Permutasiya və Kombinasiya Qaydaları
Riyaziyyatda, xüsusən də ehtimal və statistika sahələrində, tez-tez bir hadisənin "neçə yolla" baş verə biləcəyi sualı ilə qarşılaşırıq. Məsələn: müəyyən sayda insan üçün neçə mümkün oturacaq düzülüşü var? Komanda üzvləri bir qrup tələbə arasından neçə yolla seçilə bilər? Bu kimi suallara sayma qaydalarında iki əsas anlayış olan permutasiya və kombinasiya qaydaları istifadə edilərək cavab verilir. Hər ikisi "yolların sayı" ilə əlaqəli olsa da, vacib fərq sıranın nəzərə alınıb-alınmamasındadır.
1. Sayma Qaydalarının Əsas Konsepsiyası
Permutasiyalara və kombinasiyalara dərindən nəzər salmazdan əvvəl başa düşməli olduğumuz əsas bir fikir var: sadalama, müəyyən şərtlər toplusundan mümkün nəticələrin sayını saymaq prosesidir. Sadalama kiçik hallar üçün əl ilə edilə bilər, lakin daha böyük hallar üçün səmərəli bir düstura ehtiyacımız var.
Sayma prosesində iki əsas prinsip aşağıdakılardır:
1. Məhsul qaydası
Əgər bir proses bir neçə mərhələdən ibarətdirsə və hər mərhələnin bir sıra seçimləri varsa, onda yolların ümumi sayı hər mərhələdəki seçimlərin sayının hasilinə bərabərdir.
2. Cəm qaydası
Əgər seçim bir neçə qarşılıqlı istisna (üst-üstə düşməyən) yolla edilə bilərsə, onda yolların ümumi sayı bu yolların cəmidir.
Permutasiyalar və kombinasiyalar, xüsusən də obyektlər düzülməyə və ya seçilməyə başlandıqda, bu prinsipin əlavə tətbiqləridir.
2. Permutasiya: Nizama Diqqət yetirməklə Düzənləmə
Permutasiya, nizamın vacib olduğu obyektlərin düzülüşünün və ya seçilməsinin bir yoludur. Bu o deməkdir ki, AB düzülüşü BA düzülüşündən fərqlidir.
a. n müxtəlif obyektin permutasiyaları (hamısı düzülmüş)
Əgər ardıcıllıqla düzüləcək n müxtəlif obyekt varsa, düzülüşlərin sayı belədir:
\[
n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1
\]
“!” İşarəsi faktorial adlanır.
Kontakt:
4 fərqli kitab var. Onları rəfə neçə şəkildə yerləşdirmək olar?
\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24
\]
Beləliklə, 24 tənzimləmə var.
b. Qismən permutasiya: n-dən r-in seçilməsi (sıra nəzərə alınır)
Əgər n fərqli obyektdən r obyekt seçsək (hamısını yox), onda permutasiya düsturu belədir:
\[
P(n,r) = \frac{n!}{(nr)!}
\]
Kontakt:
6 tələbədən 3-ü sədr, sədr müavini və katib seçiləcək. Bunu neçə yolla etmək olar?
Sədr-vitse-katib fərqli vəzifələr olduğundan, qayda vacibdir.
\[
P(6,3) = \frac{6!}{(6-3)!}=\frac{6!}{3!} = 6 \times 5 \times 4 = 120
\]
120 yol var.
c. Eyni obyektlə permutasiyalar (təkrar/eyni)
Bəzən hamısı unikal olmayan obyektlər olur. Məsələn, "GECƏ" sözündə iki M və iki A var (və ya "GECƏ" üçün: 2 M var, 2 A var? Əslində, "GECƏ" = GECƏ: M=2, A=2, L=1). Müxtəlif düzülüşlərin sayı aşağıdakı düsturla hesablanır:
\[
\frac{n!}{n_1! \, n_2! \, \dots}
\]
burada \(n\) obyektlərin ümumi sayı, \(n_1, n_2\) isə eyni obyektlərin sayıdır.
Kontakt:
“GECƏ” hərflərinin neçə fərqli düzülüşü var?
Hərflərin sayı \(n=5\), M hərfində 2, A hərfində 2, L hərfində 1 var.
\[
\frac{5!}{2!\,2!} = \frac{120}{4} = 30
\]
Beləliklə, 30 fərqli tənzimləmə var.
3. Kombinasiya: Sifarişdən asılı olmayaraq seçim
Kombinasiya, sıranın əhəmiyyətsiz olduğu obyektləri seçmək üsuludur. A və B-ni seçmək B və A-nı seçməklə eynidir.
