Contoh Soal Pembahasan Kuartil Data Kelompok
Pendahuluan
Kuartil dalam statistika merupakan salah satu ukuran pemusatan yang membagi data menjadi empat bagian yang sama banyak. Kuartil terdiri dari kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3). Dalam banyak kasus, data yang dianalisis bisa berupa data kelompok. Artikel ini akan membahas contoh soal dan pembahasan kuartil untuk data kelompok.
Pengertian Kuartil dalam Data Kelompok
Kuartil adalah nilai yang membagi data yang terorganisir dalam empat bagian yang sama besar. Kuartil pertama (Q1) dikenal sebagai persentil ke-25, kuartil kedua (Q2) dikenal juga sebagai median atau persentil ke-50, dan kuartil ketiga (Q3) dikenal sebagai persentil ke-75.
Untuk data kelompok, penghitungan kuartil akan sedikit lebih rumit dibandingkan dengan data tunggal. Data kelompok biasanya disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, sehingga kita harus menggunakan formula tertentu untuk menemukan kuartil.
Formula Kuartil untuk Data Kelompok
Untuk menemukan kuartil dalam data kelompok, kita menggunakan formula berikut:
– Kuartil pertama (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]
– Kuartil kedua (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]
– Kuartil ketiga (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]
Di mana:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = batas bawah kelas Q1, Q2, Q3
– \( N \) = jumlah data
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = frekuensi kumulatif sebelum kelas Q1, Q2, Q3
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = frekuensi kelas Q1, Q2, Q3
– \( c \) = panjang kelas
Contoh Soal
Berikut adalah contoh soal data kelompok yang akan digunakan untuk menghitung kuartil:
| Nilai | Frekuensi |
|———|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
Langkah 1: Menentukan Frekuensi Kumulatif
Pertama-tama, kita perlu menentukan frekuensi kumulatif untuk setiap kelas:
| Nilai | Frekuensi | Frekuensi Kumulatif |
|———|———–|———————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
Jumlah data (N) = 50
Langkah 2: Menentukan Kuartil Pertama (Q1)
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
Kita mencari kelas di mana frekuensi kumulatif pertama kali melebihi 12.5, yaitu kelas 20 – 29.
– L (batas bawah kelas Q1) = 20
– F (frekuensi kumulatif sebelum kelas Q1) = 5
– f (frekuensi kelas Q1) = 8
– c (panjang kelas)= 10
Menggunakan formula Q1:
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{12.5 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7.5}{8} \right) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
Langkah 3: Menentukan Kuartil Kedua (Q2)
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
Kita mencari kelas di mana frekuensi kumulatif pertama kali melebihi 25, yaitu kelas 30 – 39.
– L = 30
– F = 13
– f = 12
– c = 10
Menggunakan formula Q2:
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{25 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{12}{12} \right) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
Langkah 4: Menentukan Kuartil Ketiga (Q3)
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \)
Kita mencari kelas di mana frekuensi kumulatif pertama kali melebihi 37.5, yaitu kelas 40 – 49.
– L = 40
– F = 25
– f = 15
– c = 10
Menggunakan formula Q3:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \approx 48.333
\]
Kesimpulan
Dari perhitungan di atas, kita memperoleh nilai-nilai kuartil untuk data kelompok sebagai berikut:
– Kuartil pertama (Q1) = 29.375
– Kuartil kedua (Q2) = 40
– Kuartil ketiga (Q3) = 48.333
Nilai-nilai ini memungkinkan kita untuk memahami bagaimana data tersebar dalam kelompok tersebut. Misalnya, 25% data berada di bawah nilai 29.375 (Q1), 50% data berada di bawah 40 (median atau Q2), dan 75% data berada di bawah 48.333 (Q3).
Penghitungan kuartil sangat berguna dalam berbagai situasi untuk mendapatkan gambaran yang lebih mendalam tentang distribusi data. Dengan memahami metode ini, kita dapat menganalisis data kelompok dengan lebih akurat dan efektif.
