Indem sie ihren Körper drehen und ihr Trägheitsmoment in der Luft verändern, können sie sich so ausrichten, dass sie auf ihren Pfoten landen, ohne die Erhaltungssätze zu verletzen.
18. Wie hängt das magnetische Moment mit dem Drehimpuls von Elektronen zusammen?
    Antworten: Das magnetische Moment eines Elektrons entsteht aus seinem Spin und seinem Bahndrehimpuls. Das magnetische Moment ist proportional zum Bahndrehimpuls des Elektrons.
19. Wie lässt sich der Drehimpuls in Polarkoordinaten ausdrücken?
    Antworten: In Polarkoordinaten, Drehimpuls $L$ für eine Punktmasse kann ausgedrückt werden als $L=mrv$, Wobei $m$ ist die Masse, $r$ ist der radiale Abstand, $v$ ist die Tangentialgeschwindigkeit.
20. Was geschieht mit dem Drehimpuls eines geschlossenen Systems, wenn zwei Objekte zusammenstoßen?
    Antworten: In einem geschlossenen System, in dem zwei Objekte zusammenstoßen, ist der gesamte Drehimpuls vor dem Zusammenstoß gleich dem gesamten Drehimpuls nach dem Zusammenstoß, vorausgesetzt, es wirken keine äußeren Drehmomente auf das System.

Probleme und Lösungen

1. Aufgabe: Eine Punktmasse m = 2 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = 3 m/s auf einem Kreis mit Radius r = 4 m. Berechnen Sie ihren Drehimpuls bezüglich des Mittelpunkts des Kreises.

Lösung: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 kg· ^m² /s

2. Aufgabe: Eine massive Kugel mit einer Masse von 3 kg und einem Radius von 0.5 m rotiert um ihren Durchmesser mit einer Winkelgeschwindigkeit ω = 2 rad/s. Wie groß ist ihr Drehimpuls?

Lösung: Für eine Vollkugel gilt: I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 kg.m ² /s

3. Aufgabe: Eine Punktmasse von 3 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s geradlinig. Wie groß ist ihr Drehimpuls bezüglich eines Punktes, der 5 m von ihrer Bewegungsrichtung entfernt ist?

Lösung:

$L=m\times v\times r$

L = 3 × 4 × 5 = 60 kg × ^m² /s

4. Aufgabe: Eine Scheibe mit einer Masse von 5 kg und einem Radius von 3 m rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s. Berechnen Sie ihren Drehimpuls.

Lösung: Für eine Scheibe gilt: I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 kg.m ² /s

5. Aufgabe: Ein Stab der Länge 4 m und Masse 2 kg rotiert um ein Ende mit einer Winkelgeschwindigkeit von 3 rad/s. Bestimmen Sie seinen Drehimpuls.

Lösung: Für einen Stab um ein Ende gilt: I = 1/3 ​m l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 kg.m ² /s

6. Problem: Wie groß ist die Änderung des Drehimpulses, wenn ein rotierender Körper seine Winkelgeschwindigkeit verdoppelt?

Lösung: Die Beziehung zwischen Drehimpuls (L) und Winkelgeschwindigkeit (ω) lautet $L=I\times \omega$ . Verdoppelt man ω, verdoppelt sich auch der Drehimpuls.

7. Problem: Wenn sich der Radius der Kreisbahn eines sich bewegenden Teilchens bei gleichbleibender Geschwindigkeit verdoppelt, um welchen Faktor ändert sich dann der Drehimpuls?

Lösung: Drehimpuls, $L=m\times r\times v$ . Wenn sich r verdoppelt, verdoppelt sich auch L.

8. Aufgabe: Ein Kind mit einer Masse von 30 kg steht am Rand eines stillstehenden Karussells. Der Radius des Karussells beträgt 2 m. Wenn das Kind mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s relativ zum Boden entlang des Randes läuft, berechnen Sie den Drehimpuls des Kindes bezüglich des Mittelpunkts.

Lösung: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 kg· ^m² /s

9. Aufgabe: Ein Zylinder mit einer Masse von 6 kg und einem Radius von 2 m rotiert um seine Mittelachse mit einer Winkelgeschwindigkeit von 5 rad/s. Berechnen Sie seinen Drehimpuls.

Lösung: Für einen Zylinder gilt: I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5 = 120 kg·m² ^/ s

10. Aufgabe: Wie groß ist der neue Drehimpuls eines Körpers, wenn sein Trägheitsmoment halbiert und seine Winkelgeschwindigkeit verdreifacht wird?

