Exemple d'un problema que tracta la ressonància de circuits
La ressonància és un fenomen en què un sistema oscil·la amb una amplitud màxima a una freqüència específica. En el context dels circuits elèctrics, la ressonància es produeix quan la impedància del circuit arriba a un valor mínim o màxim, fent que el corrent o el voltatge del circuit arribi al màxim. Aquest fenomen és molt important en el disseny i l'anàlisi de circuits elèctrics, especialment en aplicacions com ara ràdios, filtres i oscil·ladors.
Principis bàsics de la ressonància en circuits elèctrics
La ressonància en circuits elèctrics se sol tractar en el context d'un circuit RLC, que consisteix en una resistència (R), un inductor (L) i un condensador (C). Hi ha dos tipus de ressonància que es discuteixen habitualment:
1. Ressonància en sèrie: Es produeix quan un inductor i un condensador es connecten en sèrie amb una resistència. La ressonància es produeix quan la reactància inductiva (XL) és igual a la reactància capacitiva (XC).
2. Ressonància paral·lela: Es produeix quan un inductor i un condensador es connecten en paral·lel. La ressonància es produeix quan la impedància del circuit a una determinada freqüència arriba al seu valor màxim.
La freqüència de ressonància (\(f_0 \)) per a ambdós tipus de circuits és la mateixa i ve donada per:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
Exemples de preguntes i discussió sobre la ressonància dels circuits en sèrie RLC
Pregunta 1:
Donat un circuit RLC en sèrie amb una resistència (R) de 10 ohms, un inductor (L) de 10 mH i un condensador (C) d'1 μF. Determineu:
1. Freqüència de ressonància del circuit.
2. Impedància del circuit a la freqüència ressonant.
3. El corrent que flueix al circuit si la tensió de la font és de 10 V rms a la freqüència ressonant.
Discussió:
1. Freqüència de ressonància del circuit:
La freqüència de ressonància (\(f_0\)) en un circuit RLC en sèrie ve donada per:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
On:
– L = 10 mH = 10 x 10⁻³ H
– C = 1 μF = 1 x 10⁻⁶ F
Així doncs:
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{(10 × 10^{-3})(1 × 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{10 × 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π \times 10^{-4}} \]
\[ f_0 = \frac{10^4}{2π} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Impedància del circuit a la freqüència ressonant:
A la freqüència ressonant, la reactància inductiva (XL) és igual a la reactància capacitiva (XC), de manera que:
\[ X_L = X_C \]
\[ 2 π f_0 L = \frac{1}{2 π f_0 C} \]
Com que la reactància inductiva i la capacitiva es cancel·len mútuament, la impedància del circuit és només la resistència (R):
\[ Z = R = 10 \text{ ohm} \]
3. Corrent que circula pel circuit:
El corrent (\(I \)) del circuit es pot calcular utilitzant la llei d'Ohm:
\[ I = \frac{V}{Z} \]
On:
– V = 10 V rms
– Z = 10 ohms (a freqüència ressonant)
Així doncs:
\[ I = \frac{10}{10} \]
\[ I = 1 \text{ A} \]
Per tant, el corrent que circula pel circuit és d'1 A.
Exemples de preguntes i discussió sobre la ressonància de circuits RLC paral·lels
Pregunta 2:
Donat un circuit RLC en paral·lel amb una resistència (R) de 10 ohms, un inductor (L) de 5 mH i un condensador (C) de 2 μF. Determineu:
1. Freqüència de ressonància del circuit.
2. Impedància del circuit a la freqüència ressonant.
3. Tensió de la font si el corrent total que flueix pel circuit és de 2 A a la freqüència ressonant.
Discussió:
1. Freqüència de ressonància del circuit:
La freqüència de ressonància (\(f_0 \)) en un circuit RLC paral·lel també ve donada per:
\[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]
On:
– L = 5 mH = 5 x 10⁻³ H
– C = 2 μF = 2 x 10⁻⁶ F
Així doncs:
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{(5 × 10^{-3})(2 × 10^{-6})}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{10 × 10^{-9}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π\sqrt{10^{-8}}} \]
\[ f_0 = \frac{1}{2π \times 10^{-4}} \]
\[ f_0 = \frac{10^4}{2π} \]
\[ f_0 ≈ 1591.55 \text{ Hz} \]
2. Impedància del circuit a la freqüència ressonant:
A la freqüència ressonant, l'admitància total (Y) de l'inductor i el condensador és zero. Per tant, la impedància (Z) d'un circuit RLC paral·lel només depèn de la resistència (R). Així, a la freqüència ressonant, la impedància d'un circuit RLC paral·lel és igual a la resistència.
Així doncs:
\[ R = 10 \text{ ohm} \]
3. Tensió de la font:
El corrent total (\(I \)) que flueix pel circuit és de 2 A. La implicació de la llei d'Ohm és que la tensió de la font (V) ve donada per:
[V = I × Z]
On:
– I = 2 A
– Z = 10 ohms
Així doncs:
[V = 2 × 10]
\[ V = 20 \text{ V} \]
Per tant, la tensió de la font és de 20 V.
Conclusió
La ressonància en els circuits elèctrics és un fenomen clau que es pot explotar per a una varietat d'aplicacions d'enginyeria elèctrica i electrònica. Comprendre com calcular la freqüència de ressonància i els seus efectes sobre el corrent i el voltatge és fonamental per al disseny i l'anàlisi de circuits. Aquest article presenta els conceptes bàsics de la ressonància en els circuits RLC i discuteix els problemes relacionats per proporcionar una visió general clara d'aquest tema.
