Tam ədədlər və onların xüsusiyyətləri
Tam ədədlər riyaziyyatda ən əsas anlayışlardan biridir, lakin onlar gündəlik həyatda mühüm rol oynayır. Əşyaları sayanda, sıfırdan aşağı temperaturları təyin edərkən, zirzəmidəki mərtəbələrin sayını hesablayanda və ya bir biznesdə mənfəət və zərərləri qeyd edərkən əslində tam ədədlərlə işləyirik. Tam ədədləri və onların xüsusiyyətlərini anlamaq hesab, cəbr və hətta daha yüksək səviyyəli riyazi anlayışları öyrənməyi asanlaşdıracaq.
Tam ədədlərin tərifi
Tam ədədlər mənfi tam ədədlərdən, sıfırdan və müsbət tam ədədlərdən ibarət ədədlər çoxluğudur. Tam ədədlər çoxluğunu təmsil etmək üçün tez-tez istifadə olunan simvol Z-dir (almanca "ədədlər" mənasını verən Zahlen sözündən götürülmüşdür). Ümumiyyətlə, tam ədədlər aşağıdakı kimi yazıla bilər:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Yalnız 0 və müsbət ədədlərdən ibarət olan tam ədədlərdən fərqli olaraq, tam ədədlər mənfi ədədləri ehtiva edir, buna görə də müxtəlif vəziyyətləri daha tam təsvir edirlər.
Gündəlik Həyatda Tam Ədədlərə Nümunələr
Tam ədədlər insan fəaliyyəti ilə sıx bağlıdır. Onların istifadəsinə dair bəzi nümunələr bunlardır:
1. Hava temperaturu: -5°C temperatur temperaturun sıfırın altında 5 dərəcə olduğunu göstərir.
2. Hündürlük: -20 metr hündürlük dəniz səviyyəsindən 20 metr aşağıda yerləşmə mənasını verə bilər.
3. Maliyyə: -50.000 balans 50.000 borc və ya çatışmazlıq olduğunu göstərir.
4. Binanın mərtəbəsi: Zirzəmi üçün adətən 1-ci və ya 2-ci mərtəbə istifadə olunur.
5. Oyun hesabı: Bəzi oyunlarda hesab arta və ya azala bilər, beləliklə, müsbət və mənfi ədədlər iştirak edir.
Bu nümunələrdən görünür ki, tam ədədlər bizə sıfırı istinad nöqtəsi kimi istifadə etməklə "çox", "kiçik" və ya "bərabər" hallarını ifadə etməyə kömək edir.
Tam Ədəd Xətti
Tam ədədləri anlamaq üçün tez-tez ədəd xətti istifadə edirik. Ədəd xətti ədədləri müəyyən mövqelərdə yerləşdirən düz xəttdir:
– Müsbət ədədlər sıfırın sağındadır.
– Mənfi ədədlər sıfırın solundadır.
– Dəyər nə qədər sağa doğru uzaqlaşırsa, bir o qədər böyükdür.
– Sola nə qədər yaxındırsa, dəyər bir o qədər kiçikdir.
Ədəd xətti ilə tam ədədləri asanlıqla müqayisə edə bilərik. Məsələn, -2 -5-dən böyükdür, çünki -2 -5-dən sağdadır.
Tam ədədlərin xüsusiyyətləri
Tam ədədlərin riyazi əməliyyatlarda bir neçə vacib xüsusiyyəti var. Bu xüsusiyyətlər hesablamalar apararkən, cəbri ifadələri sadələşdirərkən və ya anlayışları sübut edərkən çox faydalıdır.
1. Qapalı Təbiət (Bağlanma)
Tam ədədlər çoxluğu müəyyən əməliyyatlar altında bağlıdır, yəni bu əməliyyatları tam ədədlər üzərində yerinə yetirsək, nəticə yenə də tam ədəd olacaq.
– Toplama: Əgər a və b tam ədədlərdirsə, onda a + b də tam ədəddir.
Misal: -3 + 7 = 4
– Çıxılma: Əgər a və b tam ədədlərdirsə, onda a − b də tam ədəddir.
Misal: 5 − 12 = -7
– Vurma: Əgər a və b tam ədədlərdirsə, onda a × b də tam ədəddir.
