Exemples de preguntes i discussió de punts extrems: valor de retorn mínim i valor de retorn màxim
Determinar els punts extrems, els punts en què una funció arriba al seu valor mínim o màxim, és un concepte bàsic en càlcul i anàlisi matemàtica. En aquest article, explorarem com trobar i analitzar punts extrems a través de diversos exemples de problemes que impliquen valors de retorn mínims i màxims.
Definicions i teoremes de les assignatures
Abans de discutir problemes d'exemple, cal entendre alguns conceptes i teoremes bàsics:
1. Punt crític: És el valor de \(x\) on la primera derivada \(f'(x)\) de la funció \(f(x)\) és zero o no existeix.
2. Valor màxim de retorn: és el valor de \( f(x) \) que és més gran que el valor de \( f(x) \) al voltant d'aquest punt.
3. Valor mínim de retorn: és el valor de \( f(x) \) que és més petit que el valor de \( f(x) \) al voltant d'aquest punt.
4. Teorema de Fermat: Si \(f\) té un valor extrem local a \(c\) i la derivada \(f'(c)\) existeix, aleshores \(f'(c) = 0\).
Exemple de pregunta 1: Funció quadràtica
Primer, comencem amb una funció quadràtica simple:
\[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]
Langkah-langkah:
1. Troba la primera derivada de \( f'(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]
2. Trobeu els punts crítics resolent \( f'(x) = 0 \):
\[
4x – 4 = 0, per tant, x = 1
\]
3. Determineu el valor de la funció en el punt crític:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]
4. Utilitza la segona derivada per determinar la naturalesa del punt:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
Com que \(f”(1) > 0 \), el punt \(x = 1 \) és un punt de mínim local.
Exemple de pregunta 2: Funcions polinòmiques
Ara provem amb una funció polinòmica més complexa:
\[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]
Langkah-langkah:
1. Determina la primera derivada (g'(x))
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]
2. Trobeu els punts crítics resolent \( g'(x) = 0 \):
\[
3x^2 – 6x = 0 \implies 3x(x – 2) = 0 \implies x = 0 \text{ o } x = 2
\]
3. Determineu el valor de la funció en el punt crític:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]
4. Utilitza la segona derivada per determinar la naturalesa del punt:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{valor màxim local})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{valor mínim local})
\]
Així doncs, \(g(x)\) té un màxim local a \(x = 0\) i un mínim local a \(x = 2\).
Exemple de pregunta 3: Funcions transcendentals
Vegem una funció que implica exponenciació:
h(x) = xe^{-x}
Langkah-langkah:
1. Determina la primera derivada \(h'(x) \):
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]
2. Trobeu el punt crític resolent \(h'(x) = 0 \):
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implica 1 – x = 0 \implica x = 1
\]
3. Determineu el valor de la funció en el punt crític:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]
4. Utilitza la segona derivada per determinar la naturalesa del punt:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Com que \( h”(1) < 0 \), el punt \( x = 1 \) és un màxim local. Exemple de problema 4: Funcions racionals Finalment, avaluem la funció racional: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] Passos: 1. Trobeu la primera derivada utilitzant la regla del quocient: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Trobeu els punts crítics resolent \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Determineu el valor de la funció en el punt crític: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Utilitzeu la segona derivada per comprovar les propietats del punt: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Es poden fer més càlculs diferenciant \( k'(x) \) Els resultats indicaran si \( x = \sqrt{2} \) i \( x = -\sqrt{2} \) són punts màxims o mínims locals. Conclusió En aquest article, hem discutit diversos problemes d'exemple que mostren com trobar els extrems, és a dir, el mínim i valors inversos màxims de diversos tipus de funcions. Les tècniques utilitzades inclouen trobar la primera derivada per trobar punts crítics, utilitzar la segona derivada per determinar la naturalesa dels punts i avaluar la funció en aquests punts. Aquesta és una base sòlida per aprofundir en l'anàlisi funcional en càlcul.
