Principi de Bernoulli i material d'equacions
Quan anem en moto força ràpid, la roba que portem s'infla per darrere. Si encara no saps anar en moto, fes cas dels teus pares o amics que van en moto. L'esquena de la seva roba normalment s'infla per darrere quan la moto va ràpid. De vegades, quan bufa fort el vent, la porta de casa es pot tancar sola. Tot i que el vent bufa fora de casa, la porta és dins de casa.
Això es pot explicar utilitzant el principi de Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700–1782) va descobrir un principi que es pot utilitzar per explicar algunes de les coses anteriors.
Principi de Bernoulli
El principi de Bernoulli estableix que quan la velocitat del flux de fluid és alta, la pressió del fluid és baixa. Per contra, si la velocitat del flux de fluid és baixa, la pressió esdevé alta. Quan una motocicleta es mou ràpidament, la velocitat de l'aire davant i al costat del cos és alta. Per tant, la pressió de l'aire esdevé baixa. La part posterior del cos està bloquejada per la part frontal del cos, de manera que la velocitat de l'aire darrere del cos no canvia a alta (just darrere del cos). Com a resultat, la pressió de l'aire darrere del cos esdevé més gran. Com que hi ha una diferència en la pressió de l'aire, on la pressió de l'aire just darrere del cos és més gran, l'aire empeny la camisa cap enrere, fent que sembli que està inflada per darrere.
I què passa amb una porta que es tanca sola quan bufa fort el vent a fora? L'aire de fora es mou més ràpid que l'aire de dins. Com a resultat, la pressió de l'aire de fora és més baixa que la pressió de l'aire de dins. A causa d'aquesta diferència de pressió, on la pressió de l'aire de dins és més alta, la porta és empesa cap a fora. En altres paraules, la porta es mou d'un lloc amb una pressió d'aire més alta a un lloc amb una pressió d'aire més baixa.
L'equació de Bernoulli
Anteriorment, vam aprendre sobre el principi de Bernoulli. Bernoulli també va desenvolupar aquest principi quantitativament. Per derivar l'equació de Bernoulli, assumim un flux de fluid laminar estacionari, incompressibilitat i baixa viscositat, que es poden ignorar.
En la discussió de l'equació de continuïtat, vam aprendre que el cabal de fluid també pot variar segons l'àrea de la secció transversal del tub de flux. Basant-nos en el principi de Bernoulli explicat anteriorment, la pressió del fluid també pot variar segons el cabal de fluid. La pressió del fluid també pot variar segons l'alçada del fluid. La relació entre la pressió, el cabal i l'alçada del flux es pot obtenir a partir de l'equació de Bernoulli.
L'equació de Bernoulli és molt important perquè es pot utilitzar per analitzar el vol d'aeronaus, centrals hidroelèctriques, sistemes de canonades, etc. Perquè l'equació de Bernoulli que derivarem s'apliqui de manera general, suposarem que el fluid flueix a través d'un tub de flux amb àrees de secció transversal desiguals i també diferents altures (vegeu la figura següent). Per derivar l'equació de Bernoulli, apliquem el teorema del treball i l'energia al fluid de la regió del tub de flux. A continuació, calcularem la quantitat de fluid i el treball realitzat per moure el fluid.
El color opac del tub de flux de la imatge indica flux de fluid, mentre que el color blanc indica que no hi ha fluid.
El fluid a la secció transversal 1 (costat esquerre) flueix una distància L1 i obliga el fluid a la secció transversal 2 (costat dret) a moure's una distància L2 . Com que la secció transversal 2 del costat dret és més petita, el cabal de fluid al costat dret del tub de flux és més gran (recordeu l'equació de continuïtat). Això provoca una diferència de pressió entre la secció transversal 2 (costat dret del tub de flux) i la secció transversal 1 (costat esquerre del tub de flux). Recordeu el principi de Bernoulli. El fluid del costat esquerre de la secció transversal 1 exerceix una pressió P1 sobre el fluid del costat dret i fa un treball de:
Aleshores, l'equació W1 es pot escriure com:
W 1 = p 1 A 1 L 1
A la secció transversal 2 (costat dret del tub de flux), el treball realitzat sobre el fluid és:
W₂ = − p₂ A₂ L₂
El signe negatiu indica que la força aplicada és oposada a la direcció del moviment. Per tant, el fluid fa treball a la dreta de la secció 2. A més, la força de la gravetat també fa treball sobre el fluid. En el cas anterior, una certa massa de fluid es mou des de la secció 1 fins a L1 fins a la secció 2 fins a L2 , on el volum de fluid a la secció 1 (A1L1 ) = el volum de fluid a la secció 2 (A2L2 ) . El treball realitzat per la gravetat és:
W3 = − mg ( h2 − h1 )
W3 = − mgh2 + mgh1 )
W3 = mgh1 − mgh2
El signe negatiu es deu al fet que el fluid flueix cap amunt, en direcció contrària a la direcció de la gravetat. Per tant, el treball total realitzat sobre el fluid, tal com es mostra a la figura anterior, és:
W = W1 + W2 + W3
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
El teorema treball-energia estableix que el treball total realitzat sobre un sistema és igual al canvi en la seva energia cinètica. Per tant, podem substituir el Treball (W) pel canvi d'energia cinètica (EK2 - EK1 ).
Podem reescriure l'equació anterior com:
W = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
EK 2 ‐ EK 1 = P 1 A 1 L 1 ‐ P 2 A 2 L 2 + mgh 1 ‐ mgh 2
1⁄2 mv²⁻² ‐ 1⁄2 mv⁻² = P⁻¹ A⁻L⁻¹ ‐ P⁻¹ A⁻L⁻² + mgh⁻¹ ‐ mgh⁻²
Massa del fluid que flueix una distància L1 a la secció transversal A1 = massa del fluid que flueix una distància L2 ( secció A2 ) . Una massa de fluid, per exemple m , té un volum de A1 L1 i A2 L2 on A1 L1 = A2 L2 ( L2 és més llarg que L1 ).
Ara substituïm, o reemplaçam m a l'equació anterior per m = ρ AL:
Aquesta és l'equació de Bernoulli. Hem derivat l'equació de Bernoulli basant-nos en el principi de treball-energia, per tant és una forma de la llei de conservació de l'energia.
Informació:
P = Pressió
ρ = Densitat del fluid
v = Velocitat del flux de fluid
g = Acceleració deguda a la gravetat
h = Alçada del tub/canonada de flux des de la superfície del terra
Els costats esquerre i dret de l'equació de Bernoulli anterior poden referir-se a dos punts qualsevol al llarg del tub de flux, de manera que podem reescriure l'equació anterior com:
Aquesta equació estableix que la suma total de les quantitats de l'equació té el mateix valor al llarg del tub de flux.
Ara revisem l'equació de Bernoulli per a alguns casos.
Equació de Bernoulli per a fluids en repòs
Un cas especial de l'equació de Bernoulli és per a fluids en repòs (fluids estàtics). Quan un fluid està en repòs, no té velocitat. Per tant, v 1 = v 2 = 0. En el cas d'un fluid en repòs, l'equació de Bernoulli es pot formular com:
Si h² - h¹ = h, aleshores aquesta equació es pot escriure com:
p1 − p2 = ρg ( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Equació de Bernoulli per a tubs o canonades de flux de la mateixa alçada
Si l'alçada del tub o canonada de flux és la mateixa, l'equació de Bernoulli es canvia a:
