Sadə Say Nəzəriyyəsi
Sadə ədədlər riyaziyyatda ən sadə, lakin ən sirli obyektlərdən biridir. Sadədir, çünki onların tərifi sadədir: sadə ədəd 1-dən böyük olan və yalnız iki müsbət bölücü olan tam ədəddir: 1 və özü. Sirrlidir, çünki min illərdir öyrənilməsinə baxmayaraq, sadə ədədlər haqqında bir çox fundamental suallar bu günə qədər cavabsız qalır. Sadə ədədlərin xüsusiyyətlərini, qanunauyğunluqlarını və paylanmasını öyrənən riyaziyyat sahəsi tez-tez ədəd nəzəriyyəsində müzakirə olunur və bu mövzu geniş şəkildə sadə ədəd nəzəriyyəsi kimi tanınır.
Baş Sayların Tərifi və Nümunələri
Sadə ədədlər 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 və s. ilə başlayır. Bu siyahıdan görə bilərik ki, 2 yeganə cüt sadə ədəddir. Bütün digər cüt ədədlər 2-yə bölünür, ona görə də onların ikidən çox böləni var və sadə adlandırıla bilməz.
Sadə ədədin əksi, 1-dən böyük olan və ikidən çox böləni olan tam ədəd olan mürəkkəb ədəddir. Məsələn, 4-ün 1, 2 və 4 bölənləri var; 12-nin isə 1, 2, 3, 4, 6 və 12 bölənləri var. 1 ədədi nə sadə, nə də mürəkkəb ədəddir, çünki onun yalnız bir böləni var, 1.
Sadə ədədləri anlamaq vacibdir, çünki onlar çox vaxt tam ədədlərin "tikinti blokları" adlandırılır. 1-dən böyük hər bir tam ədəd sadə ədədlərin hasilinə bölünə bilər.
Hesabın Fundamental Teoremləri
Sadə ədədlər nəzəriyyəsinin ən vacib nəticələrindən biri Hesabın Əsas Teoremidir. Bu teorem 1-dən böyük hər bir tam ədədin, vurucularının sırasına qədər, sadə ədədlərin unikal hasili kimi yazıla biləcəyini bildirir.
Məsələn:
– 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
– 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Sadə faktorlaşdırmanın bu unikallığı bölmə, ən kiçik ortaq qat (LCM), ən böyük ortaq vurucu (GCF) və kompüter elmindəki müxtəlif alqoritmlərə qədər bir çox riyazi anlayışların əsasını təşkil edir.
Sadə Ədədləri Necə Təyin Etmək Olar
Bir ədədin sadə ədəd olub olmadığını müəyyən etmək üçün bir neçə üsul mövcuddur. Ən əsas üsul, ədədin 1 və özündən başqa istənilən ədədə bölünüb-bölünmədiyini yoxlamaqdır. Lakin bu üsul böyük ədədlər üçün səmərəsizdir.
Daha təsirli bir üsul, bölənləri ədədin kvadrat kökünə qədər yoxlamaqdır. Əgər n ədədinin 1 və n-dən başqa vurucuları varsa, onda vuruculardan ən azı biri √n-i keçmir. Məsələn, 97-nin sadə ədəd olub-olmadığını yoxlamaq üçün onu ≤ √97 (təxminən 9,8) sadə ədədlərinə, yəni 2, 3, 5 və 7-yə bölünməsini yoxlayın. 97 bu dörd ədədin heç birinə bölünmədiyi üçün sadə ədəddir.
Bundan əlavə, müəyyən bir həddə qədər bütün sadə ədədləri tapmaq üçün təsirli olan Eratosfen ələyi kimi klassik üsullar mövcuddur. Metod 2-dən N-ə qədər bütün ədədlərin sadalanmasını, sonra 2-nin, 3-ün, 5-in və s. qatlarının işarələnməsini əhatə edir. İşarələnməmiş ədədlər sadə ədədlərdir.
Sadə Ədədlərin Nümunələri və Paylanması
Sadə ədədləri maraqlı edən şeylərdən biri də onların təsadüfi paylanmasıdır. Bütün sadə ədədləri dərhal əmələ gətirən sadə bir qanunauyğunluq yoxdur. Bəzən sadə ədədlər bir-birinə yaxın görünür, məsələn, 11 və 13, yaxud 17 və 19, lakin sonra aralarındakı məsafə daha da böyüyə bilər.
