Exemples de preguntes sobre l'efecte Compton
L'efecte Compton és un fenomen crucial en la física quàntica. Aquest descobriment no només aprofundeix la nostra comprensió de la dualitat ona-partícula de la llum, sinó que també proporciona proves sòlides per a la teoria quàntica de la radiació. Aquest article revisarà l'efecte Compton, els seus principis bàsics i proporcionarà alguns exemples de problemes i solucions per aplicar aquest concepte.
Comprensió de l'efecte Compton
L'efecte Compton, que rep el nom del seu descobridor Arthur H. Compton, és un fenomen en què un fotó (una partícula de llum) xoca amb un electró i experimenta un canvi de longitud d'ona. Després de la col·lisió, el fotó transfereix part de la seva energia a l'electró, cosa que fa que el fotó experimenti un augment de la longitud d'ona (o una disminució de la freqüència).
Aquest canvi de longitud d'ona s'anomena desplaçament Compton i es pot expressar mitjançant l'equació:
\[
Δλ = λ' – λ = h/m_ec(1 – cos θ)
\]
On:
– Δλ és el canvi en la longitud d'ona del fotó,
– λ és la longitud d'ona inicial del fotó,
– λ és la longitud d'ona del fotó després de la col·lisió,
– \(h\) és la constant de Planck (\(6.626 \times 10^{-34} \, \text{Js}\)),
– \(m_e\) és la massa d'un electró (\(9.109 \times 10^{-31} \, \text{kg}\)),
– \(c\) és la velocitat de la llum (\(3 × 10^8 \, \text{m/s}\)),
– θ és l'angle de dispersió del fotó.
Exemples de preguntes i debat
Pregunta 1
Un fotó amb una longitud d'ona de 0,1 nm xoca contra un electró estacionari. El fotó es dispersa llavors en un angle de 90° respecte a la seva direcció original. Calcula la longitud d'ona del fotó després de la col·lisió!
Discussió:
Se sap:
– Longitud d'ona inicial, \(\lambda = 0.1 \, \text{nm} = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– Angle de dispersió, θ = 90°
Utilitzant l'equació de desplaçament de Compton:
\[
Δλ = h/m_ec(1 – cos θ)
\]
Substituïu els valors de la constant de Planck, la massa de l'electró i la velocitat de la llum:
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 – cos 90)
\]
Com que \(\cos 90^\circ = 0\),
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8)
\]
\[
Δλ = 6.626 × 10-34 / 2.7327 × 10-22
\]
\[
Δλ = 2.43 × 10-12, m = 0.00243, nm
\]
Així doncs, la longitud d'ona després de la col·lisió és:
\[
λ' = λ + Δλ = 0.1, nm + 0.00243, nm = 0.10243, nm
\]
Pregunta 2
Un fotó amb una longitud d'ona λ = 0.05 nm es dispersa en un angle θ = 120°. Determineu la longitud d'ona del fotó després de la dispersió.
Discussió:
Se sap:
– Longitud d'ona inicial, \(\lambda = 0.05 \, \text{nm} = 0.05 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
– Angle de dispersió, θ = 120°
Utilitzant l'equació de desplaçament de Compton:
\[
Δλ = h/m_ec(1 – cos θ)
\]
Substituïu els valors de la constant de Planck, la massa de l'electró i la velocitat de la llum:
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 – cos 120)
\]
Com que \(\cos 120^\circ = -0.5\),
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 – (-0.5))
\]
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 + 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 × 10-34 / 2.7327 × 10-22 × 1.5
\]
\[
Δλ = 2.43 × 10-12, m × 1.5 = 3.645 × 10-12, m = 0.003645, nm
\]
Així doncs, la longitud d'ona després de la col·lisió és:
\[
λ' = λ + Δλ = 0.05, nm + 0.003645, nm = 0.053645, nm
\]
Pregunta 3
Si la longitud d'ona del fotó després de la dispersió és de 0.045 nm i l'angle de dispersió és de \(60^\circ\), determineu la longitud d'ona del fotó abans de la dispersió.
Discussió:
Se sap:
– Longitud d'ona després de la col·lisió, λ = 0.045, nm = 0.045 × 10-9, m)
– Angle de dispersió, θ = 60°
Utilitzant l'equació de desplaçament de Compton:
\[
Δλ = h/m_ec(1 – cos θ)
\]
Substituïu els valors de la constant de Planck, la massa de l'electró i la velocitat de la llum:
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 – cos 60)
\]
Com que \(\cos 60^\circ = 0.5\),
\[
Δλ = (6.626 × 10-34) / (9.109 × 10-31) × 3 × 10-8) (1 – 0.5)
\]
\[
Δλ = 6.626 × 10-34 / 2.7327 × 10-22 × 0.5
\]
\[
Δλ = 2.43 × 10-12, m × 0.5 = 1.215 × 10-12, m = 0.001215, nm
\]
La longitud d'ona després de la col·lisió es coneix:
\[
λ' = λ + Δλ
\]
Així doncs, la longitud d'ona abans de la dispersió és:
\[
λ = λ' – Δλ = 0.045, nm – 0.001215, nm = 0.043785, nm
\]
Conclusió
Comprendre l'efecte Compton ens permet entendre millor la interacció entre fotons i electrons en el context de la física quàntica. Aquest canvi de longitud d'ona a causa de la dispersió demostra la dualitat ona-partícula de la llum i reforça la teoria quàntica de la radiació. Els exemples anteriors són aplicacions directes de l'equació de Compton, que ens poden ajudar a entendre el concepte bàsic i calcular els canvis de longitud d'ona en diverses condicions.
