Muvimentu rotazionale - prublemi è suluzioni

Muvimentu rotazionale - prublemi è suluzioni

Torque

1. Una trave di 140 cm di lunghezza. Ci sò trè forze chì agiscenu nantu à a trave, F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N, è F3 ₌ 40 N cù a direzzione è a pusizione cum'è mostrata in a figura sottu. Chì ghjè a coppia chì face chì a trave roti intornu à u centru di massa di a trave ?

Cunnisciutu:

U centru di massa hè situatu à u centru di a trave.

Lunghezza di a trave (l) = 140 cm = 1.4 metri

Forza 1 (F ₁ ) = 20 N, u bracciu di leva 1 (l ₁ ) = 70 cm = 0.7 metri

Forza 2 (F ₂ ) = 10 N, u bracciu di leva 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 metri

Forza 3 (F ₃ ) = 40 N, u bracciu di leva 3 (l ₃ ) = 70 cm = 0.7 metri

Cercatu: A magnitudine di a coppia

Soluzione:

A coppia 1 gira a trave in sensu orariu, dunque hè assignata un segnu negativu à a coppia 1.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

A coppia 2 gira a trave in sensu antiorariu, assignendu cusì un segnu pusitivu à a coppia 2.

τ₂ ₌ F₂ _{l₂ = (10 N )} (0.3 m ) = 3 N₁

A coppia 3 gira u fasciu in sensu orariu, dunque hè assignatu un segnu pusitivu à a coppia 3.

τ3 ₌ F3l3 = ( ₄₀ N)(0.7 m) = -28 Nm

A coppia netta:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

A magnitudine di u torque hè 39 N m. A direzzione di rotazione di u raghju in sensu orariu, dunque hè assignata un segnu negativu.

2. Chì ghjè u mumentu netu chì agisce nantu à a trave? L'asse di rotazione à u puntu D. (sin 53 ^o = 0.8)

Cunnisciutu:

L'asse di rotazione à u puntu D

F ₁ = 10 N et l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 mètres

F ₂ = 10√2 N et l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 mètres

F ₃ = 20 N et l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 mètres

Cercatu: A coppia netta

Soluzione:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(A coppia 1 gira u fasciu in sensu antiorariu, dunque assignemu un segnu pusitivu à a coppia 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(A coppia 2 gira u fasciu in sensu orariu, dunque assignemu un segnu negativu à a coppia 2)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(A coppia 3 gira u fasciu in sensu antiorariu, dunque assignemu un segnu pusitivu à a coppia 3)

A coppia netta:

Στ = _τ1 – _τ1 + _τ3

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Chì ghjè u torque netu s'è l'asse di rotazione à u puntu D. (sin 53 ^o = 0.8)

Cunnisciutu:

L'asse di rotazione à u puntu D.

Distanza trà F ₁ è l'asse di rotazione (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Distanza trà F2 _è l'asse di rotazione (r _BD ) = 20 cm = 0.2 m

Distanza trà F ₃ è l'asse di rotazione (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F1 = ₁₀ Newton

F² = _10√² Newton

F3 = ₂₀ Newton

Sin 53 ^o = 0.8

Cercatu: A coppia netta

Soluzione:

U mumentu di a forza 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(A coppia 1 gira u fasciu in sensu antiorariu, dunque assignemu un segnu pusitivu à a coppia 1)

U mumentu di a forza 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(A coppia 2 gira u fasciu in sensu orariu, dunque assignemu un segnu negativu à a coppia 2)

U mumentu di a forza 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(A coppia 2 gira u fasciu in sensu antiorariu, dunque assignemu un segnu pusitivu à a coppia 3)

A coppia netta:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newton metri

U mumentu d'inerzia

4. Lunghezza di u filu = 12 m, l1 ₌ 4 m. Ignurate a massa di u filu. Chì ghjè u mumentu d'inerzia di u sistema.

Cunnisciutu:

Massa di A (mA ₎ = 0.2 kg

Massa di B (m²B ₎ = 0.6 kg

Distanza trà A è l'asse di rotazione (r _A ) = 4 metri

Distanza trà B è l'asse di rotazione (r _B ) = 12 – 4 = 8 metri

Cercatu: U mumentu d'inerzia di u sistema

Soluzione:

U mumentu d'inerzia di A

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

U mumentu d'inerzia di B

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.6)(8) ^{2 =} (0.6)(64) = 38.4 kg ^m2

U mumentu d'inerzia di u sistema:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Dinamica rotazionale

5. Una forza di 6 N hè applicata à una corda avvolta intornu à una puleggia di massa M = 5 kg è raghju R = 20 cm. Chì ghjè l'accelerazione angulare di a puleggia. A puleggia hè un cilindru solidu uniforme.

Cunnisciutu:

Forza (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Raggiu (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Cercatu: Accelerazione angulare (α)

Soluzione:

U mumentu di a forza:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 mètres) = 1.2 N m

U mumentu d'inerzia per un cilindru solidu:

I = 1/2 ^MR2

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg ^m².

L'accelerazione angulare:

τ = Iα

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Un bloccu di massa = 4 kg appesu à una corda avvolta intornu à una puleggia di massa = 8 kg è raghju R = 10 cm. L'accelerazione dovuta à a gravità hè 10 ms ^-2 . Chì ghjè l'accelerazione lineare di u bloccu? A puleggia hè un cilindru solidu uniforme.