Lösung: Gegeben $L=I\times \omega$ , wird , wenn $I$ halbiert und $\omega$ verdreifacht wird, das neue $L$ 1/2×3=1.5 × das ursprüngliche.

11. Aufgabe: Ein Reifen mit einer Masse von 2 kg und einem Radius von 1 m rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 4 rad/s. Berechnen Sie seinen Drehimpuls.

Lösung: Für einen Reifen gilt ^: I = m r²

$L=I\times \omega$

L = 2 × 1² ^× 4 = 8 kg ^·m² /s

12. Aufgabe: Ein Ventilator hat 0.5 m lange Flügel und eine Gesamtmasse von 1 kg. Wenn er sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s dreht, bestimmen Sie seinen Drehimpuls.

Lösung: Unter der Annahme, dass die Lüfterflügel wie Stäbe sind, die sich um ein Ende drehen, gilt : ^I = 1/3 ml²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10 = 0.833 kg·m² ^/ s

13. Aufgabe: Berechnen Sie den Drehimpuls der Erde um ihre eigene Achse aufgrund ihrer Rotation. Gegeben: Masse der Erde ⁼ 5.972 × ^10²⁴ kg , Radius $r=6371\text{km}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵rad\text{/s}$.

Lösung: Unter der Annahme, dass die Erde eine massive Kugel ist, gilt: I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10 ²⁴ ×(6371×10 ³ ) ² ×7.27×10 ⁻⁵

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ kg.m ² / s

14. Problem: Ein Kind bewegt sich auf die Mitte einer rotierenden Plattform zu. Nimmt der Drehimpuls zu, ab oder bleibt er gleich?

Lösung: Der Drehimpuls bleibt erhalten. Bewegt sich das Kind zum Zentrum hin, verringert sich sein Trägheitsmoment. Um den Drehimpuls zu erhalten, erhöht sich die Winkelgeschwindigkeit. Somit bleibt der Drehimpuls konstant.

15. Aufgabe: Wenn die kinetische Energie eines rotierenden Körpers verdoppelt wird, um welchen Faktor ändert sich sein Drehimpuls?

Lösung: Kinetische Energie K = 1/2 I ω² und Drehimpuls $L=I\omega \; .\; Wenn$die kinetische Energie verdoppelt wird und $I$ konstant bleibt, verdoppelt sich auch ω². Daraus folgt, dass ^ω um ^den$Faktor$ √2 erhöht wird . Somit erhöht sich auch $L\; um$den Faktor √2.

16. Aufgabe: Ein Fahrradrad mit einem Radius von 0.3 m hat eine Felge mit einer Masse von 1.5 kg. Wenn es sich mit einer Winkelgeschwindigkeit von 5 rad/s dreht, berechnen Sie seinen Drehimpuls.

Lösung: Unter der Annahme ^, dass der Rand ein Ring ist, gilt: $I=mr²$

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 kg· ^m² /s

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 kg.m ² / s​

17. Aufgabe: Eine Eiskunstläuferin zieht beim Drehen die Arme nach innen. Was geschieht mit ihrem Drehimpuls?

Lösung: Der Drehimpuls der Eiskunstläuferin bleibt erhalten. Indem sie ihre Arme anzieht, verringert sie ihr Trägheitsmoment und dreht sich dadurch schneller (erhöhte Winkelgeschwindigkeit), um ihren Drehimpuls zu erhalten.

18. Aufgabe: Ein Schwungrad hat ein Trägheitsmoment von 0.2 $\text{m²}$ und rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s. Berechnen Sie seinen Drehimpuls^.

Lösung:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² /s

L = 0.2 × 10 = 2 kg· ^m² / s

19. Aufgabe: Auf ein System wirkt ein resultierendes äußeres Drehmoment von null. Was lässt sich über seinen Drehimpuls aussagen?

Lösung: Wenn das resultierende äußere Drehmoment null ist, bleibt gemäß der Drehimpulserhaltung der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant.

20. Aufgabe: Eine Punktmasse m = 5 kg bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v = 3 m/s senkrecht zur Verbindungsgeraden mit einem Punkt P. Der Abstand von Punkt P beträgt 4 m. Bestimmen Sie den Drehimpuls der Punktmasse bezüglich Punkt P.

Lösung:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m ² /s

L = 5 × 4 × 3 = 60 kg.m ² / s