Conservació de l'energia mecànica: problemes i solucions
1. Un bloc de m kg s'allibera des de la part superior del pla inclinat llis , tal com es mostra a la figura següent. La comparació entre l' energia potencial gravitatòria i l'energia cinètica del bloc en el punt M és...
Solució
Energia potencial gravitatòria en el punt M:
PE M = mg (1/3 h) = 1/3 mgh
Energia cinètica en el punt M:
KE M = EP = mg (2/3 h) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1: 2
2. Un esquiador sobre gel que llisca des d'una alçada A, tal com es mostra a la figura següent. Si la velocitat inicial = 0 i l'acceleració deguda a la gravetat és de 10 ms -2 , quina és la velocitat de l'esquiador al punt B?
Conegut:
Velocitat inicial (v o ) = 0
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
El canvi d'alçada = 50 metres – 10 metres = 40 metres
Es busca: Velocitat de l'esquiador al punt B
Solució:
El principi de conservació de l'energia mecànica estableix que l' energia mecànica inicial = l'energia mecànica final.
L'energia mecànica inicial = energia potencial al punt B (alçada = 40 metres)
L'energia mecànica final = energia cinètica en el punt B
L'energia mecànica final = L'energia mecànica inicial
½ mv t² = mgh
½ v t2 = gh
½ v t² = ( 10 )(50-10)
½ v t² = ( 10 )(40)
½ v t² = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
v t = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/s
3. Un objecte comença a lliscar des d'un punt A sense la velocitat inicial. Si no hi ha força de fricció, quina és la velocitat de l'objecte en el punt més baix?
Conegut:
Massa de l'objecte = m
Velocitat inicial (v o ) = 0
Alçada (h) = 20 metres
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
Es busca: Velocitat final (v t )
Solució:
Energia mecànica inicial (EM 1 ) = Energia potencial gravitatòria en el punt A (PE A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Energia mecànica final (EM2 ) = energia cinètica (KE) = ½ mv t2
La velocitat de l'objecte en el punt més baix (v/ t )?
Aplicar el principi de conservació de l'energia mecànica estableix que l'energia mecànica inicial = l'energia mecànica final.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t²
200 = ½ v t²
400 = v t 2
vt = 20 m/s
4. Una pilota de 2 kg cau lliurement des del punt A, tal com es mostra a la figura següent (g = 10 ms -2 ). Després d'arribar al punt B, l'energia cinètica = 2 vegades l'energia potencial. Quina és l'alçada del punt B sobre la superfície de la Terra?
Conegut:
Massa de la pilota (m) = 2 kg
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 ms -2
Alçada del punt A (h A ) = 90 metres
Es busca: Alçada del punt B (h B )
Solució:
En arribar al punt B, l'energia cinètica de la pilota al punt B és 2 vegades l'energia potencial gravitatòria al punt B.
EK = 2 EP
½ mv² = 2 mgh² B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v2 = 40 hB
Velocitat (v) de la pilota quan arriba al punt B després de caiguda lliure des del punt A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h₁B ) = 20(90– h₁B )
Substituïu v₂ a l'equació anterior per v₂ en aquesta equació.
v2 = 40 hB
20(90–h₁B ) = 40 h₁B
1800–20 h B = 40 h B
1800 = 40 h B + 20 h B
1800 = 60 h B
hB = 1800 / 60
h B = 30 metres
5. Una pilota d'1 kg es deixa anar i llisca cap avall des del punt A fins al punt C, tal com es mostra a la figura següent. Si l'acceleració deguda a la gravetat = 10 ms -2 , quina és l'energia cinètica de la pilota quan arriba al punt C?
Conegut:
Massa de la pilota (m) = 1 kg
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
El canvi d'alçada (h) = 0.75 m
L'energia potencial inicial (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 Joules
Energia cinètica inicial (KEo ) = ½ mvO2 = ½ m (0) 2 = 0
L'energia potencial gravitatòria final (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Es busca: Energia cinètica de la pilota al punt C
Solució:
L'energia mecànica inicial (EM o ) = L'energia mecànica final (EM t )
L'energia potencial gravitatòria inicial (PE₂o ) + l'energia cinètica inicial (KE₂o ) = L'energia potencial gravitatòria final (PE₂t ) + l'energia cinètica final ( KE₂t )
7.5 Joules + 0 = 0 + KE t
7.5 Joules = KE t
Energia cinètica de la pilota en el punt C = 7.5 Joules.
6. Una pilota de 2 kg es deixa anar des del punt A, tal com es mostra a la figura següent. El pla de la corba és suau. Si l'acceleració deguda a la gravetat és de 10 ms -2 , quina és l'energia cinètica de la pilota al punt B?
Conegut:
Massa de la pilota (m) = 2 kg
Acceleració deguda a la gravetat (g) = 10 m/ s²
El canvi d'alçada (h) = 120 cm = 1.2 metres
L'energia potencial gravitatòria inicial (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 Joules
L'energia cinètica inicial (KEo ) = ½ mvO2 = ½ m (0) 2 = 0
L'energia potencial gravitatòria final (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Es busca: Energia cinètica de la pilota al punt B
Solució:
L'energia mecànica al punt A (energia mecànica inicial) = l'energia mecànica al punt B (energia mecànica final)
L'energia mecànica inicial (EM o ) = l'energia mecànica final (EM t )
L'energia potencial gravitatòria inicial (PE₂o ) + l'energia cinètica inicial (KE₂o ) = l'energia potencial gravitatòria final (PE₂t ) + l'energia cinètica final ( KE₂t )
24 Joules + 0 = 0 + KE t
24 Joules = KE t
Energia cinètica (EC) de la pilota en el punt C = 24 Joules.
