Fluiddynamik – Probleme und Lösungen

Fluiddynamik – Probleme und Lösungen

Satz von Torricelli

1. Ein Behälter ist mit Wasser gefüllt und hat ein Loch (siehe Abbildung unten). Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ ^s² beträgt , wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers, das durch das Loch strömt?

Bekannt:

Höhe (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 Meter

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gesucht: Die Geschwindigkeit von Wasser (v)

Lösung:

Der Satz von Torricelli besagt, dass das Wasser das Loch mit der gleichen Geschwindigkeit verlässt wie ein Objekt, das aus derselben Höhe frei fällt. Höhe (h) = 85 cm – 40 cm = 45 cm = 0.45 Meter

Die Geschwindigkeit des Wassers wird mithilfe der Gleichung der freien Fallbewegung berechnet :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 m/s

2. Ein Behälter ist mit Wasser gefüllt und hat ein Loch (siehe Abbildung unten). Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ ^s² beträgt , wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers, das durch das Loch strömt?

Bekannt:

Höhe (h) = 1.5 m – 0.25 m = 1.25 Meter

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gesucht: Die Geschwindigkeit von Wasser (v)

Lösung:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 m/s

3. Ein Behälter ist mit Wasser gefüllt und hat ein Loch (siehe Abbildung unten). Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ ^s² beträgt , wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers, das durch das Loch strömt?

Bekannt:

Höhe (h) = 1 m – 0.20 m = 0.8 Meter

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gesucht: Die Geschwindigkeit von Wasser (v)

Lösung:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 m/s

4. Ein Behälter ist mit Wasser gefüllt und hat ein Loch (siehe Abbildung unten). Wenn die Erdbeschleunigung 10 m/ ^s² beträgt , wie groß ist die Geschwindigkeit des Wassers, das durch das Loch strömt?

Bekannt:

Höhe (h) = 20 cm = 0.2 Meter

Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ ^s²

Gesucht: Die Geschwindigkeit von Wasser (v)

Lösung:

5. Ein mit Wasser gefüllter Behälter hat zwei Löcher , wie in der Abbildung unten dargestellt. Wie ist das Verhältnis von _x₁ zu _x₂?

Lösung

Zeitintervall des freien Falls des Wassers aus Loch 1:

h = 1/2 bei ²

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t² = 0.8 / 5 = ^0.16

t = 0.4 Sekunden

Zeitintervall des freien Falls des Wassers aus Loch 2:

h = 1/2 bei ²

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t² = 0.5 / 5 = ^0.1

t = √0.1 Sekunden

Der horizontale Abstand (x):

x₁ ₌ v₁t₁ = ( _{2 )} (0.4) = 0.8 Meter

x² ₌ v²t² = ( _{√10 )} (√0.1) = (10)(0.1) = 1 Meter

Das Verhältnis von x ₁ zu x ₂ :

x₁ _: x₂ = _0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : ₅

Die Kontinuitätsgleichung

6. Wasser fließt durch ein Rohr mit variablem Durchmesser, von A nach B und dann nach C. Das Verhältnis von A zu C beträgt 8 : 3. Wenn die Fließgeschwindigkeit des Wassers in Rohr A v ist, wie hoch ist dann die Fließgeschwindigkeit des Wassers in Rohr C?

Bekannt:

Fläche von A (A_A) = 8

Fläche von C (A _C ) = 3

Die Geschwindigkeit des Wassers in Rohr A (v _A ) = v

Gesucht: Die Geschwindigkeit des Wassers im Rohr C (v _C )

Lösung:

Die Kontinuitätsgleichung:

A _A v _A = A _C v _C

8 V = 3 V _C

v _C = 8/3 v

7. Wenn die Geschwindigkeit des Wassers in einem Rohr mit einem Durchmesser von 12 cm 10 cm/s beträgt, wie hoch ist dann die Geschwindigkeit des Wassers in einem Rohr mit einem Durchmesser von 8 cm?

Bekannt:

Durchmesser 1 (d ₁ ) = 12 cm, Radius 1 (r ₁ ) = 6 cm

Durchmesser 2 (d ₂ ) = 8 cm, Radius 2 (r ₂ ) = 4 cm

Die Geschwindigkeit des Wassers 1 (v ₁ ) = 10 cm/s

Gesucht: Die Geschwindigkeit von Wasser² ( _v² )

Lösung:

Fläche 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

Fläche 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

Die Kontinuitätsgleichung:

A₁ v₁ = _A₂ v₂_​​​

(36π)(10) = (16π) v ₂

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v² = _360/16

v ₂ = 22.5 cm/s

8. Wasser fließt durch ein Rohr mit variablem Durchmesser, wie in der Abbildung unten dargestellt. Wenn die Fläche 1 (A₁ ₎ = 8 cm² ^, A₂ ₌ 2 cm² ^und die Geschwindigkeit des Wassers in Rohr 2 = v₂ ₌ 2 m/s beträgt, wie groß ist dann die Geschwindigkeit des Wassers in Rohr 1 = _v₁?