Kombinasiya düsturu n obyektdən r seçir:
\[
C(n,r) = \binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(nr)!}
\]
a. Sadə kombinasiyaya nümunə
Kontakt:
10 tələbədən 3-ü yarış komandasının üzvü seçiləcək (konkret vəzifələr olmadan). Neçə yolla?
Rütbə olmadığı üçün sıra vacib deyil.
\[
C(10,3)=\frac{10!}{3!\,7!}=\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}=120
\]
120 yol var.
b. Permutasiyalar və kombinasiyalar arasındakı əlaqə
Qeyd edək ki, permutasiyalar və kombinasiyalar əlaqəlidir. r nəfər seçmək və onları düzmək üçün aşağıdakıları edə bilərik:
– əvvəlcə r nəfər seçin: \(C(n,r)\)
– həmin şəxsə r təyin edin: \(r!\)
Beləliklə:
\[
P(n,r) = C(n,r)\dəfə r!
\]
Bu, sıranı fərqləndirdiyinə görə permutasiyanın "daha böyük" olduğunu göstərir.
4. Necə Müəyyən Edilməlidir: Permutasiya və ya Kombinasiyadan İstifadə Edilir?
Problemi həll etmək üçün ən vacib addım sifarişin nəzərə alınıb-alınmadığını müəyyən etməkdir.
Permutasiyalardan istifadə edin, əgər:
– vəzifə və ya titul varsa (sədr, müavin, 1-2-3-cü yer),
– oturacaq düzülüşü var,
– bir kod və ya ardıcıllıq mövcuddur.
Əgər belədirsə, kombinasiyadan istifadə edin:
– yalnız seçilmiş qrup üzvləri,
– sifariş nəticələri fərqləndirmir,
– vacib olan kimin seçilməsidir, vəzifəsi yox.
Tez nümunə:
– Komitəyə daxil olmaq üçün 12 nəfərdən 5-ni seçin: kombinasiya
– 12 iştirakçı arasından 1-ci, 2-ci və 3-cü yer qaliblərinin müəyyənləşdirilməsi: permutasiya
5. Gündəlik Həyatda Tətbiq Nümunələri
Permutasiyalar və kombinasiyalar yalnız riyaziyyat kitablarında deyil, həm də real vəziyyətlərdə görünür:
1. Şifrə təhlükəsizliyi (parol/PIN)
Təkrarlanmaya icazə verilən mümkün 4 rəqəmli PIN-lərin (0–9) sayı \(10^4\)-dir. Bu, vurma qaydası və təkrarlanma ilə permutasiyalar ideyası ilə əlaqədardır.
2. Cədvəllərin və ya oturacaqların təşkili
Müxtəlif mövqelərə görə permutasiyalardan istifadə edərək rəsmi tədbirlərdə oturma yerlərinin müəyyən edilməsi.
3. Komanda və ya komitənin seçilməsi
Bir qrupdan bir neçə nəfərin seçilməsi kombinasiyadır, çünki sıra vacib deyil.
4. Kart oyunları
Kombinasiyalar tez-tez pokerdə və ya digər oyunlarda müəyyən bir əlin ehtimalını hesablamaq üçün istifadə olunur.
6. Qarşısını almaq üçün ümumi səhvlər
Permutasiya və kombinasiya məsələləri üzərində işləyərkən tez-tez baş verən bəzi səhvlər:
– Əhəmiyyətli olsa da, əmrin əhəmiyyətsiz hesab edilməsi, məsələn, sədr və sədr müavininin seçilməsi (bu, yerini dəyişməlidir).
– Eyni əşyaları bölməyi unutmaq, məsələn, təkrarlanan hərfləri olan sözləri yazmaq.
– Faktorialların səhv hesablanması, xüsusən də \(\frac{n!}{(nr)!}\). formasını sadələşdirərkən.
Bunun qarşısını almağın bir yolu sualın təfsirini sadə cümlələrlə yazmaqdır: “Seçim, yoxsa təşkil etməliyəm?” və “Mövqe nəticədə fərq yaradırmı?”
Bağlanır
Permutasiya və kombinasiya qaydaları müxtəlif vəziyyətlərdə ehtimalların sayını hesablamaq üçün vacib vasitələrdir. Permutasiyalar sıra və ya mövqe vacib olduqda, kombinasiyalar isə sıra vacib olmadığı zaman istifadə olunur. Bu fərqi anlamaqla, faktorialları mənimsəməklə və müvafiq düsturları tətbiq etməklə bir çox sayma və ehtimal məsələlərini daha tez və dəqiq həll edə bilərik. Praktikada düzgün metodu - permutasiya və ya kombinasiyanı - seçmək bacarığı çox vaxt düsturları sadəcə əzbərləməkdən daha vacibdir.
