Contoh Soal dan Pembahasan Lingkaran dan Garis Singgung
Lingkaran dan garis singgung adalah dua topik yang sering dibahas dalam matematika, terutama di tingkat sekolah menengah. Pemahaman tentang konsep dan penerapan garis singgung terhadap lingkaran sangat penting untuk memperdalam pengetahuan geometri. Artikel ini akan memberikan contoh soal dan pembahasan mengenai lingkaran dan garis singgung untuk memberikan pemahaman lebih mendalam kepada pembaca.
Pengantar Teori Lingkaran dan Garis Singgung
Lingkaran
Lingkaran adalah sekumpulan titik-titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tetap yang disebut pusat lingkaran. Jarak tetap tersebut dikenal sebagai jari-jari lingkaran. Secara matematis, lingkaran dapat didefinisikan dengan persamaan:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
di mana \((a, b)\) adalah koordinat pusat lingkaran dan \(r\) adalah jari-jari.
Garis Singgung
Garis singgung suatu lingkaran adalah garis yang menyentuh lingkaran tepat di satu titik. Titik ini disebut titik singgung. Karakteristik utama dari garis singgung adalah bahwa ia tegak lurus terhadap jari-jari yang ditarik dari pusat lingkaran ke titik singgung.
Contoh Soal dan Pembahasan
Soal 1: Menentukan Persamaan Garis Singgung
Soal:
Diketahui sebuah lingkaran dengan pusat di \( (2, 3) \) dan jari-jari 5. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran di titik \( P \) dengan koordinat \( (5, 7) \).
Pembahasan:
Langkah 1: Pastikan bahwa titik \( P \) benar-benar berada di lingkaran.
Untuk mengecek apakah \( P (5, 7) \) berada pada lingkaran dengan pusat \( (2, 3) \) dan jari-jari \( 5 \), substitusi koordinat \( P \) ke dalam persamaan lingkaran:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Karena kesamaan tersebut benar, titik \( P \) memang terletak di lingkaran.
Langkah 2: Menentukan gradien jari-jari yang melalui \( (2, 3) \) dan \( (5, 7) \):
\[ m_{jari-jari} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Langkah 3: Gradien garis singgung tegak lurus gradien jari-jari (gradien hasil kali -1):
\[ m_{garis\ singgung} = -\frac{1}{m_{jari-jari}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Langkah 4: Menentukan persamaan garis singgung menggunakan titik \( P (5, 7) \):
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Menyederhanakan:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Jadi, persamaan garis singgung tersebut adalah:
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Soal 2: Menentukan Titik Singgung Dari Persamaan Garis
Soal:
Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan \( x^2 + y^2 = 25 \) dan sebuah garis \( y = \frac{3}{4}x + 2 \). Tentukan titik singgung antara garis tersebut dan lingkaran.
Pembahasan:
Langkah 1: Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan lingkaran:
Persamaan lingkaran:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Gantikan \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) ke dalam persamaan lingkaran:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Langkah 2: Menyederhanakan persamaan:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Langkah 3: Mencari akar dengan rumus kuadrat:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Memilih \( x \) yang valid berdasarkan titik singgung (satu \( x \) saja yang akan menghasilkan titik singgung):
\[ x = \frac{141.501}{50} \approx 2.83 \]
\[ x \approx 2.83 \]
Langkah 4: Substitusi \( x \) ke dalam persamaan garis untuk mendapatkan \( y \):
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \approx 2.12 + 2 \]
\[ y \approx 4.12 \]
Jadi, titik singgung antara garis \( y = \frac{3}{4}x + 2 \) dan lingkaran \( x^2 + y^2 = 25 \) adalah \( (2.83, 4.12) \).
Kesimpulan
Menguasai konsep lingkaran dan garis singgung melibatkan pemahaman dasar-dasar geometri serta kemampuan memecahkan masalah menggunakan persamaan matematika. Soal-soal seperti di atas membantu siswa mempraktikkan penerapan teori dalam situasi yang lebih konkret. Dengan latihan yang konsisten, siswa diharapkan dapat memahami dan menyelesaikan soal dengan lebih mudah.