Bekannt:

Bereich 1 (A₁) = 8cm²

Fläche 2 (A ₂ ) = 2 cm ²

Geschwindigkeit des Wassers in Rohr 2 (v ₂ ) = 2 m/s

Gesucht: die Geschwindigkeit des Wassers in Rohr 1 (v ₁ )

Lösung:

Die Kontinuitätsgleichung:

A₁ v₁ = _A₂ v₂_​​​

8 v ₁ = (2)(2)

8 gegen ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 m/s

9. Wenn der Durchmesser des größeren Rohrs doppelt so groß ist wie der Durchmesser des kleineren Rohrs, wie hoch ist dann die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im kleineren Rohr?

Bekannt:

Durchmesser des größeren Rohres (d₁) = 2

Radius des größeren Rohrs (r ₁ ) = ½ d ₁ = ½ (2) = 1

Fläche des größeren Rohrs ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

Durchmesser des kleineren Rohrs (d ₂ ) = 1

Radius des kleineren Rohrs (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

Fläche des kleineren Rohrs ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

Die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im größeren Rohr ( v ₁ ) = 4 m/s

Gesucht: Die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im kleineren Rohr ( v ₂ )

Lösung:

Die Kontinuitätsgleichung:

A₁ v₁ = _A₂ v₂_​​​

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v ₂ = 8 m/s

Bernoullis Prinzip und Gleichungen

10. Wasser wird mit einem 120-kP- Kompressor durch das untere Rohr (1) gepumpt und strömt mit einer Geschwindigkeit von 1 m/ s nach oben. Die Erdbeschleunigung beträgt 10 m/ s² und die Wasserdichte 1000 kg/m³ ^. Wie hoch ist der Wasserdruck im oberen Rohr (II )?

Bekannt:

Radius des unteren Rohrs (r₁) = 12cm

Radius des unteren Rohrs (r₂ ₎ = 6 cm

Wasserdruck im unteren Rohr (p ₁ ) = 120 kPa = 120,000 Pascal

Die Geschwindigkeit des Wassers im unteren Rohr (v ₁ ) = 1 ms ^-1

Die Höhe des unteren Rohrs (h ₁ ) = 0 m

Die Höhe des oberen Rohrs (h₂ ₎ beträgt 2 m.

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Dichte von Wasser = 1000 kg· ^m⁻³

Gesucht: Wasserdruck in Rohr 2 (p ₂ )

Lösung:

Die Fließgeschwindigkeit des Wassers in Rohr 2 wird mit der Kontinuitätsgleichung berechnet:

Der Wasserdruck in Rohr 2 wird mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet:

11. Ein großes Rohr befindet sich 5 Meter über dem Boden, ein kleines Rohr 1 Meter darüber. Die Wassergeschwindigkeit im großen Rohr beträgt 36 km/h bei einem Druck von 9.1 × ^10⁵ Pa, während der Druck im kleinen Rohr 2 × 10⁵ Pa beträgt ^. Wie hoch ist die Wassergeschwindigkeit im kleinen Rohr? Wasserdichte = 10³ ^kg / ^m³

Bekannt:

Wasserdruck im großen Rohr (p₁) = 9.1 x 10⁵ Pascal = 910,000 Pascal

Wasserdruck im kleinen Rohr (p ₂ ) = 2 x 10 ⁵ Pascal = 200,000 Pascal

Wassergeschwindigkeit im großen Rohr (v ₁ ) = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 =10 m/s

Die Höhe des großen Rohrs (h ₁ ) = -4 Meter

Die Höhe des kleinen Rohrs (h₂ ₎ beträgt 0 Meter.

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Dichte von Wasser = 1000 kg/ ^m³

Gesucht: Die Geschwindigkeit des Wassers im kleinen Rohr (v ₂ )

Lösung:

Die Geschwindigkeit des Wassers im kleinen Rohr (v ₂ ) wird mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet:

12. Ein Rohr mit einem Radius von 15 cm ist mit einem anderen Rohr mit einem Radius von 5 cm verbunden. Beide Rohre befinden sich in horizontaler Position. Die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers im großen Rohr beträgt 1 m/s bei einem Druck von ^10⁵ N/ m² . Wie hoch ist der Wasserdruck im kleinen Rohr (1 g ^{/ cm³} )?

Bekannt:

Radius des großen Rohrs (r ₁ ) = 15 cm = 0.15 m

Radius des kleinen Rohrs (r₂ ₎ = 5 cm = 0.05 m

Der Wasserdruck im großen Rohr (p ₁ ) = 10 ⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

Die Geschwindigkeit des Wassers im großen Rohr (v ₁ ) = 1 ms ^-1

Erdbeschleunigung (g) = 10 m ^/s²

Wasserdichte = 1 g cm ^-3 = 1000 kg m ^-3

Höhenunterschied (Δh) = 0.

