الحركة الدورانية - المشاكل والحلول

الحركة الدورانية - المشاكل والحلول

طوق معدني للعنق

1. عارضة طولها 140 سم. تؤثر عليها ثلاث قوى: F1 ₌ 20 نيوتن، F2 ₌ 10 نيوتن، وF3 ₌ 40 نيوتن، باتجاه وموضع موضحين في الشكل أدناه. ما مقدار عزم الدوران الذي يجعل العارضة تدور حول مركز كتلتها؟

معروف :

يقع مركز الكتلة في مركز العارضة.

طول العارضة (ل) = 140 سم = 1.4 متر

القوة الثالثة (F1 ₎ = 20 نيوتن، وذراع العزم الثالث (l1 ₎ = 70 سم = 0.7 متر

القوة الثانية (F₂ ₎ = 10 نيوتن، ذراع العزم الثاني (l₂ ₎ = 100 سم - 70 سم = 30 سم = 0.3 متر

القوة الثالثة (F3 ₎ = 40 نيوتن، وذراع العزم الثالث (l3 ₎ = 70 سم = 0.7 متر

المطلوب: مقدار عزم الدوران

الحل:

يؤدي عزم الدوران 1 إلى تدوير العارضة في اتجاه عقارب الساعة، لذلك تم تعيين إشارة سالبة لعزم الدوران 1.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 نيوتن)(0.7 متر) = -14 نيوتن متر

يؤدي عزم الدوران 2 إلى تدوير العارضة عكس اتجاه عقارب الساعة، مما يعطي إشارة موجبة لعزم الدوران 2.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 نيوتن)(0.3 متر) = 3 نيوتن متر

يؤدي عزم الدوران 3 إلى تدوير العارضة في اتجاه عقارب الساعة، لذلك تم تعيين إشارة موجبة لعزم الدوران 3.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 نيوتن)(0.7 متر) = -28 نيوتن متر

عزم الدوران الصافي:

Στ = -14 نيوتن متر + 3 نيوتن متر – 28 نيوتن متر = – 42 نيوتن متر + 3 نيوتن متر = -39 نيوتن متر

مقدار عزم الدوران هو 39 نيوتن متر. اتجاه دوران الشعاع في اتجاه عقارب الساعة، لذلك تم تعيين إشارة سالبة.

2. ما هو عزم الدوران الكلي المؤثر على العارضة حول محور الدوران عند النقطة D؟ (sin 53 ^o = 0.8)

معروف :

محور الدوران عند النقطة د

F ₁ = 10 N و l ₁ = r ₁ sin θ = (40 سم)(sin 53 ^o ) = (0.4 م)(0.8) = 0.32 متر

F ₂ = 10√2 N و l ₂ = r ₂ sin θ = (20 سم)(sin 45 ^o ) = (0.2 م)(0.5√2) = 0.1√2 متر

F ₃ = 20 N و l ₃ = r ₁ sin θ = (10 سم)(sin 90 ^o ) = (0.1 م)(1) = 0.1 متر

المطلوب: عزم الدوران الصافي

الحل:

τ ₁ = F ₁ لتر ₁ = (10 ن)(0.32 م) = 3.2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 1 إلى تدوير العارضة عكس اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة موجبة لعزم الدوران 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 م) = -2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 2 إلى دوران العارضة في اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة سالبة لعزم الدوران 2)

τ ₃ = F ₂ لتر ₂ = (20 ن)(0.1 م) = 2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 3 إلى تدوير العارضة عكس اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة موجبة لعزم الدوران 3)

عزم الدوران الصافي:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 نيوتن متر – 2 نيوتن متر + 2 نيوتن متر

Στ = 3.2 نيوتن متر

3. ما هو عزم الدوران الكلي إذا كان محور الدوران عند النقطة D؟ (sin 53 ^o = 0.8)

معروف :

محور الدوران عند النقطة د.

