Moment d'inèrcia

Material del moment d'inèrcia

Hi ha dos objectes, un dels quals té una massa petita i l'altre té una massa més gran. Quin objecte és més fàcil de moure si s'empeny amb la mateixa força? El fet demostra que l'objecte amb la massa més petita és més fàcil de moure que l'objecte amb la massa més gran. Per tant, la mida de la massa de l'objecte determina la mida de l'acceleració de l'objecte si s'aplica una força. Si està en moviment rectilini, la massa de l'objecte determina si un objecte és fàcil o difícil de moure (accelerar), aleshores, en moviment de rotació, moment d'inèrcia un objecte determina si un objecte és fàcil o difícil de moure.

Partícules
Considerem una partícula en rotació. A una partícula amb massa m se li aplica una força F de manera que gira al voltant de l'eix de rotació O. La partícula es troba a una distància r de l'eix de rotació. Inicialment, la partícula està en repòs (v = 0). Després de ser moguda per la força F, la partícula gira a una certa velocitat de manera que té una acceleració tangencial (una tangent).
La relació entre la força (F), la massa (m) i l'acceleració tangencial (tan) d'una partícula s'expressa mitjançant l'equació:
La partícula gira de manera que té una acceleració angular. La relació entre l'acceleració tangencial i l'acceleració angular s'expressa mitjançant l'equació:
Substituïu o reemplaceu l'acceleració tangencial (tan) de l'equació 3 per l'acceleració tangencial (tan) de l'equació 4.
Multiplica els costats esquerre i dret per r:
r F és el moment de la força i mr² és el moment d'inèrcia de la partícula I). ​​L'equació 5 estableix la relació entre el moment de força, el moment d'inèrcia i l'acceleració angular d'una partícula en rotació. L'equació 5 és l'equació de la segona llei de Newton per a una partícula en rotació.
I és el producte de la massa de la partícula (m) i el quadrat de la distància de la partícula a l'eix de rotació (r).²).
Informació:
I = moment d'inèrcia de la partícula, m = massa de la partícula, r = distància entre la partícula i l'eix de rotació
L'equació 6 s'utilitza per determinar el moment d'inèrcia d'una partícula en rotació.
Perquè pugueu entendre millor la revisió sobre el moment d'inèrcia de les partícules, si us plau Estudiar exemples de problemes de moments d'inèrcia de partícules.

Cos rígid homogeni
Un cos rígid està compost de moltes partícules repartides per tot el cos. El moment d'un cos rígid és la suma de tots els moments de cada partícula que forma el cos rígid.
Per determinar la I d'un objecte rígid, s'observa l'objecte mentre gira, ja que la ubicació de l'eix de rotació afecta el valor del moment. A més de dependre de la ubicació de l'eix de rotació, la I d'una partícula també depèn de la massa de la partícula (m) i del quadrat de la distància de la partícula a l'eix de rotació (r).²). La massa de totes les partícules que formen un objecte és la mateixa que la massa del mateix objecte. El problema és que la distància de cada partícula a l'eix de rotació varia.
Considereu la derivació de la fórmula per a un anell prim de radi R i massa M. Si l'eix de rotació es troba al centre de l'anell, totes les partícules que formen l'anell es troben a una distància r de l'eix de rotació. La I de l'anell prim és igual a la suma dels moments de totes les partícules que formen l'anell.
Cada partícula que forma l'anell prim es troba a una distància r de l'eix de rotació, de manera que r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Fórmula per a un anell prim:
I = MR²
Informació:
I = moment d'inèrcia de l'anell prim, M = massa de l'anell prim, R = radi de l'anell prim
Què passa si l'eix de rotació no es troba al centre de l'anell? Si l'eix de rotació no es troba al centre de l'anell, la fórmula per a l'anell prim no es pot derivar utilitzant el mètode anterior perquè la distància de cada partícula a l'eix de rotació varia.

Fórmula per a un cos rígid homogeni
Les següents són fórmules per a diversos cossos rígids homogenis.

Exemple de problemes

1. Preguntes de l'examen nacional SMA/MA 2017

Pareu atenció a la taula següent!

Els objectes P, Q i R estan connectats per una vareta sense massa. La magnitud del moment d'inèrcia del sistema al voltant d'un eix perpendicular al pla que passa per l'eix de l'objecte P és...

Discussió

Se sap:

Preguntat: Moment d'inèrcia del sistema

Resposta:

Moment d'inèrcia de l'objecte Q:

I_Q = Sr.² = (0,5)(10²) = (0,5)(100) = 50 kg m²²

Moment d'inèrcia de l'objecte R:

I_R = Sr.² = (3)(6²) = (3)(36) = 108 kg m²²

Moment d'inèrcia de l'objecte P:

L'eix de rotació passa per l'eix de l'objecte P de manera que r = 0.

Moment d'inèrcia del sistema:

I = 50 kg m² + 108 kg m²²

I = 158 kg m²