Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions

1. Dues boles connectades per una vareta, com es mostra a la figura següent. Ignoreu la massa de la vareta . La massa de la bola P és de 600 grams i la massa de la bola Q és de 400 grams. Quin és el moment d'inèrcia del sistema respecte a AB?

Conegut:

L'eix de rotació és AB. Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions 1

m _p = 600 grams = 0.6 kg, m _q = 400 grams = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Es busca: El moment d'inèrcia del sistema

Solució:

I = m _p r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m² ⁺ 0.1 kg ^m²

I = 0.124 kg ^m²

2. La vareta AB amb una massa de 2 kg gira al voltant del punt A, el moment d'inèrcia de la vareta és de 8 kg m² ^. Si gira al voltant del punt O (AO = OB), quin és el moment d'inèrcia de la vareta?

Conegut: Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions 2

Massa de la vareta AB (m) = 2 kg

Si es gira al voltant del punt A de manera que el radi de rotació (r) = longitud d'AB = r, aleshores el moment d'inèrcia (I) = 8 kg ^m²

Es busca: Si es gira al voltant del punt O de manera que el radi de rotació (r) = longitud d'AO = longitud d'OB = 1/2 r, quin és el moment d'inèrcia de la vareta?

Solució:

Jo = Sr. ²

8 kg ^m² = (2 kg) ^r²

8 m² ⁼ (2) ^r²

r² ⁼ 8 m² ^/ 2

r² = ⁴^m²

r = 2 metres

Si es gira al voltant del punt O de manera que ½ r = 1 metre, aleshores el moment d'inèrcia:

I = mr² ⁼ (2 kg)(1 m²) ^² = (2 kg)(1 ^m² ) = 2 kg ^m²

3. Dues boles connectades per una vareta com es mostra a la figura següent. Ignoreu la massa de la vareta. Quin és el moment d'inèrcia del sistema?

Conegut:

Massa de la pilota A (m_A) = 200 grams = 0.2 kg Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions 3

Massa de la pilota B (m² _B ) = 400 grams = 0.4 kg

Distància entre la bola A i l'eix de rotació (r _A ) = 0

Distància entre la bola B i l'eix de rotació (r _B ) = 25 cm = 0.25 m

Es busca: moment d'inèrcia del sistema

Solució:

El moment d'inèrcia de la pilota A:

IA ₌ (mA ₎ (rA2 ⁾₌ (0.2)(0) ² = 0

El moment d'inèrcia de la pilota B:

IB ₌ (mB ₎ (rB2 ₎ = (0.4)(0.25) ²⁼ (0.4)(0.0625) = 0.025 kg ^m2

El moment d'inèrcia del sistema:

I = _IA + _IB = 0 + 0.025 = 0.025 kg m² ⁼ 25 x ^10⁻³ kg ^m²

4. Quatre partícules amb masses diferents, que es mostren a la figura següent. Determineu el moment d'inèrcia del sistema respecte a la línia horitzontal P.

Solució

L'eix de rotació és la línia horitzontal P.

Conegut: Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions 4

Massa de la partícula A (m² _A ) = m²

Massa de la partícula B (m² _B ) = 2 m²

Massa de la partícula C (m _C ) = 3 m

Pas de partícules D (m _D ) = 4 m

Distància entre la partícula A i l'eix de rotació (r _A ) = b

Distància entre la partícula B i l'eix de rotació (r _B ) = b

Distància entre la partícula C i l'eix de rotació (r _C ) = 2b

Distància entre la partícula D i l'eix de rotació (r _D ) = 2b

Es busca: El moment d'inèrcia del sistema respecte a la recta horitzontal P

Solució:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 ^mb²

5. Quatre partícules connectades per una vareta. Ignoreu la massa de la vareta. Determineu el moment d'inèrcia al voltant de l'eix de rotació a través de les partícules m1 _i m2 _, tal com es mostra a la figura següent.

