Material d'equació de continuïtat
Prova d'obrir l'aixeta lentament mentre observes el flux d'aigua que surt de l'aixeta. Un cop l'aixeta deixi de girar, bloqueja parcialment l'aixeta amb la mà. Ara compara quin cabal d'aigua és més gran. Quan està parcialment bloquejat o desbloquejat? Si tens una mànega que normalment s'utilitza per regar flors, deixa que l'aigua flueixi a través d'ella. Bloqueja parcialment la mànega amb la mà o el dit. Com més part de la mànega estigui bloquejada, més ràpid sortirà l'aigua. Per contra, si la mànega no està bloquejada, l'aigua fluirà menys ràpidament. Per què passa això? Per entendre-ho, estudia l'equació de continuïtat.
Línies de corrent i tubs de flux
Primer, entenem els conceptes de línies de corrent i tubs de flux. Aquest concepte és important perquè us ajudarà a entendre l'equació de continuïtat.
Línia de corrent
Mireu la imatge de sota, la línia blava és la Streamline.
En un flux constant, la velocitat de cada partícula de fluid en un punt, per exemple el punt A, roman constant. Quan passa pel punt B, la velocitat de les partícules de fluid pot canviar. Tanmateix, en arribar al punt B, les partícules de fluid que les segueixen continuen fluint a la mateixa velocitat que les partícules de fluid que les han precedit. El mateix s'aplica en arribar al punt C, i així successivament. La línia de corrent és la corba que connecta els punts A, B i C.
Tub de flux
Essencialment, podem dibuixar cada línia de corrent a través de cada punt del flux de fluid. Si considerem un flux de fluid estacionari, diverses línies de corrent que passen per un cert angle en una superfície imaginària (àrea de superfície imaginària) formen un tub de flux. Cap partícula de fluid s'interseca, sinó que sempre són paral·leles, i el tub de flux s'assemblarà a una canonada que sempre té la mateixa forma. El fluid que entra per un extrem del tub sortirà del tub per l'altre extrem.
Dèbit
El cabal indica el volum d'un fluid que flueix a través d'una determinada secció transversal en un determinat interval de temps. Matemàticament, es pot expressar de la següent manera:
Per aprofundir en la vostra comprensió, fem servir un exemple. Suposem que un fluid flueix a través d'una canonada. Les canonades solen ser cilíndriques i tenen una secció transversal específica. La canonada també té una longitud.
Quan el fluid flueix per la canonada fins a L, el volum de fluid a la canonada és V = AL (V = volum del fluid, A = àrea de la secció transversal i L = longitud de la canonada). Com que durant el flux per la canonada al llarg de L el fluid viatja un cert interval de temps, podem dir que la magnitud del cabal de fluid és:
Com que v = s/t = L/t —> L = vt, l'equació anterior es canvia a:
Així, quan el fluid flueix a través d'una canonada que té una determinada secció transversal i longitud durant un cert interval de temps, la magnitud del cabal de fluid (Q) és igual a la superfície de la secció transversal (A) multiplicada per la velocitat del flux de fluid (v).
Equació de continuïtat
Considereu el flux de fluid en una canonada amb diferents diàmetres, tal com es mostra a la figura següent.
Aquesta imatge mostra el flux de fluids d'esquerra a dreta (el fluid flueix d'una canonada amb un diàmetre gran a una canonada amb un diàmetre petit). Les línies de punts són línies de corrent.
Peu de la imatge: A 1 = àrea de la secció transversal de la secció de canonada de gran diàmetre, A 2 = àrea de la secció transversal de la secció de canonada de petit diàmetre, v 1 = velocitat del flux de fluid a la secció de canonada de gran diàmetre, v 2 = velocitat del flux de fluid a la secció de canonada de petit diàmetre, L = distància recorreguda pel fluid.
A la introducció a la dinàmica de fluids, es va explicar que en dinàmica de fluids parlem del flux de fluids que són incompressibles, no viscosos, no turbulents i estacionaris. En un flux estacionari, la velocitat de les partícules del fluid en un punt és la mateixa que la velocitat d'altres partícules de fluid que passen per aquest punt. Els fluxos de fluid tampoc no s'intersequen entre si (les línies de corrent són paral·leles). Per tant, la massa de fluid que entra per un extrem de la canonada ha de ser igual a la massa de fluid que surt per l'altre extrem. Si un fluid amb una certa massa entra en una canonada amb un diàmetre gran, el fluid sortirà de la canonada amb un diàmetre petit amb una massa constant.
Ara, mireu la imatge de la canonada de dalt. Mireu la part de la canonada amb el diàmetre més gran i la part de la canonada amb el diàmetre més petit.
Durant un cert interval de temps, una certa quantitat de fluid flueix a través d'una secció de canonada amb un diàmetre gran (A).1) fins a L1 (L1 = v1 t). El volum de fluid que flueix és V1 =A1 L1 =A1 v1 t. Durant el mateix interval de temps, una altra quantitat de fluid flueix a través d'una secció de canonada amb un diàmetre més petit (A).2) fins a L2 (L2 = v2 t). El volum de fluid que flueix és V2 =A2 L2 =A2 v2 t.
