Exemples de preguntes sobre camps magnètics al voltant d'un cable recte
Pengantar
Els camps magnètics sempre han estat un tema fascinant en física, sobretot en la discussió de com es formen i com interactuen amb el corrent elèctric. Un aspecte important dels camps magnètics és el camp magnètic al voltant d'un cable recte que transporta corrent. En aquest article, discutirem el concepte bàsic d'un camp magnètic al voltant d'un cable recte i proporcionarem diversos exemples de problemes i solucions per aprofundir en la nostra comprensió.
Teoria bàsica dels camps magnètics al voltant de cables rectes
Abans d'aprofundir en el problema d'exemple, és important entendre primer la teoria bàsica dels camps magnètics al voltant d'un cable recte. Segons la llei de Biot-Savart i la llei d'Ampère, el camp magnètic al voltant d'un cable recte que transporta un corrent elèctric es pot expressar mitjançant l'equació:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]
On,
– \(B \) és el camp magnètic (Tesla),
– \( \mu_0 \) és la permeabilitat al buit \( (4 \pi × 10^{-7} T \cdot m/A) \),
– \(I\) és el corrent que circula pel cable (en amperes), i
– \(r\) és la distància des del cable fins al punt on es mesura el camp magnètic (metres).
Aquest camp magnètic forma cercles concèntrics al voltant del cable segons la regla de la mà dreta. Si el polze indica la direcció del corrent, els dits que subjecten el cable indiquen la direcció del camp magnètic.
Exemples de preguntes i debat
Pregunta 1:
Un cable llarg i recte transporta un corrent elèctric de 10 A. Calcula la magnitud del camp magnètic a una distància de 0,2 metres del cable.
Discussió:
Fem servir l'equació del camp magnètic al voltant d'un cable recte:
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r} \]
Se sap:
\[ I = 10 \, A \]
\[r = 0,2\, m\]
\[ μ_0 = 4 π × 10^{-7} \, T ≤ m/A \]
Substitueix aquests valors a l'equació:
\[ B = \frac{4 π × 10^{-7} × 10}{2 π × 0,2} \]
\[ B = \frac{4 π × 10^{-6}}{2 π × 0,2} \]
\[ B = \frac{4 \times 10^{-6}}{0,2} \]
B = 20 × 10-6
B = 2 × 10-5, T
\[ B = 20 \, \mu T \]
Així doncs, la magnitud del camp magnètic a una distància de 0,2 metres del cable és de 20 μT (microTesla).
Pregunta 2:
Dos cables llargs i rectes transporten el mateix corrent de 5 A però en direccions oposades, i la distància entre ells és de 0,1 metres. Calcula la magnitud del camp magnètic en un punt a mig camí entre els dos cables.
Discussió:
En un punt a mig camí entre els dos cables, la distància és \(r = 0,05 \, m \) de cada cable. Primer calculem el camp magnètic degut a un cable.
Per a cada filferro:
\[ B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 π r} \]
Se sap:
\[ I = 5 \, A \]
\[r = 0,05\, m\]
\[ μ_0 = 4 π × 10^{-7} \, T ≤ m/A \]
Substitueix aquests valors a l'equació:
\[ B_1 = \frac{4 π × 10^{-7} × 5}{2 π × 0,05} \]
\[ B_1 = \frac{4 π × 10^{-7} × 5}{π × 0,1} \]
\[ B_1 = \frac{20 π × 10^{-7}}{π × 0,1} \]
\[ B_1 = \frac{20 \times 10^{-7}}{0,1} \]
\[ B_1 = 200 × 10^{-7} \]
[B_1 = 2 × 10-5, T]
Com que els dos cables transporten corrents en direccions oposades, els camps magnètics es cancel·len mútuament en aquest punt. El camp magnètic total en aquest punt és zero.
Pregunta 3:
Un cable llarg i recte A porta un corrent de 12 A i està situat paral·lel a un cable llarg i recte B que porta un corrent de 8 A en la mateixa direcció. Calcula el camp magnètic total en un punt a 0,15 metres del cable A i a 0,1 metres del cable B.
Discussió:
Calcula el camp magnètic de cada fil en aquest punt.
Per al cable A:
\[ B_A = \frac{\mu_0 I_A}{2 π r_A} \]
Se sap:
\[ I_A = 12 \, A \]
\[r_A = 0,15 \, m \]
Substitució de valors:
\[ B_A = \frac{4 π × 10^{-7} × 12}{2 π × 0,15} \]
\[ B_A = \frac{48 π × 10^{-7}}{π × 0,3} \]
\[ B_A = \frac{48 \times 10^{-7}}{0,3} \]
\[ B_A = 160 × 10^{-7} \]
[B_A = 1,6 × 10-5, T]
Per al cable B:
\[ B_B = \frac{\mu_0 I_B}{2 π r_B} \]
Se sap:
\[I_B = 8 \, A \]
\[r_B = 0,1\, m\]
Substitució de valors:
\[ B_B = \frac{4 π × 10^{-7} × 8}{2 π × 0,1} \]
\[ B_B = \frac{32 π × 10^{-7}}{π × 0,2} \]
\[ B_B = \frac{32 \times 10^{-7}}{0,2} \]
\[ B_B = 160 × 10^{-7} \]
[B_B = 1,6 × 10-5, T]
Com que el corrent en ambdós cables flueix en la mateixa direcció, i els punts es troben a distàncies diferents de cada cable, el camp magnètic resultant serà en la mateixa direcció. Per tant, el camp magnètic total és la suma d'aquests dos camps magnètics.
\[ B_{total} = B_A + B_B \]
B_{total} = 1,6 × 10^{-5} + 1,6 × 10^{-5}
B_{total} = 3,2 × 10^{-5}, T
Així doncs, el camp magnètic total en aquest punt és de 32 μT (microTesla).
Conclusió
Comprendre el concepte de camp magnètic al voltant d'un cable recte és crucial per a la física perquè té moltes aplicacions pràctiques. Mitjançant exemples i debats com l'anterior, podem reforçar el concepte bàsic i aprofundir en la nostra comprensió de com funcionen els camps magnètics al voltant d'un cable que transporta corrent. Recordeu sempre que la regularitat analítica i la comprensió de les lleis fonamentals són crucials per resoldre diversos problemes de física.