Gesucht: Druck im kleinen Rohr (p ₂ )

Lösung:

Die Fließgeschwindigkeit des Wassers in Rohr 2 wird mithilfe der Kontinuitätsgleichung berechnet:

Der Wasserdruck im kleinen Rohr (p ₂ ) wird mithilfe der Bernoulli-Gleichung berechnet:

1. Was ist Fluiddynamik?
   • Antworten: Die Fluiddynamik ist der Teilbereich der Physik, der die Bewegung von Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen) und die auf sie wirkenden Kräfte untersucht. Sie umfasst die Prinzipien und Gleichungen, die beschreiben, wie Fluide fließen, mit festen Grenzflächen interagieren und sich gegenseitig beeinflussen.
2. Worin besteht der Unterschied zwischen laminarer und turbulenter Strömung?
   • Antworten: Laminare Strömung zeichnet sich durch glatte, parallele Flüssigkeitsschichten aus, die sich in geordneten Bahnen bewegen. Turbulente Strömung hingegen ist chaotisch, mit Wirbeln, Drallbewegungen und schnellen Schwankungen. Turbulenzen treten im Allgemeinen bei hohen Geschwindigkeiten oder in unregelmäßig geformten Kanälen auf.
3. Welche Bedeutung hat das Konzept der Viskosität in der Fluiddynamik?
   • Antworten: Die Viskosität beschreibt den Widerstand einer Flüssigkeit gegen Scherkräfte oder Fließverhalten. Flüssigkeiten mit hoher Viskosität (wie Honig) bieten einen größeren Fließwiderstand als Flüssigkeiten mit niedriger Viskosität (wie Wasser). In der Fluiddynamik spielt die Viskosität eine entscheidende Rolle für die Art der Strömung, die Energiedissipation und die Widerstandskräfte.
4. Was besagt das Bernoulli-Prinzip?
   • Antworten: Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass in einer stationären Strömung die Summe aus Druckenergie, kinetischer Energie und potenzieller Energie pro Volumeneinheit konstant bleibt. Genauer gesagt: Dort, wo die Strömungsgeschwindigkeit hoch ist, ist der Druck niedrig und umgekehrt.
5. Wie hängt das Auftriebsprinzip in der Aerodynamik mit der Fluiddynamik zusammen?
   • Antworten: Der Auftrieb eines Flugzeugflügels lässt sich mithilfe des Bernoulli-Prinzips und des dritten Newtonschen Gesetzes erklären. Die Luft strömt über den Flügel und bewegt sich über die gekrümmte Oberseite schneller als über die Unterseite, wodurch ein Druckunterschied entsteht. Dieser Druckunterschied führt zusammen mit der Ablenkung der Luft durch den Flügel nach unten zu einer nach oben gerichteten Kraft, dem Auftrieb.
6. Wie lautet die Kontinuitätsgleichung in der Fluiddynamik?
   • Antworten: Die Kontinuitätsgleichung besagt, dass das Produkt aus Querschnittsfläche (A) und Geschwindigkeit (v) einer Strömung entlang einer Stromlinie in einer stationären Strömung konstant bleibt. Mathematisch ausgedrückt: A₁​v_1​=A₂​v₂​, Wobei A_1​ und A₂​ sind Querschnittsflächen und v₁​ und v_2​ sind die Geschwindigkeiten an zwei Punkten entlang der Stromlinie.
7. Welche Rolle spielt die Reynolds-Zahl in der Fluiddynamik?
   • Antworten: Die Reynolds-Zahl ist eine dimensionslose Größe, die in der Fluiddynamik zur Vorhersage des Strömungsregimes (laminar, Übergangsströmung oder turbulent) dient. Sie ist definiert als das Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften und hängt von Faktoren wie Strömungsgeschwindigkeit, charakteristischer Länge und Fluideigenschaften ab.
8. Wie wirkt die Widerstandskraft auf Objekte, die sich in einem Fluid bewegen?
   • Antworten: Die Widerstandskraft wirkt der Bewegung eines Objekts durch ein Fluid entgegen. Sie entsteht durch die Viskosität des Fluids und die Druckunterschiede um das Objekt herum. Stärke und Art des Widerstands hängen von Faktoren wie der Form, der Oberflächenrauheit und der Geschwindigkeit des Objekts sowie den Eigenschaften des Fluids ab.
9. Was ist der Venturi-Effekt?
   • Antworten: Der Venturi-Effekt beschreibt die Druckabnahme, die auftritt, wenn ein Fluid durch eine Verengung in einem Rohr strömt. Da die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids in der Verengung zunimmt (aufgrund der Massenerhaltung), sinkt sein Druck gemäß dem Bernoulli-Prinzip.
10. Warum beschleunigt eine Flüssigkeit ihren Fluss, wenn sie durch einen engen Abschnitt eines Rohrs oder Kanals fließt?

• Antworten: Dieses Verhalten lässt sich durch den Massenerhaltungssatz erklären. Bei einer stationären Strömung muss das Volumen des in einen Rohrabschnitt einströmenden Fluids dem Volumen des ausströmenden Fluids entsprechen. Ist das Rohr eng, muss das Fluid beschleunigt werden, damit in einer bestimmten Zeit dasselbe Volumen hindurchfließen kann.