Cunnisciutu:

Massa di a puleggia (m) = 8 kg

Raggiu di a puleggia (r) = 10 cm = 0.1 m

Massa di u bloccu (m) = 4 kg

Accelerazione di gravità (g) = 10 m/ ^s²

Pesu (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Cercatu: L'accelerazione di caduta libera di u bloccu

Soluzione:

U mumentu d'inerzia di u cilindru solidu:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

U mumentu di a forza:

τ = F r = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

L'accelerazione angulare:

Στ = Iα

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

L'accelerazione lineare:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Un bloccu cù una massa di m appesu à una corda avvolta intornu à una puleggia. Sè l' accelerazione di caduta libera di u bloccu hè am/s² ^, chì ghjè u mumentu d'inerzia di a puleggia?

Cunnisciutu:

pesu = w = mg

Bracciu di leva = R

L'accelerazione angulare = α

L'accelerazione di caduta libera di u bloccu = a ms ^-2

Cercatu: U mumentu d'inerzia di a puleggia (I)

Soluzione:

A cunnessione trà l'accelerazione lineare è l'accelerazione angulare:

a = Rα

α = a / R

U mumentu d'inerzia:

τ = Iα

I = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

U mumentu angulare

8. Una particella di 0.2 grammi si move in un cerchju à una velocità costante di 10 m/s. U raghju di u cerchju hè 3 cm. Chì ghjè u mumentu angulare di a particella ?

Cunnisciutu:

Massa di a particella (m) = 0.2 grammi = 2 x 10 ^-4 kg

Velocità angulare (ω) = 10 rad s ^-1

Ragiu (r) = 3 cm = 3 x 10 ^-2 metri

Cercatu: U mumentu angulare di a particella

Soluzione:

L'equazione di u mumentu angulare:

L = I ω

I = u mumentu angulare, I = u mumentu d'inerzia, ω = a velocità angulare

U mumentu d'inerzia (per e particelle):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

U mumentu angulare:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg ^m² s ^-1

1. Chì ghjè u muvimentu di rotazione?
   • AvantiU muvimentu di rotazione si riferisce à u muvimentu di un ughjettu intornu à un asse fissu. Hè u tipu di muvimentu in u quale ogni puntu di l'ughjettu si move in un cerchju intornu à l'asse.
2. Cumu si riferisce a velocità lineare à a velocità angulare in u muvimentu di rotazione?
   • Avanti: Velocità lineare ($v$) di un puntu in un ughjettu in rotazione hè direttamente proporzionale à a so distanza ($r$) da l'asse di rotazione è a velocità angulare ($\omega$) di l'ughjettu. A relazione hè data da $v=r\cdot \omega$.
3. Chì ghjè u mumentu d'inerzia, è cumu si riferisce à u muvimentu di rotazione ?
   • AvantiU mumentu d'inerzia hè l'analogu rotazionale di a massa in u muvimentu lineare. Misura a resistenza di un ughjettu à i cambiamenti in u so statu rotazionale. U mumentu d'inerzia dipende sia da a massa di un ughjettu sia da a so distribuzione in relazione à l'asse di rotazione.
4. Cumu s'applica a prima lege di u muvimentu di Newton à u muvimentu di rotazione?
   • AvantiCum'è un ughjettu in muvimentu lineare ferma in muvimentu à menu chì ùn sia sottumessu à una forza esterna, un ughjettu in muvimentu di rotazione resterà in quellu statu à menu chì ùn sia sottumessu à una coppia esterna.
5. Chì ghjè l'impurtanza di u raghju di girazione ?
   • AvantiU raghju di girazione furnisce una misura di a distribuzione di a massa di un ughjettu luntanu da u so asse di rotazione. Descrive essenzialmente quantu luntanu da l'asse tutta a massa di l'ughjettu duveria esse cuncintrata per avè u listessu mumentu d'inerzia cum'è a distribuzione originale.
6. Chì ghjè u mumentu angulare è cumu si cunserva?
   • AvantiU mumentu angulare hè l'equivalente rotazionale di u mumentu lineare. Hè u pruduttu di u mumentu d'inerzia di un ughjettu è di a so velocità angulare. In un sistema chjusu, u mumentu angulare tutale ferma custante, salvu chì ùn sia influenzatu da una coppia esterna, ciò chì mette in risaltu a cunservazione di u mumentu angulare.
7. Cumu a coppia influenza u muvimentu di rotazione?
   • AvantiA coppia hè l'equivalente rotazionale di a forza. Provoca cambiamenti in u muvimentu rotazionale di un ughjettu. A relazione hè data da a seconda lege di Newton per a rotazione: $\tau =I\cdot \alpha$, induve $\tau$ hè a coppia, $I$ hè u mumentu d'inerzia, è $\alpha$ hè l'accelerazione angulare.
8. Cumu si distingue u centru di massa da u centru di rotazione ?
   • AvantiMentre ponu cuincidere, u centru di massa hè u puntu induve si pò suppone chì tutta a massa di un ughjettu sia cuncentrata per u scopu di calculi in muvimentu lineare, mentre chì u centru di rotazione hè u puntu (o asse) intornu à u quale un ughjettu gira.
9. Chì ghjè u rolu di a forza centripeta in u muvimentu di rotazione ?
   • AvantiA forza centripeta hè a forza netta chì agisce nantu à un ughjettu chì si move in una traiettoria circulare, diretta versu u centru di rotazione. Hè rispunsevule di mantene un ughjettu in a so traiettoria curva è di impediscelu di spustassi in linea retta per via di l'inerzia.

10. Cumu hè ligata l'energia cinetica rotazionale à u mumentu d'inerzia è à a velocità angulare?

    • AvantiL'energia cinetica rotazionale hè l'energia duvuta à a rotazione di un ughjettu intornu à un asse. Hè data da a formula: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², induve $I$ hè u mumentu d'inerzia è $\omega$ hè a velocità angulare.