30 Varmemotorer (anvendelse af termodynamikkens anden lov) – problemer og løsninger
1. Varmetilførsel Q H = 3000 joule og varmeafgivelse Q L = 1000 joule. Hvad er virkningsgraden af varmemotoren?
Kendt:
Varmetilførsel (QH ) = 3000 joule
Varmeafgivelse (QL ) = 1000 joule
Arbejde udført af motoren (W) = 3000 – 1000 = 2000 joule
Ønsket: Effektivitet af varmemotoren (e)
opløsning:
2. En varmemotor producerer 2000 joule mekanisk arbejde, og motoren afgiver varme til omgivelserne med en hastighed på 500 joule. Hvad er varmemotorens virkningsgrad?
Kendt:
Arbejdet udføres af motoren (W) = 2000 Joule
Varmeafgivelse (QL ) = 5000 joule
Varmetilførsel (QH ) = 2000 + 5000 = 7000 joule
Ønsket: Effektivitet (e)
opløsning:
3. En varmemotor har en virkningsgrad på 30%. Hvis motoren producerer 10,000 joule mekanisk arbejde, hvor meget varme udledes så som spildvarme fra denne motor?
Kendt:
Effektivitet (e) = 30 % = 30/100 = 0.3
Arbejdet udføres af motoren (W) = 3,000 Joule
Ønsket : Varmeydelse (Q L )
opløsning:
Varmeafgivelse (QL ) = varmetilførsel (QH ) – arbejdet udføres af motoren (W)
Q L = 10,000 Joule – 3,000 Joule
QL = 7,000 joule
4. Bestem virkningsgraden af en Carnot-motor, der opererer mellem to reservoirer ved temperaturer på 500 K og 300 K.
Løsning: Ved at bruge Carnots effektivitetsformel, \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{cold}}}{T_{\text{hot}}}\), får vi \(\meta = 1 – \frac{300}{500} = 0.4\) eller \(40\%).
5. En varmemotor absorberer 2000 J varme fra et varmt reservoir og afgiver 1200 J til et koldt reservoir. Beregn det arbejde, som motoren udfører.
Løsning: Ved at bruge termodynamikkens første lov, \(Q_{\text{hot}} = W + Q_{\text{cold}}\), er det udførte arbejde \(W = 2000 – 1200 = 800\ \text{J}\).
6. Beregn virkningsgraden af en varmemotor, der absorberer 1000 J fra et varmt reservoir og udfører 600 J arbejde.
Løsning: \(\meta = \frac{W}{Q_{\text{hot}}} = \frac{600}{1000} = 0.6\) eller \(60\%\).
7. En varmemotor arbejder mellem 400 K og 200 K. Bestem den maksimalt mulige virkningsgrad.
Løsning: \(\meta_{\text{max}} = 1 – \frac{T_{\text{kold}}}{T_{\text{varm}}} = 1 – \frac{200}{400} = 0.5\) eller \(50\%\).
8. En varmemotor afgiver 300 J til det kolde reservoir, mens den udfører 200 J arbejde. Beregn den varme, der absorberes fra det varme reservoir.
Løsning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kold}} = 200 + 300 = 500 \\text{J}\).
9. Bestem effektiviteten af en Otto-cyklus med et kompressionsforhold på 8.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{1}{r^{(\gamma – 1)}} = 1 – \frac{1}{8^{(1.4 – 1)}} \approx 0.564\) eller \(56.4\%\), hvor \(\gamma\) er varmekapacitetsforholdet.
10. En varmemotor udfører 150 J arbejde og afgiver 100 J til det kolde reservoir. Find den varme, der absorberes fra det varme reservoir.
Løsning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kold}} = 150 + 100 = 250 \\text{J}\).
11. Bestem virkningsgraden af en dieselmotor med et kompressionsforhold på 18 og et afskæringsforhold på 2.
Løsning: (η = 1 – (1)/r^{(γ – 1)) ((r_c – 1)/r_c) = ca. 0.627) eller (62.7%), hvor (r) er kompressionsforholdet, (r_c) er afskæringsforholdet, og (γ) er varmekapacitetsforholdet.
12. Beregn det arbejde, der udføres af en varmemotor, der absorberer 400 J og har en virkningsgrad på 50%.
Løsning: (W = η Q = 0.5 400 = 200 J).
13. En varmemotor arbejder mellem 600 K og 300 K. Find Carnot-virkningsgraden.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kold}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{300}{600} = 0.5\) eller \(50\%\).
14. En varmemotor absorberer 3000 J og afgiver 1800 J til det kolde reservoir. Beregn det udførte arbejde.
Løsning: (W = Q_{\text{varm}} – Q_{\text{kold}} = 3000 – 1800 = 1200 \\text{J}\).
15. Bestem virkningsgraden af en Stirling-motor, der opererer mellem to reservoirer ved 800 K og 400 K.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kold}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{400}{800} = 0.5\) eller \(50\%\).
16. En varmemotor afgiver 500 J til det kolde reservoir, mens den udfører 300 J arbejde. Beregn den varme, der absorberes fra det varme reservoir.
Løsning: (Q_{\text{varm}} = W + Q_{\text{kold}} = 300 + 500 = 800 \\text{J}\).
17. Bestem effektiviteten af en Ericsson-cyklus med varme og kolde reservoirer ved 1000 K og 250 K.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kold}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{250}{1000} = 0.75\) eller \(75\%\).
18. En varmemotor udfører 700 J arbejde og har en virkningsgrad på 70%. Beregn den varme, der afgives til det kolde reservoir.
Løsning: (Q_{cold} = \frac{W}{η} – W = \frac{700}{0.7} – 700 = 1000 – 700 = 300 \text{J}).
19. Bestem effektiviteten af en Brayton-cyklus med trykforhold på 6.5 og γ = 1.4.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{1}{r_p^{(\gamma – 1)/\gamma}} \approx 0.433\) eller \(43.3\%\), hvor \(r_p\) er trykforholdet.
20. Beregn arbejdet udført af en varmemotor, der absorberer 250 J og afgiver 100 J til det kolde reservoir.
Løsning: (W = Q_{\text{varm}} – Q_{\text{kold}} = 250 – 100 = 150 \\text{J}\).
21. En varmemotor arbejder mellem 450 K og 150 K. Find Carnot-virkningsgraden.
Løsning: \(\meta = 1 – \frac{T_{\text{kold}}}{T_{\text{varm}} = 1 – \frac{150}{450} \approx 0.667\) eller \(66.7\%\).
22. Bestem effektiviteten af en Atkinson-cyklus med et kompressionsforhold på 10.
Løsning: \(η = 1 – \frac{1}{r^{(γ – 1)}} \approx 0.593\) eller \(59.3\%\),
hvor r er kompressionsforholdet og gamma er varmekapacitetsforholdet.
20. En varmemotor absorberer 180 J og har en virkningsgrad på 40%. Beregn det udførte arbejde.
Løsning: (W = η Q = 0.4 180 = 72 J).
Bemærk: For problemer, der involverer specifikke varmecyklusser (som Otto, Diesel osv.), blev visse værdier som varmekapacitetsforholdet γ anvendt, som er typiske for visse gasser (f.eks. γ = 1.4 for luft). Disse værdier kan variere afhængigt af de specifikke stoffer, der anvendes i motoren.