Equació de continuïtat per a fluids incompressibles (incompressibles)
Primer, considerem el cas d'un fluid incompressible. En un fluid incompressible, la densitat, o massa, del fluid és sempre la mateixa en cada punt pel qual passa. La massa de fluid que flueix en una canonada amb una àrea de secció transversal A1 ( el diàmetre gran de la canonada) durant un cert interval de temps és:
De la mateixa manera, la massa de fluid que flueix en una canonada amb una secció transversal de A2 ( diàmetre de canonada petit) durant un cert interval de temps és:
Considerant que en un flux estacionari, la massa del fluid que entra és la mateixa que la massa del fluid que surt, aleshores:
m1 = m2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (la densitat del fluid i l'interval de temps són iguals, de manera que es cancel·len)
A1 contra 1 = A2 contra 2
Així doncs, en fluids incompressibles, s'aplica l'equació de continuïtat:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Equació 1
Informació:
A 1 = àrea de la secció transversal 1, A 2 = àrea de la secció transversal 2, v 1 = velocitat del flux de fluid a la secció transversal 1, v 2 = velocitat del flux de fluid a la secció transversal 2, A v = cabal volumètric V/t també conegut com a cabal
L'equació 1 mostra que el cabal volumètric, també conegut com a descàrrega, és sempre el mateix en cada punt d'una canonada o tub de flux. A mesura que la secció transversal de la canonada disminueix, el cabal de fluid augmenta; a l'inrevés, a mesura que la secció transversal de la canonada augmenta, el cabal de fluid disminueix.
Quan tapem parcialment l'aixeta, el flux d'aigua es torna més ràpid que quan l'aixeta està parcialment tancada. Això és degut a que la secció transversal de l'aixeta disminueix quan l'aixeta està parcialment tancada, augmentant el cabal d'aigua (el fluid flueix més ràpid). El mateix passa amb les mànegues. Tanmateix, és important tenir en compte que el cabal volumètric o de descàrrega continua sent el mateix en tots els punts al llarg del flux d'aigua, tant si l'aixeta està parcialment tancada com si no. Per tant, el que canvia és el cabal de fluid.
I què passa amb el cabal d'aigua d'un riu? Les seccions més profundes d'un riu tenen una secció transversal més gran que les seccions menys profundes, de manera que el cabal d'aigua a les seccions més profundes és menor que a les seccions menys profundes. Si veieu un cabal de riu molt tranquil, això vol dir que el riu és profund. Però si el riu de sobte es torna ràpid, aquesta secció és definitivament poc profunda. Tanmateix, el cabal volumètric d'aigua sempre és el mateix, tant si es tracta de seccions profundes com tranquil·les del riu.
Equació de continuïtat per a fluids compressibles (compressible)
En el cas dels fluids compressibles , la densitat del fluid no sempre és la mateixa. En altres paraules, la densitat del fluid canvia quan es comprimeix. Mentre que en els fluids incompressibles , la densitat del fluid s'elimina de l'equació, en aquest cas, la densitat del fluid encara s'inclou. Fent referència a l'equació derivada anteriorment, derivem l'equació per als fluids compressibles.
Considerant que en un flux estacionari, la massa del fluid que entra és la mateixa que la massa del fluid que surt, aleshores:
m1 = m2
ρ A₁ v ₁ t = ρ A₂ v ₂ t
L'interval de temps del flux de fluid és el mateix, de manera que es pot eliminar. L'equació canvia a:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Equació 2
Aquesta és l'equació d'un fluid compressible. L'única diferència rau en la densitat del fluid. Quan un fluid es comprimeix, la seva densitat canvia. Per contra, quan un fluid és incompressible, la seva densitat roman constant i es pot cancel·lar.
Exemple de pregunta 1:
L'aigua flueix per una canonada amb un diàmetre de 10 cm a una velocitat de 2 m/s. Quin és el cabal d'aigua?
Discussió
Se sap que:
Diàmetre de la canonada = 10 cm (aquest és el diàmetre interior de la canonada)
Radi de la canonada (r) = 5 cm = 0,05 m
v aigua = 2 m/s
Preguntat: Dèbit
Resposta:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 m/s)
Q = (3,14)(0,05 m) ² (2 m/s)
Q = (3,14)(0,0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0,0157 m³ / s
Exemple de pregunta 2:
Una canonada d'aigua amb un diàmetre de 20 cm està connectada a una altra canonada amb un diàmetre de 10 cm. Si el cabal d'aigua a la canonada de 20 cm de diàmetre és de 4 m/s, quin és el cabal d'aigua a la canonada de 10 cm de diàmetre?
Discussió
Se sap que:
Diàmetre 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0,1 m)
v² = 4 m/ s
Diàmetre 2 = 10 cm ( r2 = 5 cm = 0,05 m)
Preguntat: v1
Resposta:
Q1 = Q2
A1 contra 1 = A2 contra 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0,1 m) ² (4 m/s) = (0,05 m) ² ( v² )
(0,01 m² ) (4 m/s) = (0,0025 m² ) ( v² )
(0,04 m³ / s) = (0,0025 m² ) ( v² )
v² = 16 m/ s
