Contoh Soal Pembahasan Aturan Penjumlahan Dua Kejadian A dan B Saling Lepas
Dalam teori probabilitas, aturan penjumlahan dua kejadian adalah salah satu prinsip dasar yang digunakan untuk menghitung probabilitas dari beberapa kejadian. Konsep ini sering diterapkan dalam berbagai situasi untuk memahami kemungkinan hasil dari kejadian tertentu. Pada artikel ini, kita akan membahas aturan penjumlahan dua kejadian yang saling lepas, serta memberikan contoh soal pembahasan untuk memperjelas konsep ini.
Aturan Penjumlahan Dua Kejadian Saling Lepas
Pertama-tama, penting untuk memahami apa yang dimaksud dengan kejadian saling lepas. Dua kejadian dikatakan saling lepas (disjoint atau mutually exclusive) apabila mereka tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Dengan kata lain, tidak ada elemen dalam himpunan dari satu kejadian yang juga merupakan elemen dalam himpunan dari kejadian lainnya.
Aturan penjumlahan dalam probabilitas menyatakan bahwa jika dua kejadian \(A\) dan \(B\) adalah saling lepas, maka probabilitas dari kejadian \(A\) atau \(B\) adalah jumlah dari probabilitas kedua kejadian tersebut. Secara matematis, aturan ini dapat dinyatakan sebagai:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
di mana \(P(A \cup B)\) adalah probabilitas dari \(A\) atau \(B\), \(P(A)\) adalah probabilitas dari kejadian \(A\), dan \(P(B)\) adalah probabilitas dari kejadian \(B\).
Contoh Soal Pembahasan
Mari kita bahas beberapa contoh soal untuk memperjelas penerapan aturan penjumlahan dua kejadian saling lepas.
Contoh Soal 1
Soal:
Sebuah dadu bersisi enam dilemparkan sekali. Tentukan probabilitas bahwa nilai yang muncul adalah 2 atau 4.
Pembahasan:
Kita dapat definisikan kejadian \(A\) sebagai munculnya nilai 2, dan kejadian \(B\) sebagai munculnya nilai 4. Dengan demikian:
– \(P(A)\) adalah probabilitas munculnya nilai 2.
– \(P(B)\) adalah probabilitas munculnya nilai 4.
Karena dadu memiliki enam sisi yang sama kemungkinan, probabilitas munculnya nilai tertentu adalah \( \frac{1}{6} \). Jadi:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
Kejadian \(A\) dan \(B\) adalah saling lepas karena nilai 2 dan 4 tidak dapat muncul secara bersamaan dalam satu lemparan dadu. Maka, menggunakan aturan penjumlahan untuk dua kejadian saling lepas:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Jadi, probabilitas bahwa nilai yang muncul adalah 2 atau 4 adalah \( \frac{1}{3} \) atau sekitar 33.33%.
Contoh Soal 2
Soal:
Dalam sebuah kantong terdapat 10 bola yang terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola biru. Jika kita mengambil satu bola secara acak, berapakah probabilitas bahwa bola yang terambil adalah bola merah atau bola biru?
Pembahasan:
Kita dapat definisikan kejadian \(A\) sebagai mengambil bola merah, dan kejadian \(B\) sebagai mengambil bola biru. Dengan demikian:
– \(P(A)\) adalah probabilitas mengambil bola merah.
– \(P(B)\) adalah probabilitas mengambil bola biru.
Probabilitas setiap kejadian dapat dihitung sebagai berikut:
\[ P(A) = \frac{\text{Jumlah bola merah}}{\text{Jumlah total bola}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Jumlah bola biru}}{\text{Jumlah total bola}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Kejadian \(A\) dan \(B\) adalah saling lepas karena sebuah bola tidak bisa menjadi merah dan biru sekaligus. Maka, menggunakan aturan penjumlahan untuk dua kejadian saling lepas:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Jadi, probabilitas bahwa bola yang terambil adalah bola merah atau bola biru adalah 1 atau 100%. Ini masuk akal karena semua bola dalam kantong adalah merah atau biru.
Contoh Soal 3
Soal:
Dalam suatu kelas terdapat 20 siswa, 7 di antaranya menyukai matematika, 5 menyukai sains, dan tidak ada siswa yang menyukai keduanya. Jika satu siswa dipilih secara acak, tentukan probabilitas siswa tersebut menyukai matematika atau sains.
Pembahasan:
Kita dapat definisikan kejadian \(A\) sebagai menyukai matematika, dan kejadian \(B\) sebagai menyukai sains. Dengan demikian:
– \(P(A)\) adalah probabilitas siswa menyukai matematika.
– \(P(B)\) adalah probabilitas siswa menyukai sains.
Probabilitas setiap kejadian dapat dihitung sebagai berikut:
\[ P(A) = \frac{\text{Jumlah siswa yang menyukai matematika}}{\text{Jumlah total siswa}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Jumlah siswa yang menyukai sains}}{\text{Jumlah total siswa}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Kejadian \(A\) dan \(B\) adalah saling lepas karena tidak ada siswa yang menyukai keduanya. Maka, menggunakan aturan penjumlahan untuk dua kejadian saling lepas:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Jadi, probabilitas bahwa siswa yang dipilih secara acak menyukai matematika atau sains adalah \( \frac{3}{5} \) atau 60%.
Kesimpulan
Aturan penjumlahan dua kejadian yang saling lepas merupakan konsep dasar dalam teori probabilitas yang memudahkan perhitungan probabilitas dari kejadian gabungan. Dalam berbagai contoh di atas, kita telah melihat bahwa prinsip ini dapat diterapkan dalam situasi nyata seperti melempar dadu, mengambil bola dari kantong, atau memilih siswa dari kelas. Dengan memahami dan menguasai konsep ini, kita dapat dengan lebih efektif menghitung probabilitas dari berbagai kejadian yang saling lepas dalam kehidupan sehari-hari.