Conegut

Massa de la partícula 1 (m₁) = 1/4 kg Moment d'inèrcia per a partícules: problemes i solucions 5

Massa de la partícula 2 (m2 ₎ = 1/2 kg

Massa de la partícula 3 (m3 ₎ = 1/4 kg

Massa de la partícula 4 (m4 ₎ = 1/4 kg

Distància entre la partícula 1 i l'eix de rotació (r² ₎ = 0

Distància entre la partícula 2 i l'eix de rotació (r² ₎ = 0

Distància entre la partícula 3 i l'eix de rotació (r3 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Distància entre la partícula 4 i l'eix de rotació (r4 ₎ = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Es busca: El moment d'inèrcia

Solució:

^I = _m₁ r₁₂ + _m₂ r₂₂ + _m₂ r₃₂ + _m₃ r₃₂

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 ^kg.m²

Quin és el moment d'inèrcia d'una partícula?
- Respondre: Per a una sola partícula de massa $m$ a distància $r$ d'un eix de rotació, el seu moment d'inèrcia $I$ es dóna per $I = m \times r^{2}$ .
Per què sovint es coneix el moment d'inèrcia com l'"anàleg rotacional" de la massa?
- RespondreDe la mateixa manera que la massa és una mesura de la resistència d'un objecte als canvis en el seu moviment de translació (a causa de la segona llei de Newton), el moment d'inèrcia és una mesura de la resistència d'un objecte als canvis en el seu moviment de rotació.
Com afecta el moment d'inèrcia d'una partícula el canvi de la distància al seu eix de rotació?
- RespondreEl moment d'inèrcia és proporcional al quadrat de la distància des de l'eix de rotació. Si es duplica la distància, el moment d'inèrcia augmentarà per un factor de quatre.
Per què el quadrat de la distància (r) és²) utilitzat a la fórmula del moment d'inèrcia en lloc de només la distància?
- RespondreEl quadrat de la distància s'utilitza a causa de la manera com funciona l'energia cinètica en la rotació. En el moviment de rotació, cada partícula d'un objecte contribueix a l'energia cinètica de rotació en funció tant de la seva massa com de la seva distància al quadrat de l'eix.
Com canvia el moment d'inèrcia d'una partícula si se'n triplica la massa mantenint constant la distància a l'eix?
- RespondreSi la massa es triplica i la distància es manté constant, el moment d'inèrcia també es triplicarà perquè és directament proporcional a la massa.
Pot una partícula tenir un moment d'inèrcia zero? Si és així, sota quines condicions?
- RespondreSí, una partícula tindrà un moment d'inèrcia zero si es troba directament sobre l'eix de rotació, fent que la seva distància $r$ des de l'eix igual a zero.
Per què diferents objectes amb la mateixa massa i mida tenen diferents moments d'inèrcia quan giren al voltant de diferents eixos?
- RespondreLa distribució de massa al voltant de l'eix de rotació determina el moment d'inèrcia. Fins i tot si dos objectes tenen la mateixa massa i mida, les seves distribucions de massa respecte a l'eix de rotació poden diferir, donant lloc a diferents moments d'inèrcia.
El moment d'inèrcia és una magnitud escalar o vectorial?
- RespondreEl moment d'inèrcia és una quantitat escalar. Tanmateix, per a cossos rígids amb formes complexes i múltiples eixos de rotació, es representa mitjançant un tensor.
Si hi ha dues partícules, cadascuna de massa $m$ , es troben a distàncies $r_{1}$ i $r_{2}$ des de l'eix de rotació, quin és el moment d'inèrcia combinat?
- RespondreEl moment d'inèrcia és additiu per a partícules separades. Per tant, el moment d'inèrcia combinat $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Com es relaciona el moment d'inèrcia amb la conservació del moment angular?
- RespondreMoment angular $L$ és el producte del moment d'inèrcia $I$ i velocitat angular $ω$ , representada per l'equació $L = I \times ω$ Si no hi ha parells de forces externs que actuïn sobre un sistema, el moment angular romandrà constant. Això vol dir que si el moment d'inèrcia canvia (com en un patinador artístic que estira els braços), la velocitat angular s'ha d'ajustar per mantenir el producte constant.