Artikel über die Kontinuitätsgleichung
Öffnen Sie den Wasserhahn langsam und achten Sie dabei auf die Geschwindigkeit des austretenden Wassers. Vergleichen Sie nun: Ist der Wasserfluss bei geschlossenem und bei geöffnetem Wasserhahn schneller? Woran liegt das? Um dies zu verstehen, betrachten Sie bitte die Kontinuitätsgleichung.
Rationalisieren
In einer gleichmäßigen Strömung ist die Geschwindigkeit jedes Fluidteilchens an einem Punkt, beispielsweise Punkt A, stets gleich. Beim Passieren von Punkt B kann sich die Geschwindigkeit der Fluidteilchen ändern. Beim Erreichen von Punkt B fließen die nachfolgenden Fluidteilchen jedoch mit der gleichen Geschwindigkeit wie die vorhergehenden. Dasselbe gilt für Punkt C usw. Die Strömungslinie ist eine Kurve, die die Punkte A, B und C verbindet.
Durchflussrohr
Wir können die Stromlinien an jedem Punkt der Strömung beschreiben. Bei einer stationären Strömung bilden einige Stromlinien, die einen bestimmten Winkel auf der gedachten Oberfläche bilden, ein Strömungsrohr. Die Fluidteilchen schneiden sich nicht, sondern verlaufen stets parallel, und das Strömungsrohr ähnelt einem Rohr mit unveränderter Form. Fluid, das an einem Ende des Rohrs eintritt, tritt am anderen Ende wieder aus.
Soll
Der Durchfluss gibt das Volumen einer Flüssigkeit an, die in einem bestimmten Zeitintervall durch einen bestimmten Querschnitt fließt. Mathematisch lässt sich dies wie folgt ausdrücken:
Durchfluss = Flüssigkeitsvolumen / Zeitintervall
Q=V/t
Um Ihr Verständnis zu verdeutlichen, verwenden wir ein Beispiel. Beispielsweise fließt eine Flüssigkeit durch ein Rohr. Rohre sind üblicherweise zylindrisch und haben einen bestimmten Querschnitt. Das Rohr hat außerdem eine Länge.
Wenn die Flüssigkeit durch das Rohr bis zur Länge L fließt, beträgt ihr Volumen V = AL (V = Flüssigkeitsvolumen, A = Querschnittsfläche und L = Rohrlänge). Da die Flüssigkeit für den Fluss durch das Rohr entlang der Länge L ein bestimmtes Zeitintervall benötigt, lässt sich die Flüssigkeitsmenge wie folgt berechnen:
Da v = s / t = L / t —> L = vt, ändert sich die obige Gleichung zu:
Wenn also eine Flüssigkeit durch ein Rohr mit einer bestimmten Querschnittsfläche und Länge fließt, ist die durchfließende Flüssigkeitsmenge (Q) gleich der Querschnittsfläche (A) multipliziert mit der Strömungsgeschwindigkeit (v).
Die Kontinuitätsgleichung
Betrachten Sie die Strömung einer Flüssigkeit in einem Rohr mit einem anderen Durchmesser, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.
Dieses Bild zeigt die Strömung einer Flüssigkeit von links nach rechts (die Flüssigkeit strömt von einem Rohr mit großem Durchmesser zu einem Rohr mit kleinem Durchmesser). Die gestrichelte Linie stellt die Strömungsrichtung dar.
A1 = Querschnittsfläche des Rohres mit großem Durchmesser, A2 = Querschnittsfläche mit kleinem Durchmesser, v1 = Strömungsgeschwindigkeit eines Fluids in einem Rohr mit großem Durchmesser, v2 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids in einem Rohr mit kleinem Durchmesser, L = vom Fluid zurückgelegte Strecke.
In einer stationären Strömung ist die Strömungsgeschwindigkeit der Fluidteilchen an einem Punkt gleich der Strömungsgeschwindigkeit anderer Fluidteilchen, die diesen Punkt passieren. Die Strömungslinien schneiden sich nicht (sie verlaufen parallel). Daher muss die Masse des Fluids, das an einem Ende des Rohrs eintritt, gleich der Masse des Fluids sein, das am anderen Ende austritt. Wenn das Fluid mit einer bestimmten Masse in ein Rohr mit großem Durchmesser eintritt, tritt es in einem Rohr mit kleinem Durchmesser mit derselben Masse aus.
Betrachten Sie nun die obige Abbildung des Rohres. Sehen Sie sich das Rohr mit dem großen Durchmesser und das Rohr mit dem kleinen Durchmesser an.
Während eines bestimmten Zeitintervalls fließen einige Flüssigkeiten durch den Abschnitt des Rohrs mit großem Durchmesser (A).1) soweit L1 (L1 = v1 t). Das Volumen der durchfließenden Flüssigkeit beträgt V.1 = A1 L1 = A1 v1 t. Im gleichen Zeitintervall fließen auch andere Flüssigkeiten durch den Rohrabschnitt mit dem kleinen Durchmesser (A).2) soweit L2 (L2 = v2 t). Das Volumen der durchfließenden Flüssigkeit beträgt V.2 = A2 L2 = A2 v2 t.
Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide
Bei inkompressiblen Fluiden ist die Fluiddichte an jedem Punkt, den sie durchströmen, konstant. Die Fluidmasse, die in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A1 (großer Rohrdurchmesser) während eines bestimmten Zeitintervalls strömt, beträgt:
Ebenso ist die Masse der Flüssigkeit, die in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A fließt, gleich der Masse der Flüssigkeit, die in einem Rohr mit der Querschnittsfläche A fließt.2 (kleiner Rohrdurchmesser) während eines bestimmten Zeitintervalls ist:
Bei einer gleichmäßigen Strömung ist die Masse der einströmenden Flüssigkeit gleich der Masse der ausströmenden Flüssigkeit, also:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
A1 v1 = A2 v2
Die Kontinuitätsgleichung lautet also: inkompressible Flüssigkeiten:
A1 v1 = A2 v2 — Gleichung 1
A1 = Querschnittsfläche 1, A2 = Querschnittsfläche 2, v1 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids in Abschnitt 1, v2 = Strömungsgeschwindigkeit des Fluids im Abschnitt 2, A v = Volumenstrom (V / t) = Durchfluss.
Gleichung 1 zeigt, dass der Durchfluss an jedem Punkt entlang des Rohres oder Strömungsrohres stets gleich ist. Bei abnehmendem Rohrquerschnitt steigt die Durchflussrate, während sie bei zunehmendem Rohrquerschnitt sinkt.
Wenn ein Teil des Wasserhahns geschlossen ist, ist der Wasserdurchfluss stärker als bei geöffnetem Wasserhahn. Das liegt daran, dass sich der Querschnitt des Wasserhahns verringert, wenn ein Teil geschlossen ist, wodurch die Durchflussmenge zunimmt. Wichtig ist jedoch zu wissen, dass die Durchflussmenge an jedem Punkt entlang des Wasserstrahls gleich bleibt, unabhängig davon, ob der Wasserhahn teilweise geschlossen ist oder nicht. Was ändert sich also an der Durchflussmenge?
Und wie verhält es sich mit der Strömung des Wassers im Fluss? Der tiefe Flussabschnitt hat einen größeren Querschnitt als der flache Teil des Flusses, daher ist die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers im tiefen Flussabschnitt geringer als die Strömungsgeschwindigkeit des Wassers im flachen Teil des Flusses.
Die Kontinuitätsgleichung für kompressible Fluide
Bei komprimierten Flüssigkeiten ist die Dichte nicht immer konstant. Anders ausgedrückt: Die Dichte einer Flüssigkeit ändert sich bei Kompression. Ist die Flüssigkeit nicht komprimiert, kann die Dichte in der Gleichung vernachlässigt werden; in diesem Fall wird sie jedoch in die Gleichung einbezogen. Ausgehend von der zuvor hergeleiteten Gleichung leiten wir nun die Gleichung für die komprimierte Flüssigkeit her.
Die Masse der einströmenden Flüssigkeit ist gleich der Masse der ausströmenden Flüssigkeit, also:
m1 = m2
ρ A1 v1 t = ρ A2 v2 t
Das Intervall des Flüssigkeitsflusses ist gleich, sodass es vernachlässigt werden kann. Die Gleichungen ändern sich zu:
ρ A1 v1 = ρ A2 v2 → Gleichung 2
Dies ist die Gleichung für eine komprimierte Flüssigkeit. Der Unterschied liegt in der Dichte der Flüssigkeit. Wird die Flüssigkeit komprimiert, ändert sich ihre Dichte. Ist die Flüssigkeit hingegen nicht komprimiert, bleibt die Dichte konstant und kann daher aus der Gleichung vernachlässigt werden.
Beispielaufgabe 1:
Wasser fließt mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s durch ein Rohr mit einem Durchmesser von 10 cm. Wie groß ist der Wasserdurchfluss?
Bekannt:
Rohrdurchmesser = 10 cm
Radius des Rohres (r) = 5 cm = 0.05 m
Geschwindigkeit des Wassers (v) = 2 m/s
Gesucht : Soll
Lösung:
Q = A v
Q = ( π r2) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m)2 (2m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m2)(2 m/s)
Q = 0.0157 m3/s
Beispielaufgabe 2:
Ein Rohr mit einem Durchmesser von 20 cm ist mit einem anderen Rohr mit einem Durchmesser von 10 cm verbunden. Wenn die Fließgeschwindigkeit des Wassers in einem Rohr mit einem Durchmesser von 20 cm 4 m/s beträgt, wie hoch ist dann die Fließgeschwindigkeit des Wassers in einem Rohr mit einem Durchmesser von 10 cm?
Bekannt:
Durchmesser 1 = 20 cm (r1 ( = 10 cm = 0.1 m)
v1 = 4 m/s
Durchmesser 2 = 10 cm (r2 ( = 5 cm = 0.05 m)
Gesucht : v1
Antwort:
Q1 = Q2
A1 v1 = A2 v2
(π r12) (4 m/s) = (π r22) (v2)
(0.1 m)2 (4 m/s) = (0.05 m)2 (v2)
(0.01 m2)(4 m/s) = (0.0025 m2)(v2)
(0.04 m3 /s) = (0.0025 m2)(v2)
v2 = 16 m/s
