Standart Sapma Necə Hesablanır
Standart sapma, məlumatların ortalamasından nə qədər "yayılmış" olduğunu müəyyən etmək üçün ən çox istifadə edilən statistik ölçülərdən biridir. Real həyatda standart sapma bizə bir fenomenin sabitliyini və ya variasiyasını anlamağa kömək edir: məsələn, test ballarındakı dəyişikliklər, satış dalğalanmaları, hündürlükdəki fərqlər və hətta maliyyə məlumatlarında risklər. Standart sapma nə qədər kiçikdirsə, məlumatlar ortalamaya bir o qədər yaxındır. Əksinə, böyük standart sapma məlumatların ortalamadan uzaq olduğunu və yüksək variasiyaya malik olduğunu göstərir.
Bu məqalədə standart sapmanın mənası, istifadə olunan düstur və asan başa düşülən nümunələr vasitəsilə onu əl ilə hesablamaq addımları müzakirə olunacaq.
1. Standart Sapmanın Tərifi
Standart sapma dispersiyanın kvadrat köküdür. Dispersiyanın özü hər bir məlumat nöqtəsi ilə orta arasındakı fərqlərin kvadratlarının ortalamasıdır. Niyə kvadrat istifadə olunur? Çünki məlumat nöqtələri ilə orta arasındakı fərqlər ya mənfi, ya da müsbət ola bilər. Birbaşa əlavə edildikdə, mənfi və müsbət fərqlər bir-birini ləğv edə bilər və bu da yanlış nəticələrə səbəb ola bilər. Fərqləri kvadratlaşdırmaqla bütün dəyərlər müsbət olur və bu da məlumatların paylanmasının daha dəqiq ölçülməsinə imkan verir.
Sadəcə:
– Varians = "kvadrat" vahidlərində yayılma ölçüsü.
– Standart sapma = orijinal məlumat vahidlərinə qayıdan yayılmanın ölçüsü.
Misal: əgər məlumatlar test balları (bal vahidləri) şəklindədirsə, variasiya ballarla, standart sapma isə yenə ballarla olacaq və bu da şərh etməyi asanlaşdırır.
2. Əhali vs Nümunə Standart Sapması
Hesablamadan əvvəl hansı növ məlumatlara sahib olduğunuzu bilmək vacibdir:
1. Əhali: məlumatlara tədqiq olunacaq bütün üzvlər daxildir.
Populyasiyanın standart sapma düsturu N (məlumatların sayı) bölənindən istifadə edir.
2. Nümunə: məlumatlar populyasiyanın yalnız bir hissəsidir və adətən daha böyük bir populyasiyanı təmsil etmək üçün istifadə olunur.
Nümunə standart sapma düsturu qiymətləndirmə qərəzini düzəltmək üçün böləndən (n − 1) istifadə edir. Bu düzəliş Bessel korreksiyası adlanır.
Gündəlik təcrübədə (məsələn, tədqiqat, sorğular, sinif təhlili) məlumatlar çox vaxt nümunə hesab olunur, buna görə də bölən (n − 1)-dir.
3. Standart Sapma Düsturu
A. Əhali Standart Sapma Düsturu
Tutaq ki, məlumatlar: \( x_1, x_2, \dots, x_N \)
Əhali ortalaması:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Əhali dəyişkənliyi:
\[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2}{N}
\]
Əhali standart sapması:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]
B. Nümunə Standart Sapma Düsturu
Nümunə mənası:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Nümunə variasiya:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Nümunə standart sapma:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Standart Sapmanın Əl ilə Hesablanması Addımları
Daha asan başa düşülməsi üçün 5 tələbənin imtahan bal məlumatlarından nümunə götürürük:
Məlumatlar: 60, 70, 70, 80, 90
Bu məlumatın bir nümunə olduğunu düşünün (öyrənmə nümunələrində çox rast gəlinir).
Addım 1: Orta hesablayın
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Beləliklə, orta bal 74-dür.
Addım 2: Hər bir məlumatla orta göstərici arasındakı fərqi hesablayın
Fərq sütunu yaradın \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Addım 3: Fərqi kvadratlaşdırın
\( (x_i – \bar{x})^2 \) hesablayın:
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Addım 4: Fərqlərin kvadratlarını toplayın
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Addım 5: Dispersiyanı hesablayın (nümunə üçün n − 1-ə bölün)
n = 5 olduğundan, n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Beləliklə, nümunə dispersiyası 130-dur.
Addım 6: Standart sapmanı əldə etmək üçün dispersiyanın kvadrat kökü
\[
s = \sqrt{130} \təxminən 11{,}40
\]
Beləliklə, məlumatların standart sapması təxminən 11,40-dır. Bu o deməkdir ki, orta hesabla tələbələrin balları 74 ortalamasından təxminən 11 bal fərqlənir.
5. Sürətli Yol: Alternativ Formula (Hesablama)
Yuxarıdakı əl ilə verilən metoddan başqa, xüsusilə çoxlu məlumat olduqda, hesablamaları sürətləndirmək üçün tez-tez istifadə olunan bir hesablama düsturu mövcuddur:
Nümunə variasiya:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Bu düstur fərqləri bir-bir hesablamaqdan qaçınır, lakin məlumatların kvadratlarının cəmini hesablayarkən yenə də dəqiqlik tələb edir.
Lakin, konseptual anlama üçün addım-addım metod (fərq → kvadrat → cəm) adətən səhvlərdən daha asan və daha təhlükəsizdir.
6. Standart Sapmanın Şərhi
Standart sapma yalnız rəqəmlərlə məhdudlaşmır, həm də şərh edilməlidir:
– Kiçik standart sapma: məlumatlar orta qiymətə yaxın qruplaşdırılıb, variasiya aşağıdır, nəticələr daha ardıcıldır.
– Böyük standart sapma: məlumatlar orta səviyyədən çox yayılıb, variasiya yüksəkdir, nəticələr daha az ardıcıldır.
Misal üçün, iki sinfin orta balı eynidirsə, 74. Əgər A sinfinin standart sapması 5, B sinfinin standart sapması isə 15-dirsə, onda A sinfindəki ballar daha bərabər və sabitdir. B sinfinin variasiyası daha böyükdür: bəziləri çox aşağı, bəziləri isə çox yüksəkdir.
7. Ümumi Səhvlər
Standart sapmanın hesablanması zamanı bəzi ümumi səhvlər:
1. Nümunə və populyasiya arasında fərq qoymağı unutmuşam, ona görə də bölən səhvdir (N vs n − 1).
2. Ortalamanın səhv hesablanması, nəticədə sonrakı bütün addımlar səhv olur.
3. Fərqi kvadratlaşdırmağı unutmaq və ya sonunda kvadrat kök götürərkən səhv etmək.
4. Ədədlərin kvadratlarını toplayarkən və ya hesablayarkən hesablama səhvləri.
Səhvlərin qarşısını almaq üçün hesablama cədvəli yaratmaq və nəticələri ikiqat yoxlamaq olar.
Bağlanır
Standart sapmanı hesablamaq, addımları düzgün yerinə yetirsəniz, əslində çətin deyil: orta qiyməti hesablayın, hər bir məlumat dəsti arasındakı fərqi tapın, fərqləri kvadratlaşdırın, onları bir-birinə toplayın, bölün (n və ya n − 1-ə) və sonra kvadrat kök alın. Standart sapmanı anlayaraq, məlumatlarınızın nə qədər ardıcıl olduğunu və nə qədər variasiya olduğunu qiymətləndirə bilərsiniz.
İstəsəniz, daha çox məlumatla əlavə nümunələr, qruplaşdırılmış məlumatların nümunələri (tezlik cədvəlləri) və ya Excel/Google Cədvəllərindən istifadə edərək standart sapmanın necə hesablanacağı barədə də məlumat yarada bilərəm.