المسافة بين F1 _ومحور الدوران (rAD ₎ = 40 سم = 0.4 م

المسافة بين F2 _ومحور الدوران (rBD ₎ = 20 سم = 0.2 م

المسافة بين F3 _ومحور الدوران (rCD ₎ = 10 سم = 0.1 م

F ₁ = 10 نيوتن

F ₂ = 10√2 نيوتن

F ₃ = 20 نيوتن

جا ٥٣ ^درجة = ٠٫٨

المطلوب: عزم الدوران الصافي

الحل:

عزم القوة 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 م)(0.8) = 3.2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 1 إلى تدوير العارضة عكس اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة موجبة لعزم الدوران 1)

عزم القوة 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 م)(0.5√2) = -2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 2 إلى دوران العارضة في اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة سالبة لعزم الدوران 2)

عزم القوة 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 م)(1) = 2 نيوتن متر

(يؤدي عزم الدوران 2 إلى تدوير العارضة عكس اتجاه عقارب الساعة، لذلك نعطي إشارة موجبة لعزم الدوران 3)

عزم الدوران الصافي:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 نيوتن متر

عزم القصور الذاتي

4. طول السلك = 12 مترًا، l1 ₌ 4 أمتار. أهمل كتلة السلك. ما هو عزم القصور الذاتي للنظام؟

معروف :

كتلة A (m _A ) = 0.2 كجم

كتلة B (m _B ) = 0.6 كجم

المسافة بين النقطة A ومحور الدوران (r _A ) = 4 أمتار

المسافة بين النقطة B ومحور الدوران (r _B ) = 12 - 4 = 8 أمتار

المطلوب: عزم القصور الذاتي للنظام

الحل:

عزم القصور الذاتي لـ A

أنا _أ = (م _أ )(ص _أ ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 كجم م ²

عزم القصور الذاتي لـ B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

عزم القصور الذاتي للنظام:

أنا = أنا _أ + أنا _ب = 3.2 + 38.4 = 41.6 كجم م ²

الديناميكا الدورانية

5. تُطبَّق قوة مقدارها 6 نيوتن على حبل ملفوف حول بكرة كتلتها M = 5 كجم ونصف قطرها R = 20 سم. ما هو التسارع الزاوي للبكرة؟ البكرة عبارة عن أسطوانة صلبة منتظمة.

معروف :

القوة (F) = 6 نيوتن

الكتلة (م) = 5 كجم

نصف القطر (R) = 20 سم = 20/100 م = 0.2 م

المطلوب: التسارع الزاوي (α)

الحل:

لحظة القوة:

τ = FR = (6 نيوتن)(0.2 متر) = 1.2 نيوتن متر

عزم القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 كجم)(0.2 م) ²

I = 1/2 (5 كجم)(0.04 م ² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

التسارع الزاوي:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 راد الصورة ^-2

6. كتلة مقدارها 4 كجم معلقة بحبل ملفوف حول بكرة كتلتها 8 كجم ونصف قطرها R = 10 سم. تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ ^ث² . ما هو التسارع الخطي للكتلة؟ البكرة عبارة عن أسطوانة صلبة منتظمة.

معروف :

كتلة البكرة (م) = 8 كجم

نصف قطر البكرة (r) = 10 سم = 0.1 م

كتلة الكتلة (م) = 4 كجم

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

الوزن (w) = mg = (4 كجم)(10 م/ث² ⁾ = 40 كجم م/ ^ث² = 40 نيوتن

المطلوب: تسارع السقوط الحر للكتلة

الحل:

عزم القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة:

I = ½ MR² ⁼ ½ (8 كجم)(0.1 م) ^² = (4 كجم)(0.01 م² ⁾ = 0.04 كجم ^م²

لحظة القوة:

τ = F r = (40 ن)(0.1 م) = 4 نيوتن متر

التسارع الزاوي:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

التسارع الخطي:

أ = ص α = (0.1)(100) = 10 م/ث ²

7. كتلة مقدارها m معلقة بحبل ملفوف حول بكرة. إذا كان تسارع السقوط الحر للكتلة هو am/s² ^، فما هو عزم القصور الذاتي للبكرة؟

معروف :

الوزن = ع = ملغ

ذراع الرافعة = R

التسارع الزاوي = α

تسارع السقوط الحر للكتلة = a م/ ^ث²

المطلوب: عزم القصور الذاتي للبكرة (I)

الحل:

العلاقة بين التسارع الخطي والتسارع الزاوي:

أ = ر α

α = a / R

عزم القصور الذاتي:

τ = I α

أنا = τ : α = τ : أ / R = τ (R / أ) = τ R أ ^-1

الزخم الزاوي

8. يتحرك جسيم كتلته 0.2 غرام في مسار دائري بسرعة ثابتة قدرها 10 م/ث. نصف قطر الدائرة 3 سم. ما هو الزخم الزاوي للجسيم؟

معروف :

كتلة الجسيم (م) = 0.2 غرام = 2 × ^10⁻⁴ كيلوغرام

السرعة الزاوية (ω) = 10 راديان/ ^ثانية

نصف القطر (نق) = 3 سم = 3 × ^10⁻² متر

المطلوب: الزخم الزاوي للجسيم

الحل:

معادلة الزخم الزاوي:

L = I ω

I = الزخم الزاوي، I = عزم القصور الذاتي، ω = السرعة الزاوية

عزم القصور الذاتي (للجسيمات):

I = mr² ⁼ (2 × ^10⁻⁴ )(3 × ^10⁻² ) ^² = (2 × ^10⁻⁴ )(9 × ^10⁻⁴ ) = 18 × ^10⁻⁸

الزخم الزاوي:

L = I ω = (18 × ^10⁻⁸ )(10 راديان/ثانية ^{) =} 18 × ^10⁻⁷ كجم ^م² ث⁻¹

1. ما هي الحركة الدورانية؟
   • إجابةتشير الحركة الدورانية إلى حركة جسم حول محور ثابت. وهي نوع من الحركة تتحرك فيه كل نقطة من الجسم في دائرة حول المحور.
2. كيف ترتبط السرعة الخطية بالسرعة الزاوية في الحركة الدورانية؟
   • إجابةالسرعة الخطية ($v$إن مسافة نقطة في جسم دوار تتناسب طرديًا مع بعدها ($r$) من محور الدوران والسرعة الزاوية ($\omega$) للكائن. تُعطى العلاقة بواسطة $v=r\cdot \omega$.
3. ما هو عزم القصور الذاتي، وكيف يرتبط بالحركة الدورانية؟
   • إجابةعزم القصور الذاتي هو المكافئ الدوراني للكتلة في الحركة الخطية. وهو يقيس مقاومة الجسم للتغيرات في حالته الدورانية. ويعتمد عزم القصور الذاتي على كل من كتلة الجسم وتوزيعها بالنسبة لمحور الدوران.
4. كيف ينطبق قانون نيوتن الأول للحركة على الحركة الدورانية؟
   • إجابةفكما أن الجسم المتحرك حركة خطية يبقى متحركاً ما لم تؤثر عليه قوة خارجية، فإن الجسم المتحرك حركة دورانية سيبقى في تلك الحالة ما لم يؤثر عليه عزم دوران خارجي.
5. ما أهمية نصف قطر الدوران؟
   • إجابةنصف قطر الدوران هو مقياس لتوزيع كتلة الجسم بعيدًا عن محور دورانه. وهو يصف بشكل أساسي المسافة التي يجب أن تتركز عندها كتلة الجسم بالكامل بعيدًا عن المحور للحصول على نفس عزم القصور الذاتي للتوزيع الأصلي.
6. ما هو الزخم الزاوي وكيف يتم الحفاظ عليه؟
   • إجابةالزخم الزاوي هو المكافئ الدوراني للزخم الخطي. وهو حاصل ضرب عزم القصور الذاتي للجسم في سرعته الزاوية. في نظام مغلق، يبقى الزخم الزاوي الكلي ثابتًا ما لم يؤثر عليه عزم خارجي، مما يؤكد مبدأ حفظ الزخم الزاوي.
7. كيف يؤثر عزم الدوران على الحركة الدورانية؟
   • إجابةالعزم هو المكافئ الدوراني للقوة. وهو يُحدث تغييرات في الحركة الدورانية للجسم. وتُعطى هذه العلاقة بقانون نيوتن الثاني للدوران. $\tau =I\cdot \alpha$، حيث $\tau$ هو عزم الدوران، $I$ هو عزم القصور الذاتي، و $\alpha$ هو التسارع الزاوي.
8. كيف يختلف مركز الكتلة عن مركز الدوران؟
   • إجابة: على الرغم من إمكانية تطابقهما، فإن مركز الكتلة هو النقطة التي يمكن افتراض أن كتلة الجسم بأكملها تتركز فيها لغرض الحسابات في الحركة الخطية، في حين أن مركز الدوران هو النقطة (أو المحور) الذي يدور حوله الجسم.
9. ما هو دور القوة المركزية في الحركة الدورانية؟
   • إجابةالقوة المركزية هي القوة المحصلة المؤثرة على جسم يتحرك في مسار دائري، وتتجه نحو مركز الدوران. وهي المسؤولة عن إبقاء الجسم في مساره المنحني ومنعه من الحركة في خط مستقيم بفعل القصور الذاتي.

10. كيف ترتبط الطاقة الحركية الدورانية بعزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية؟

    • إجابةالطاقة الحركية الدورانية هي الطاقة الناتجة عن دوران جسم حول محور. ويتم حسابها بالصيغة التالية: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω²، حيث $I$ هو عزم القصور الذاتي و $\omega$ هي السرعة الزاوية.