Misal: (-4) × 6 = -24
Lakin, tam ədədlər həmişə bölünməyə qarşı bağlanmır, çünki bölünmənin nəticəsi kəsr ola bilər.
Misal: 1 ÷ 2 = 1/2 (tam ədəd deyil).
2. Kommutativ Əmlak (Dəyişmə)
Kommutativ xüsusiyyət, nəticəni dəyişdirmədən ədədlərin sırasının dəyişdirilə biləcəyi deməkdir.
– Toplama: a + b = b + a
Misal: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Vurma: a × b = b × a
Misal: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Çıxarma və bölmənin komutativ olmadığını xatırlamaq vacibdir.
Misal: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Assosiativ Xüsusiyyətlər (Qruplaşdırma)
Assosiativ xüsusiyyət o deməkdir ki, ədədlərin bir əməliyyatda qruplaşdırılması nəticəni dəyişdirmir.
– Toplama: (a + b) + c = a + (b + c)
Misal: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Vurma: (a × b) × c = a × (b × c)
Misal: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Kommutativ kimi, assosiativ xassə də çıxma və bölmə əməliyyatlarına aid deyil.
4. Paylayıcı Xüsusiyyətlər (Yayılma)
Paylayıcı xüsusiyyət vurma əməliyyatlarını toplama və ya çıxma ilə əlaqələndirir:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Misal: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Misal: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Bu xüsusiyyət cəbri formaların sadələşdirilməsində və tənliklərin həllində çox vacibdir.
5. Eynilik Elementləri (Toplama və Vurma Eynilikləri)
Kimlik, üzərində işlədildikdə başqa bir ədədin dəyərini dəyişdirməyən bir ədəddir.
– Additiv eynilik 0-dır: a + 0 = a
Misal: -9 + 0 = -9
– Vurma eyniliyi 1-dir: a × 1 = a
Misal: 8 × 1 = 8
Kimliklər riyazi əməliyyatlarda neytral anlayışı anlamağımıza kömək edir.
6. Tərs Elementlər (Əks Ədədlər)
Hər tam ədədin bir əlavə tərsi var, bu da birlikdə toplandıqda 0 ilə nəticələnən bir ədədin əksidir.
– a-nın tərsi -a-dır, deməli: a + (-a) = 0
Misal: 6 + (-6) = 0 və -4 + 4 = 0
Lakin, bütün tam ədədlərin vurmada tərs bir dəyəri yoxdur. Məsələn, 2-nin vurma tərsi 1/2-dir və bu da tam ədəd deyil.
7. Əməliyyatda müsbət və mənfi əlamətlər
Tam ədədlərdə müsbət və mənfi işarələr vurma və bölmədə xüsusi qaydalar verir:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
Kontakt:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Toplama və çıxma əməliyyatları üçün biz tez-tez ədəd xətti anlayışından və ya qaydasından istifadə edirik:
– Mənfi ədədlərin toplanması “çıxmaq”la eynidir.
– Mənfi ədədi çıxmaq “toplamaq”la eynidir.
Kontakt:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Nəticə
Tam ədədlər mənfi ədədlərdən, sıfırdan və müsbət ədədlərdən ibarət ədədlər toplusudur. Bu ədədlər çox vacibdir, çünki onlar həyatdakı müxtəlif şərtləri, məsələn, sıfırın altındakı temperaturları, maliyyə itkilərini və ya dəniz səviyyəsindən aşağı yerləri təsvir edə bilirlər. Tam ədədlər həmçinin qapalı (toplama, çıxma və vurma üçün), kommutativ, assosiativ, paylayıcı, eynilik və qatqı tərs kimi fundamental xüsusiyyətlərə malikdir. Tam ədədlərin xüsusiyyətlərini anlamaqla hesablamaları daha asan yerinə yetirəcəyik, əməliyyatları sadələşdirəcəyik və cəbr, tənliklər və digər say sistemləri kimi sonrakı riyazi mövzuları öyrənəcəyik.
İstəsəniz, bu məqalənin ibtidai/orta məktəb səviyyəsi üçün bir versiyasını (daha sadə) və ya daha rəsmi bir versiyasını, məsələn, təcrübə sualları və müzakirələri olan tam bir sənəd hazırlaya bilərəm.