7. Un objecte té una energia mecànica fixa, una energia cinètica més gran i una energia potencial gravitatòria més petita. L'objecte és...
A. En repòs
B. moure's cap amunt
C. moure's cap avall
D. Accelerat cap amunt
Solució:
L'energia cinètica augmenta, és a dir, que la velocitat de l'objecte augmenta i l'energia potencial gravitatòria disminueix, cosa que significa que l'alçada de l'objecte des de la superfície del sòl disminueix. Això passa quan l'objecte es mou des d'una certa alçada fins al terra.
La relació entre la velocitat i l'energia cinètica es mostra amb la fórmula de l'energia cinètica:
KE = ½ mv²
Descripció de la fórmula: KE = energia cinètica, m = massa, v = velocitat
La relació entre l'alçada i l'energia potencial gravitatòria es representa amb la fórmula de l'energia potencial gravitatòria:
PE = mgh
Descripció de la fórmula: PE = energia potencial gravitatòria, m = massa, g = acceleració de la gravetat, h = alçada
La resposta correcta és C.
- Què és l'energia mecànica?
- Resposta: L'energia mecànica és la suma de l'energia cinètica i l'energia potencial d'un objecte. L'energia cinètica es relaciona amb el moviment d'un objecte, mentre que l'energia potencial es relaciona amb la seva posició o configuració.
- Què diu el principi de conservació de l'energia mecànica?
- Resposta: El principi estableix que en un sistema aïllat amb només forces conservatives actuant, l'energia mecànica total roman constant. Això significa que la suma de l'energia cinètica i potencial no canvia amb el temps.
- Com afecten les forces conservatives i no conservatives la conservació de l'energia mecànica?
- Resposta: Les forces conservatives, com la gravetat, no canvien l'energia mecànica total d'un sistema. Poden convertir l'energia potencial en energia cinètica o viceversa, però la suma roman constant. Les forces no conservatives, com la fricció, poden dissipar l'energia mecànica, normalment transformant-la en energia tèrmica.
- Per què no es conserva l'energia mecànica en escenaris reals que impliquen fricció?
- Resposta: La fricció és una força no conservativa. A mesura que els objectes es mouen els uns cap als altres, la fricció converteix part de l'energia mecànica del sistema en energia tèrmica, cosa que provoca una disminució de l'energia mecànica total del sistema.
- Com es demostra la conservació de l'energia mecànica en un pèndol oscil·lant?
- Resposta: En absència de resistència de l'aire (una força no conservativa), a mesura que el pèndol oscil·la cap amunt, la seva energia cinètica es converteix en energia potencial gravitatòria. En el punt més alt de la seva oscil·lació, té una energia potencial màxima i una energia cinètica mínima. A mesura que torna a baixar, aquesta energia potencial es converteix de nou en energia cinètica. L'energia mecànica total roman constant, tot i que les formes d'energia s'intercanvien.
- Per què una pilota que bota acaba arribant a l'estancament fins i tot en absència de forces externes?
- Resposta: Quan una pilota rebota, no tota la seva energia cinètica es converteix de nou en energia potencial. Es perd part d'energia, sovint en forma de so o de deformació de la pilota, i especialment a causa de la fricció interna dins del material de la pilota. Aquestes són formes de forces no conservatives en joc, que redueixen l'energia mecànica de la pilota amb cada rebot fins que arriba al repòs.
- En una muntanya russa, on es troba l'energia mecànica més alta i més baixa?
- Resposta: L'energia mecànica total de la muntanya russa es manté constant si negligim la resistència de l'aire i la fricció. Tanmateix, en el punt més alt, l'energia potencial és màxima mentre que l'energia cinètica és mínima. A mesura que descendeix, l'energia potencial es converteix en energia cinètica, de manera que en el punt més baix, l'energia cinètica és màxima i l'energia potencial és mínima.
- Com ajuda la conservació de l'energia mecànica a entendre les òrbites planetàries?
- Resposta: Els planetes que orbiten una estrella com el Sol tenen energia cinètica (a causa del seu moviment) i energia potencial gravitatòria (a causa de la seva posició relativa al Sol). A mesura que un planeta s'acosta al Sol, accelera, augmentant la seva energia cinètica mentre que la seva energia potencial gravitatòria disminueix, i viceversa. L'energia mecànica total del planeta roman constant al llarg del temps, assumint que altres forces (com les d'altres planetes) són insignificants.
- Per què un satèl·lit en una òrbita estable no cau a la Terra?
- Resposta: Tot i que el satèl·lit és atret cap a la Terra a causa de la gravetat, la seva energia cinètica cap endavant el manté en moviment en la seva òrbita. L'equilibri d'aquesta energia cinètica i l'energia potencial gravitatòria manté el satèl·lit en una òrbita estable amb energia mecànica constant.
- Si una esquiadora comença des del repòs a la part superior d'un pendent sense fricció i després esquia cap avall, com es compararà la seva velocitat a la part inferior amb si hagués començat a baixar a mig camí del pendent?
- Resposta: En un pendent sense fricció, l'energia mecànica total de l'esquiador es conserva. Si comença des de dalt, tindrà més energia potencial per començar que si comença a mig baixar. Aquesta energia potencial es convertirà completament en energia cinètica a mesura que baixa. Per tant, serà més ràpid a baix si comença des de dalt que si comença a mig baixar.
