Artikel über das Bernoulli-Prinzip und die Bernoulli-Gleichung
Beim Motorradfahren blähen sich unsere Kleider nach hinten auf. Manchmal, wenn der Wind stark weht, kann sich die Tür von selbst schließen, obwohl der Wind draußen weht und die Tür drinnen ist.
Dies lässt sich mithilfe des Bernoulli-Prinzips erklären. Daniel Bernoulli (1700–1782) entdeckte ein Prinzip, mit dem sich das oben beschriebene Phänomen erklären lässt.
Bernoullis Prinzip
Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass der Druck eines Fluids dort niedrig ist, wo die Strömungsgeschwindigkeit hoch ist. Umgekehrt ist der Druck hoch, wenn die Strömungsgeschwindigkeit niedrig ist. Fährt ein Motorrad schnell, ist die Luftgeschwindigkeit an Vorder- und Seitenpartie des Körpers hoch. Dadurch sinkt der Luftdruck. Da die Luftgeschwindigkeit am Rücken durch die Vorderpartie abgebremst wird, ist sie dort nicht so hoch. Dadurch steigt der Luftdruck am Rücken. Dieser Druckunterschied drückt das Hemd nach hinten, sodass die Kleidung bauschig wirkt.
Was ist mit der Haustür, die sich bei Wind von selbst schließt? Die Luft draußen bewegt sich schneller als die Luft drinnen. Dadurch ist der Luftdruck draußen niedriger als drinnen. Aufgrund dieses Druckunterschieds – der Luftdruck drinnen ist höher – wird die Tür nach außen gedrückt. Anders ausgedrückt: Das Türblatt bewegt sich von einem Bereich mit höherem Luftdruck zu einem Bereich mit niedrigerem Luftdruck.
Bernoullis Gleichung
Wir haben bereits das Bernoulli-Prinzip kennengelernt. Bernoulli entwickelte dieses Prinzip auch quantitativ. Um die Bernoulli-Gleichung herzuleiten, setzen wir eine stationäre, laminare und unkomprimierte Strömung voraus, bei der die Viskosität vernachlässigbar gering ist.
In der Diskussion der Kontinuitätsgleichung haben wir gelernt, dass die Durchflussrate eines Fluids auch von der Strömungsquerschnittsfläche des Rohres abhängen kann. Gemäß dem oben beschriebenen Bernoulli-Prinzip kann auch der Fluiddruck in Abhängigkeit von der Durchflussrate variieren. Darüber hinaus kann der Fluiddruck auch in Abhängigkeit von der Höhe des Fluids variieren. Der Zusammenhang zwischen Druck, Durchflussrate und Höhe des Fluids lässt sich mithilfe der Bernoulli-Gleichung herleiten.
Die Bernoulli-Gleichung ist von entscheidender Bedeutung, da sie zur Analyse von Flugzeugflügen, Wasserkraftwerken, Rohrleitungssystemen usw. verwendet werden kann. Um die Bernoulli-Gleichung allgemein herzuleiten, wird angenommen, dass ein Fluid durch ein Strömungsrohr mit variablem Querschnitt und variabler Höhe strömt. Zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung wird der Energieerhaltungssatz auf das Fluid im Strömungsrohr angewendet.
Die undurchsichtige Farbe im Strömungsrohr in der Abbildung unten zeigt eine Flüssigkeitsströmung an, während die weiße Farbe keine Flüssigkeit anzeigt.
Die Flüssigkeit im Querschnittsbereich 1 (linke Seite) fließt bis zur Strecke L1 und zwingt die Flüssigkeit in Abschnitt 2 (rechte Seite), sich bis zur Strecke L zu bewegen.2Da die Querschnittsfläche 2 auf der rechten Seite kleiner ist, ist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids auf der rechten Seite des Strömungsrohrs höher (siehe Kontinuitätsgleichung). Dies führt zu einer Druckdifferenz zwischen Abschnitt 2 (rechte Seite des Strömungsrohrs) und Abschnitt 1 (linke Seite des Strömungsrohrs) – siehe Bernoullis Prinzip. Das Fluid links von Abschnitt 1 erzeugt den Druck P<sub>1</sub>.1) auf die Flüssigkeit nach rechts und verrichtet Arbeit:
Dann das W1 Die Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:
W1 =S1 A1 L1
Im Abschnitt 2 (der rechten Seite des Strömungsrohrs) wird folgende Arbeit am Fluid verrichtet:
W2 = − p2 A2 L2
Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass die wirkende Kraft der Bewegungsrichtung entgegengesetzt ist. Daher verrichtet das Fluid Arbeit rechts vom Querschnitt 2. Zusätzlich verrichtet die Gravitationskraft Arbeit am Fluid. Im obigen Fall werden Fluidmassen vom Querschnitt 1 bis zur Position L transportiert.1 bis Abschnitt 2 bis L2, wobei das Flüssigkeitsvolumen in Abschnitt 1 (A) ist.1 L1) = Flüssigkeitsvolumen in Abschnitt 2 (A2 L2Die von der Schwerkraft verrichtete Arbeit beträgt:
W3 = − mg (h2 − h1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
Das negative Vorzeichen entsteht dadurch, dass die Flüssigkeit entgegen der Schwerkraft nach oben strömt. Die an der Flüssigkeit verrichtete Nettoarbeit beträgt somit:
W = W1 + W2 + W3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Der Arbeit-Energie-Satz besagt, dass die an einem System verrichtete Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie ist. Daher können wir die Arbeit (W) durch die Änderung der kinetischen Energie (EK) ersetzen.2 – EK1).
Die obige Gleichung kann auch anders geschrieben werden:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 ‐ EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1/2 mV22 – 1⁄2 mv12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
Die Flüssigkeitsmasse, die bis zu L fließt1 im Querschnitt A1 = die Masse des Fluids, die bis zu L fließt2 (Querschnitt A2Die Masse der Flüssigkeit, sagen wir m, hat ein Volumen von A1 L1 und A2 L2 wo ein1 L1 = A2 L2 (L2 ist länger als L1).
Nun setzen wir m in der obigen Gleichung durch m = ρ AL ein:
Dies ist die Bernoulli-Gleichung. Die Bernoulli-Gleichung basiert auf dem Prinzip der Arbeit und Energie und stellt somit eine Form der Energieerhaltung dar.
P = Druck, ρ = Dichte, v = Strömungsgeschwindigkeit, g = Erdbeschleunigung, h = Höhe des Rohrs über dem Boden.
Die linken und rechten Segmente der obigen Bernoulli-Gleichung können sich auf zwei beliebige Punkte entlang des Strömungsrohrs beziehen, sodass wir die obige Gleichung wie folgt umschreiben können:
Nun wollen wir die Bernoulli-Gleichung für einige Fälle überprüfen.
Bernoullis Gleichung in ruhenden Flüssigkeiten
Der Spezialfall der Bernoulli-Gleichung betrifft ruhende Fluide, bei denen die Strömung keine Geschwindigkeit besitzt. Daher gilt: v1 = v2 = 0. Im Falle einer ruhenden Flüssigkeit lässt sich die Bernoulli-Gleichung wie folgt formulieren:
Wenn h2 - h1 = h, diese Gleichung kann wie folgt geschrieben werden:
p1 - P2 = ρ g (h2 − h1)
p1 - P2 = ρ gh
Bernoullis Gleichung für ein Rohr gleicher Höhe
Wenn die Höhe des Rohres gleich ist, ändert sich die Bernoulli-Gleichung zu:
