11 Beispiele für Aufgaben zur Rotationsdynamik
Stilmoment
1. Ein sehr leichter Stab ist 140 cm lang. Drei Kräfte wirken auf den Stab: F₁ = 20 N, F₂ = 10 N und F₃ = 40 N. Richtung und Position der Kräfte sind in der Abbildung dargestellt. Das Drehmoment, das den Stab um seinen Schwerpunkt rotieren lässt, beträgt …
A. 40 Nm
B. 39 Nm
C. 28 Nm
D. 14 Nm
E. 3 Nm
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Der Massenschwerpunkt des Stabes liegt in der Mitte des Stabes.
Länge des Stabes (l) = 140 cm = 1,4 Meter
Kraft 1 (F₃ ) = 20 N, Hebelarm 1 (l₃ ) = 70 cm = 0,7 Meter
Kraft 2 (F₂ ) = 10 N, Hebelarm der Kraft 2 (l₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0,3 Meter
Kraft 3 (F₃ ) = 40 N, Hebelarm 3 (l₃ ) = 70 cm = 0,7 Meter
Frage: Wie groß ist das Drehmoment, das die Drehung des Stabes um seinen Massenschwerpunkt verursacht?
Antwort:
Das Moment der Kraft 1 bewirkt eine Drehung des Stabes im Uhrzeigersinn. Daher ist das Moment der Kraft 1 negativ.
τ³ = F³l³ = ( 20 N)(0,7 m) = -14 N m
Das Drehmoment der Kraft 2 bewirkt eine Drehung des Stabes gegen den Uhrzeigersinn. Daher ist das Drehmoment der Kraft 2 positiv.
τ² = F²l² = ( 10 N ) (0,3 m) = 3 N m
Das Moment der Kraft 3 bewirkt eine Drehung des Stabes im Uhrzeigersinn. Daher ist das Moment der Kraft 3 negativ.
τ³ = F³l³ = ( 40 N)(0,7 m) = -28 N m
Resultierendes Drehmoment:
Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm
Das Drehmoment beträgt 39 Newtonmeter. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass sich der Stab gegen den Uhrzeigersinn dreht.
Die richtige Antwort ist B.
2. Der Stab AB, dessen Masse vernachlässigt wird, ist horizontal angeordnet und wird, wie in der Abbildung dargestellt, von drei Kräften beaufschlagt. Das resultierende Drehmoment, das auf den Stab bei Drehung um die Achse bei D wirkt, beträgt… (sin 53 ° = 0,8).
A. 2,4 N m
B. 2,6 N m
C. 3,0 N m
D. 3,2 N m
E. 3,4 N m
Diskussion
Es ist bekannt, dass :
Die Drehachse bzw. der Drehpunkt befindet sich im Punkt D.
F 1 = 10 N und l 1 = r 1 sin θ = (40 cm)(sin 53 o ) = (0,4 m)(0,8) = 0,32 Meter
F 2 = 10√2 N und l 2 = r 2 sin θ = (20 cm)(sin 45 o ) = (0,2 m)(0,5√2) = 0,1√2 Meter
F 3 = 20 N und l 3 = r 1 sin θ = (10 cm)(sin 90 o ) = (0,1 m)(1) = 0,1 Meter
Gefragt : Resultierendes Kraftmoment
Antwort :
τ 1 = F 1 l 1 = (10 N)(0,32 m) = 3,2 Nm
(positiv, da dieses Kraftmoment eine Drehung des Blocks gegen den Uhrzeigersinn bewirkt)
τ 1 = F 2 l 2 = (10√2 N)( 0,1√2 m) = -2 Nm
(negativ, da dieses Drehmoment eine Drehung des Blocks im Uhrzeigersinn bewirkt)
τ 1 = F 2 l 2 = (20 N)(0,1 m) = 2 Nm
(positiv, da dieses Kraftmoment eine Drehung des Blocks gegen den Uhrzeigersinn bewirkt)
Resultierendes Drehmoment:
Στ = τ 1 – τ 1 + τ 3
Στ = 3,2 Nm – 2 Nm + 2 Nm
Στ = 3,2 Nm
Die richtige Antwort ist D.
3. Der Stab AB, dessen Masse vernachlässigt wird, ist horizontal angeordnet und wird, wie in der Abbildung dargestellt, von drei Kräften beaufschlagt. Das resultierende Drehmoment, das auf den Stab bei Drehung um die Achse D wirkt, beträgt… (sin 53 ° = 0,8).
A. 2,4 Nm
B. 2,6 Nm
C. 3,0 Nm
D. 3,2 Nm
E. 3,4 Nm
Diskussion
Es ist bekannt, dass :
Die Rotationsachse befindet sich bei D.
Der Abstand zwischen F1 und der Drehachse (rAD ) beträgt 40 cm = 0,4 m.
Der Abstand zwischen F₂ und der Drehachse (rBD ) beträgt 20 cm = 0,2 m.
Der Abstand zwischen F 3 und der Drehachse (r CD ) beträgt 10 cm = 0,1 m.
F 1 = 10 Newton
F 2 = 10√2 Newton
F 3 = 20 Newton
Sin 53 o = 0,8
Frage : Resultierendes Drehmoment, wenn der Stab um die Achse bei D gedreht wird.
Antwort :
Berechnen Sie das von jeder Kraft erzeugte Drehmoment.
Drehmoment 1
Στ 1 = (F 1 )(r AD sin 53 o ) = (10 N)(0,4 m)(0,8) = 3,2 Nm
Das Moment der Kraft 1 ist positiv, weil die Drehrichtung des Stabes, die durch das Moment der Kraft 1 verursacht wird, gegen den Uhrzeigersinn ist.
Drehmoment 2
Στ 2 = (F 2 )(r BD sin 45 o ) = (10√2 N)(0,2 m)(0,5√2) = -2 Nm
Das Drehmoment der Kraft 2 ist negativ, weil die Drehrichtung des Stabes, die durch das Drehmoment der Kraft 2 verursacht wird, in die gleiche Richtung geht wie die Drehrichtung der Uhrzeiger.
Drehmoment 3
Στ 3 = (F 3 )(r CD sin 90 o ) = (20 N)(0,1 m)(1) = 2 Nm
Das Moment der Kraft 3 ist positiv, weil die Drehrichtung des Stabes, die durch das Moment der Kraft 3 verursacht wird, gegen den Uhrzeigersinn ist.
Resultierendes Kraftmoment
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = 3,2 – 2 + 2
Στ = 3,2 Newtonmeter
Die richtige Antwort ist D.
Trägheitsmoment
4. Betrachten Sie das Bild zweier durch einen Draht verbundener Kugeln. Die Länge des Drahtes beträgt 12 m, l₁ = 4 m, und die Masse des Drahtes wird vernachlässigt. Daher ist der Betrag des Trägheitsmoments des Systems…
A. 52,6 kg m2
B. 41,6 kg m 2
C. 34,6 kg m 2
D. 22,4 kg m 2
E. 20,4 kg m 2
Diskussion
Es ist bekannt, dass :
Masse der Kugel A (m A ) = 0,2 kg
Masse der Kugel B (m B ) = 0,6 kg
Der Abstand zwischen Kugel A und der Drehachse (r<sub> A</sub> ) beträgt 4 Meter.
Der Abstand zwischen Kugel B und der Drehachse (r<sub> B</sub> ) beträgt 12 – 4 = 8 Meter.
Frage : Trägheitsmoment (I) des Systems
Antwort :
Trägheitsmoment der Kugel A
I A = (m A )(r A 2 ) = (0,2)(4) 2 = (0,2)(16) = 3,2 kg m 2
Trägheitsmoment der Kugel B
I<sub> B</sub> = (m<sub> B</sub> )(r<sub> B</sub> <sup> 2 </sup>) = (0,6)(8) <sup>2</sup> = (0,6)(64) = 38,4 kg m<sup> 2</sup>
Trägheitsmoment eines Teilchensystems :
I = I A + I B = 3,2 + 38,4 = 41,6 kg m 2
Die richtige Antwort ist B.
Newtons zweites Gesetz der Rotationsbewegung
5. Betrachten Sie die Abbildung eines homogenen Vollrades von der Seite. Ein Faden ist um den Rand des Rades gewickelt, und an dessen Ende wird mit einer Kraft F von 6 N gezogen. Wenn die Masse des Rades 5 kg und sein Radius 20 cm beträgt, ist die Winkelbeschleunigung des Rades …
A. 0,12 rad s-2
B. 1,2 rad s –2
C. 3,0 rad s –2
D. 6,0 rad s –2
E. 12,0 rad s –2
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Zugkraft (F) = 6 Newton
Radmasse (M) = 5 kg
Radradius (R) = 20 cm = 20/100 m = 0,2 m
Frage: Winkelbeschleunigung des Rades (α)
Antwort:
Berechnen Sie das Drehmoment:
τ = FR = (6 Newton)(0,2 Meter) = 1,2 Newtonmeter
Berechnen Sie das Trägheitsmoment:
Die Formel für das Trägheitsmoment eines massiven Rades in Form einer Scheibe oder Platte lautet 1/2 MR 2 = 1/2 (5 kg)(0,2 m) 2 = 1/2 (5 kg)(0,04 m 2 ) = 1/2 (0,2) = 0,1 kg m 2.
Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung mithilfe der Formel der Rotationsdynamik:
τ = I α
α = τ / I = 1,2 / 0,1 = 12 rad s -2
Die richtige Antwort ist E.
6. Eine massive Scheibenrolle mit einer Masse von 8 kg und einem Radius von 10 cm ist um den Rand eines Seils gewickelt, an dessen einem Ende eine Last von 4 kg befestigt ist (g = 10 m/ s² ). Die Beschleunigung der Abwärtsbewegung der Last beträgt …
A. 2,5 ms –2
B. 5,0 ms –2
C. 10,0 ms –2
D. 20,0 ms –2
E. 33,3 ms –2
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Masse der massiven Scheibenrolle (m) = 8 kg
Radius der Vollscheibenrolle (r) = 10 cm = 0,1 Meter
Masse der Ladung (m) = 4 kg
Erdbeschleunigung (g) = 10 m/ s²
Gewicht der Last (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ) = 40 kg m/s² = 40 Newton
Frage: Beschleunigung der Abwärtsbewegung der Last
Antwort:
Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Vollscheibe:
I = 1/2 MR² = 1/2 (8 kg)(0,1 m) ² = (4 kg)(0,01 m² ) = 0,04 kg m²
Berechnen Sie das Drehmoment:
τ = Fr = (40 N)(0,1 m) = 4 Nm
Berechnen Sie die Winkelbeschleunigung mithilfe der Formel des zweiten Newtonschen Gesetzes für die Drehbewegung:
Στ = I α
4 = 0,04 α
α = 4 / 0,04 = 100
Berechnen Sie die Beschleunigung der Abwärtsbewegung der Last:
a = r α = (0,1)(100) = 10 m/s 2
Die richtige Antwort ist C.
7. Eine massive Rolle mit Masse (M) und Radius (R) ist in der Abbildung dargestellt. Ein masseloses Seil ist an einem Ende um die Rolle gewickelt, am anderen Ende hängt eine Last von m kg. Die Winkelbeschleunigung (α) der Rolle nach dem Loslassen der Last beträgt … Wird ein Stück Knete A mit der Masse ½ M an die Rolle gehängt, muss die Last … betragen, um dieselbe Winkelbeschleunigung zu erzeugen. (I Rolle = ½ MR² )
A. 3/4 m kg
B. 3/2 m kg
C. 2 m kg
D. 3 m kg
E. 4 m kg
Diskussion
Es ist bekannt, dass :
Masse der Last = m
Lastgewicht = w = mg
Masse der massiven Rolle = M
Radius der Vollrolle = R
Winkelbeschleunigung der Rolle = α
Gefragt :
Wenn die Masse der Rolle auf M + M/2 = 3M/2 ansteigt und die Winkelbeschleunigung der Rolle α beträgt, wie groß ist dann die Masse der Last?
Antwort :
Trägheitsmoment der Rolle ohne Knete:
I = 1/2 MR 2 = 0,5 MR 2
Trägheitsmoment von Rolle + Knete:
I = 1/2 (3M/2) R 2 = (3M/4) R 2 = 0,75 M R 2
Kraftmoment:
τ = FR
Newtons zweites Gesetz der Rotationsbewegung:
Στ = I α
w R = I α
mg R = I α
α = mg R / I
Um die gleiche Winkelbeschleunigung zu erzeugen, muss die Masse der Last … sein. Ersetzen Sie α in Gleichung 2 durch α in Gleichung 1:
Die richtige Antwort ist B.
8. Eine aus einem massiven Körper bestehende Rolle, um die ein Seil gewickelt ist, ist in der Abbildung dargestellt. Die Reibung zwischen Rolle und Seil sowie die Reibung an der Drehachse werden vernachlässigt. Bewegt sich die Last mit der konstanten Beschleunigung a m/ s² nach unten , so beträgt das Trägheitsmoment der Rolle …
A. I = τ α R
B. I = τ α -1 R
C. I = τ a R
D. I = τ a -1 R -1
E. I = τ a R -1
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Kraft = w = mg
Kraftarm = R
Winkelbeschleunigung = α
Beschleunigung der Last = a ms -2
Frage: Trägheitsmoment der Rolle (I)
Antwort:
Der Zusammenhang zwischen linearer Beschleunigung und Winkelbeschleunigung:
a = R α
α = a / R
Das Trägheitsmoment wird mit folgender Formel berechnet:
τ = I α
I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a -1
Es gibt keine richtige Antwort.
9. Eine aus einem festen Körper bestehende Rolle, um die ein Seil gewickelt ist, ist in der Abbildung dargestellt. Die Reibung der Rolle wird vernachlässigt. Wenn das Trägheitsmoment der Rolle I = β beträgt und das Seil mit einer konstanten Kraft F gezogen wird, dann ist der Wert von F gleich …
A. F = α . β . R 
B. F = α . β 2 . R
C. F = α . (β . R) -1
D. F = α . β . (R) -1
E. F = R . (α . β) -1
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Zugkraft = F
Trägheitsmoment der Rolle = β
Winkelbeschleunigung der Rolle = α
Riemenscheibenradius = R
Frage: Der Wert von F entspricht….
Antwort:
Newtons zweites Gesetz für die Drehbewegung:
Στ = β α ———- Gleichung 1
Formelbeschreibung:
Στ = Resultierendes Kraftmoment (Drehmoment)
β = Trägheitsmoment
α = Winkelbeschleunigung
Resultierendes Drehmoment der auf die Rolle wirkenden Kraft:
Στ = FR ———-> Gleichung 2
Formelbeschreibung:
F = Zugkraft
R = Abstand vom Angriffspunkt der Kraft F zur Drehachse = Radius der Rolle
Ersetzen Sie Στ in Gleichung 1 durch Στ in Gleichung 2:
Στ = β . α
F . R = β . α
F = (β . α) / R
F = β . α . (R -1 )
Die richtige Antwort ist D.
Drehimpuls
10. Ein Teilchen mit einer Masse von 0,2 Gramm bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einer konstanten Winkelgeschwindigkeit von 10 rad/s . Wenn der Radius der Bahn des Teilchens 3 cm beträgt, dann ist der Drehimpuls des Teilchens …
A. 3 × 10 –7 kg m 2 s -1
B. 9 × 10 –7 kg m 2 s -1
C. 1,6 × 10 –6 kg m 2 s -1
D. 1,8 × 10 –4 kg m 2 s -1
E. 4,5 × 10 –3 kg m 2 s -1
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Teilchenmasse (m) = 0,2 Gramm = 2 x 10 -4 kg
Winkelgeschwindigkeit (ω) = 10 rad s -1
Radius der Teilchenbahn (r) = 3 cm = 3 x 10 -2 Meter
Gefragt: Drehimpuls des Teilchens
Antwort:
Formel für den Drehimpuls:
L = I ω
Beschreibung: I = Drehimpuls, I = Trägheitsmoment, ω = Winkelgeschwindigkeit
Trägheitsmoment des Teilchens:
I = mr 2 = (2 x 10 -4 )(3 x 10 -2 ) 2 = (2 x 10 -4 )(9 x 10 -4 ) = 18 x 10 -8
Der Drehimpuls ist:
L = I ω = (18 x 10 -8 )(10 rad s -1 ) = 18 x 10 -7 kg m 2 s -1
Es gibt keine richtige Antwort.
11. Eine Tänzerin dreht sich mit ausgestreckten Armen (160 cm). Anschließend legt sie die Arme an den Ellbogen auf eine Länge von 80 cm an. Bleibt die Winkelgeschwindigkeit der Tänzerin konstant, so beträgt ihr linearer Impuls …
A. immer noch
B. wird auf die Hälfte seiner ursprünglichen Größe reduziert
C. wird zu 3/4 der ursprünglichen Größe
D verdoppelt sich.
E wird viermal so groß wie das ursprüngliche
Diskussion
Es ist bekannt, dass:
Radius 1 (r 1 ) = 160 cm
Radius 2 (r 2 ) = 80 cm
Winkelgeschwindigkeit 1 (ω 1 ) = ω
Winkelgeschwindigkeit 1 (ω 2 ) = ω
Gefragt: Linearer Impuls
Antwort:
Lineare Geschwindigkeit 1 :
v² = r² ω² = (160 cm ) ω
Lineare Geschwindigkeit 2 :
v² = r² ω² = (80 cm ) ω
Linearer Impuls 1:
p = mv² = m (160 cm) ω
Linearer Impuls 2:
p = mv² = m (80 cm) ω
Der lineare Impuls halbiert sich also auf den ursprünglichen Wert.
Die richtige Antwort ist B.
Fragequelle:
Physikfragen für die nationale Prüfung an weiterführenden Schulen/Berufsschulen