Sadə ədədlər nəzəriyyəsində vacib bir sual budur: “Sadə ədədlər nə qədər tez-tez rast gəlinir?” Buna cavab vermək üçün riyaziyyatçılar Sadə ədədlər teoremini hazırladılar. Bu teorem, π(n) ilə yazılan n-dən az və ya bərabər olan sadə ədədlərin sayının təxminən n / ln(n)-ə bərabər olduğunu bildirir. Bu o deməkdir ki, n artdıqca sadə ədədlər daha nadir hala gəlir, lakin onlar qeyri-müəyyən müddətə rast gəlinməyə davam edir.
Məsələn, çox böyük n üçün, n ətrafındakı təsadüfi ədədin sadə ədəd olma ehtimalı təxminən 1/ln(n)-dir. Bu, sadə ədədlərin paylanmasına statistik baxış təqdim edir.
Əkiz Sadə Ədədlər və Məşhur Fərziyyələr
Əkiz sadə ədədlər, (3, 5), (11, 13), (17, 19) və sair kimi fərqi 2 olan sadə ədəd cütləridir. Bu gün açıq qalan əsas sual Əkiz sadə ədəd fərziyyəsidir: “Sonsuz sayda əkiz sadə ədəd cütü varmı?” Son onilliklərdə bir çox dəstəkləyici dəlillərə və əhəmiyyətli irəliləyişlərə baxmayaraq, bu fərziyyə tam sübut olunmayıb.
Bundan əlavə, 2-dən böyük hər cüt ədədin iki sadə ədədin cəmi kimi yazıla biləcəyini bildirən Qoldbax fərziyyəsi də mövcuddur. Məsələn:
– 10 = 3 + 7
– 28 = 11 + 17
– 100 = 47 + 53
Bu fərziyyə çox böyük ədədlər üçün sınaqdan keçirilmişdir və bu sınaqlar altında həmişə doğrudur, lakin hələ də tam rəsmi sübut yoxdur.
Müasir Kriptoqrafiyada Sadə Ədədlərin Rolü
Saf riyaziyyatdan başqa, sadə ədədlər müasir həyatda, xüsusən də informasiya təhlükəsizliyində mühüm rol oynayır. Ən məşhur şifrələmə metodlarından biri olan RSA kriptosistemi böyük ədədləri sadə ədədlərə ayırmağın çətinliyindən asılıdır. RSA-da iki böyük sadə ədədin hasilindən açıq açar yaradıla bilər. Ədədlər kifayət qədər böyükdürsə, bu hasili iki orijinal sadə ədədə endirmək çox çətin bir problemdir və beləliklə, təhlükəsizlik üçün əsas yaradır.
Başqa sözlə, sadə ədədlərin gözəlliyi təkcə nəzəri deyil, həm də praktikdir, çünki onlar rəqəmsal əməliyyatların, şifrələnmiş rabitənin və internetdə məxfi məlumatların mübadiləsinin təhlükəsizliyini qorumağa kömək edir.
Bağlanır
Sadə ədədlər nəzəriyyəsi riyaziyyatın ən zəngin sahələrindən biridir. Sadə ədədin sadə tərifindən unikal faktorlaşdırma, sadə paylanma teoremi və hətta həll olunmamış fərziyyələr kimi dərin anlayışlara çatırıq. Sadə ədədlər nizam və təsadüfilik arasındakı sərhədi keçdiyinə görə bizi maraqlandırmağa davam edir: zahirən qanunauyğunsuz görünsə də, dərin riyazi qanunlara tabedir.
Sadə ədədləri öyrənmək yalnız hansı ədədlərin sadə, hansılarının isə sadə olmadığını anlamaqla kifayətlənmir, həm də onların tam ədədlər arasında necə "paylandığını", niyə belə fundamental rol oynadıqlarını və müasir texnologiyaya necə təsir etdiyini anlamaqla bağlıdır. Bu səbəbdən, sadə ədədlər nəzəriyyəsi bu günə qədər riyaziyyat tələbələri, müəllimlər və tədqiqatçılar üçün ən fəal şəkildə tədqiq edilən və maraqlı mövzulardan biri olaraq qalır.
