Exemples de preguntes i discussió d'aplicacions integrals
La integració és un concepte fonamental del càlcul que té nombroses aplicacions en diversos camps de la ciència, com ara la física, l'economia, la biologia i l'enginyeria. Les integrals s'utilitzen per calcular l'àrea sota una corba, el volum d'un sòlid, el treball, la pressió i més. En aquest article, discutirem diversos exemples d'aplicacions integrals, seguits d'explicacions detallades de com resoldre-les.
1. Determinació de l'àrea sota la corba
Una de les aplicacions més comunes de les integrals és calcular l'àrea sota la corba d'una funció sobre un interval donat. Suposem que volem trobar l'àrea de la regió delimitada per la corba \(y = x^2\) i l'eix \(x\) des de \(x = 0\) fins a \(x = 2\).
Exemple de problemes:
Determina l'àrea sota la corba \(y = x^2\) des de \(x = 0\) fins a \(x = 2\).
Discussió:
Per trobar l'àrea sota la corba \(y = x^2\) des de \(x = 0\) fins a \(x = 2\), cal calcular la integral definida de la funció:
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx \]
Pas 1: Determina la integral de \(x^2\).
Tingueu en compte que la integral de \(x^2\) és:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]
Pas 2: Aplicar el límit integral \(0\) a \(2\).
\[ \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \]
Pas 3: Calculeu el valor límit.
\[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3} \]
Per tant, l'àrea sota la corba \(y = x^2\) des de \(x = 0\) fins a \(x = 2\) és de \( \frac{8}{3} \) unitats d'àrea.
2. Càlcul del volum d'objectes en rotació
Les integrals també s'utilitzen per calcular el volum dels sòlids de revolució. Si una regió es gira al voltant de l'eix \(x\), el volum de l'objecte es pot trobar mitjançant el mètode del disc o el mètode de l'anell.
Exemple de problemes:
Calcula el volum de l'objecte produït quan la regió delimitada per la corba \(y = \sqrt{x}\) i la recta \(x = 4\) es gira al voltant de l'eix \(x\).
Discussió:
Per trobar el volum d'un sòlid de revolució, podem utilitzar el mètode del disc. El volum \(V\) del sòlid resultant es pot expressar com:
V = π⁻¹ (a) [f(x)]², dx
On \(f(x) = \sqrt{x}\), \(a = 0\) i \(b = 4\).
Pas 1: Formeu la integral de volum.
V = π ∫0⁻¹ (x)², dx
Pas 2: Simplifica la funció en la integral.
\[ V = π \int_{0}^{4} x \, dx \]
Pas 3: Determina la integral de \(x\).
\[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \]
Pas 4: Aplica els límits \(0\) a \(4\).
\[ V = π [ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \]
Pas 5: Calculeu el valor límit.
\[ \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{4} = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{16}{2} \right) = 8\pi \]
Per tant, el volum de l'objecte resultant és de \(8\pi\) unitats de volum.
3. Càlcul del treball realitzat per una força variable
També es troben aplicacions integrals en física, una de les quals és calcular el treball realitzat per una força variable quan un objecte es mou d'un punt a un altre.
Exemple de problemes:
Una força \(F(x) = 3x^2\) Newton actua sobre una partícula que es mou des de \(x = 1\) metre fins a \(x = 3\) metres. Calcula el treball realitzat per la força.
Discussió:
El treball \(W\) realitzat per la força \(F(x)\) es pot trobar calculant la integral de \(F(x)\) sobre el desplaçament des de \(a\) fins a \(b\):
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
On (a = 1), (b = 3) i (F(x) = 3x^2).
Pas 1: Formeu la integral del treball.
W = \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \]
Pas 2: Determina la integral de \(3x^2\).
\[ \int 3x^2 \, dx = 3 \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^3 + C \]
Pas 3: Aplica els límits \(1\) a \(3\).
\[ W = \left[ x^3 \right]_{1}^{3} \]
Pas 4: Calculeu el valor límit.
\[ W = \left. x^3 \right|_{1}^{3} = 3^3 – 1^3 = 27 – 1 = 26 \]
Per tant, el treball realitzat per la força és de \(26\) joules.
4. Determinació de la pressió hidrostàtica
En física, les integrals també s'utilitzen per calcular la pressió hidrostàtica sobre una superfície immersa en un líquid.
Exemple de problemes:
Una placa vertical de 6 metres d'alçada i 4 metres d'amplada està submergida a l'aigua amb la part superior per sobre de la superfície de l'aigua. Calcula la força total de la pressió de l'aigua sobre la placa.
Discussió:
La pressió a una profunditat \(h\) a l'aigua ve donada per \(P = \rho gh\), on \(\rho\) és la densitat de l'aigua (aproximadament \(1000 \text{ kg/m}^3\)) i \(g\) és l'acceleració deguda a la gravetat (aproximadament \(9.8 \text{ m/s}^2\)).
Per la força de pressió total, hem d'integrar la pressió sobre l'àrea vertical de la placa.
Pas 1: Determineu la funció de pressió.
\[ P(y) = \rho gy \]
Pas 2: La força total \(F\) és la integral de la pressió multiplicada per l'àrea elemental \(dA\) des de \(y = 0\) fins a \(y = 6\).
\[ F = \int_{0}^{6} \rho gy \cdot 4 \, dy \]
Pas 3: Simplifica les constants.
\[ F = 4 \rho g \int_{0}^{6} y \, dy \]
Pas 4: Determina la integral de \(y\).
\[ \int y \, dy = \frac{y^2}{2} \]
Pas 5: Aplica els límits \(0\) a \(6\).
\[ F = 4 ≤ 1000 ≤ 9.8 [ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6} \]
Pas 6: Calculeu el valor límit.
F = 4 ≤ 1000 ≤ 9.8 ≤ 6^2/2 = 4 ≤ 1000 ≤ 9.8 ≤ 18 = 705600
Per tant, la força total de la pressió de l'aigua sobre la placa és de \(705600\) Newton.
Conclusió
L'ús d'integrals en diverses aplicacions proporciona una enorme potència analítica per calcular quantitats físiques complexes. En aquest article, hem discutit com s'apliquen les integrals per calcular l'àrea sota una corba, el volum d'un sòlid de revolució, el treball realitzat per una força variable i la pressió hidrostàtica. Amb una bona comprensió de les tècniques d'integració, podem resoldre una varietat de problemes pràctics que sorgeixen en ciència i enginyeria.
