Exemples de preguntes sobre l'escriptura de derivades de funcions
La derivada d'una funció és un concepte fonamental en càlcul, que s'utilitza amb freqüència en diversos camps de la ciència, com ara la física, l'economia, la biologia i l'enginyeria. La derivada d'una funció mesura la rapidesa amb què canvia el seu valor respecte als canvis en les seves variables independents. En aquest article, discutirem diversos exemples de problemes que impliquen escriure la derivada d'una funció, amb explicacions completes.
Exemple de pregunta 1: Derivada de funcions simples
Pregunta: Troba la primera derivada de la funció \( f(x) = 3x^2 + 5x + 7 \).
Discussió:
Per determinar la primera derivada d'una funció ∫(x)∫, fem servir les regles bàsiques de diferenciació, és a dir:
\[
\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^n-1
\]
Així doncs, podem calcular la derivada de cada terme de la funció de la següent manera:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) + \frac{d}{dx}(7)
\]
\[
f'(x) = 3 ∫ 2x^{2-1} + 5 ∫ 1x^{1-1} + 0
\]
\[
f'(x) = 6x + 5
\]
Així doncs, la primera derivada de la funció (f(x) = 3x^2 + 5x + 7) és (f'(x) = 6x + 5)).
Exemple de pregunta 2: Derivades de funcions trigonomètriques
Pregunta: Trobeu la primera derivada de la funció g(x) = sin(x) + cos(x)
Discussió:
Fem servir les regles bàsiques de la derivada per a les funcions trigonomètriques:
\[
\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)
\]
\[
\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)
\]
Així doncs:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) + \frac{d}{dx}(cos(x))
\]
\[
g'(x) = cos(x) – sin(x)
\]
Així doncs, la primera derivada de la funció ∫(x) = sin(x) + cos(x) és ∫(g'(x) = cos(x) – sin(x)).
Exemple de pregunta 3: Derivada de la funció de multiplicació
Pregunta: Trobeu la primera derivada de la funció \(h(x) = x^2 \sin(x)\).
Discussió:
Per a funcions que són el producte de dues funcions, fem servir la regla de multiplicar:
\[
\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
\]
Suposem \(u(x) = x^2 \) i \(v(x) = \sin(x) \). Aleshores:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(sin(x)) = \cos(x)
\]
Utilitzant la regla de la multiplicació, podem escriure:
\[
h'(x) = [x^2]' sin(x) + x^2 [sin(x)]'
\]
\[
h'(x) = 2x ∫sin(x) + x^2 ∫cos(x)
\]
Així doncs, la primera derivada de la funció \( h(x) = x^2 \sin(x) \) és \( h'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x) \).
Exemple de pregunta 4: Derivada d'una funció de composició
Pregunta: Trobeu la primera derivada de la funció k(x) = sin(x^2)
Discussió:
Per a funcions que són la composició de dues funcions, utilitzem la regla de la cadena:
\[
\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)
\]
Sigui \( f(u) = \sin(u) \) i \( u = x^2 \). Aleshores \( f'(u) = \cos(u) \) i \( g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \).
Utilitzant la regla de la cadena, podem escriure:
\[
k'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x
\]
Així doncs, la primera derivada de la funció k(x) = sin(x^2) és k'(x) = 2x cos(x^2).
Exemple de pregunta 5: Derivada de funcions racionals
Problema: Trobeu la primera derivada de la funció \(m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).
Discussió:
Per a funcions que són el quocient de dues funcions, fem servir la regla del quocient:
\[
\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
\]
Suposem que \(u(x) = 2x \) i \(v(x) = x^2 + 1 \). Aleshores:
\[
u'(x) = 2
\]
\[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x
\]
Utilitzant la regla del quocient, podem escriure:
\[
m'(x) = \frac{[2x]'(x^2 + 1) – 2x[x^2 + 1]'}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2(x^2 + 1) – 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2x^2 + 2 – 4x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{-(2x^2 – 2)}{(x^2 + 1)^2}
\]
\[
m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]
Així doncs, la primera derivada de la funció \(m(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \) és \(m'(x) = \frac{2 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \).
Conclusió
En aquest article, hem tractat diversos exemples de problemes que impliquen derivades de funcions, des de funcions simples, funcions trigonomètriques, multiplicació, composició i funcions racionals. Cada exemple demostra l'ús adequat de les regles de derivades, com ara la regla fonamental, la regla de la cadena, la regla de la multiplicació i la regla del quocient. Comprendre com aplicar aquestes regles és crucial per resoldre problemes de càlcul més complexos en diverses disciplines. La pràctica i l'entrenament repetits us ajudaran a enfortir la vostra comprensió i habilitats en la diferenciació de funcions.
