عزم القصور الذاتي للجسيمات - المشاكل والحلول

عزم القصور الذاتي للجسيمات - المشاكل والحلول

1. كرتان متصلتان بقضيب، كما هو موضح في الشكل أدناه. أهمل كتلة القضيب . كتلة الكرة P تساوي 600 غرام وكتلة الكرة Q تساوي 400 غرام. ما هو عزم القصور الذاتي للنظام حول النقطة AB؟

معروف :

محور الدوران هو AB.

m _p = 600 غرام = 0.6 كيلوغرام، m _q = 400 غرام = 0.4 كيلوغرام

r _p = 20 سم = 0.2 م، r _q = 50 سم = 0.5 م

المطلوب: عزم القصور الذاتي للنظام

الحل:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 كجم)(0.2 م) ² + (0.4 كجم)(0.5 م) ²

I = (0.6 كجم)(0.04 م² ⁾ + (0.4 كجم)(0.25 ^م² )

I = 0.024 كجم م ² + 0.1 كجم م ²

I = 0.124 كجم م ²

2. يدور قضيب AB كتلته 2 كجم حول النقطة A، وعزم قصوره الذاتي 8 كجم.م² ^. إذا دار حول النقطة O (AO = OB)، فما هو عزم قصوره الذاتي؟

معروف :

كتلة القضيب AB (m) = 2 كجم

إذا تم تدوير الجسم حول النقطة A بحيث يكون نصف قطر الدوران (r) = طول AB = r، فإن عزم القصور الذاتي (I) = 8 كجم ^م²

المطلوب: إذا تم تدوير القضيب حول النقطة O بحيث يكون نصف قطر الدوران (r) = طول AO = طول OB = 1/2 r، فما هو عزم القصور الذاتي للقضيب؟

الحل:

I = mr ²

8 كجم م ² = (2 كجم) نق ²

8 م² ⁼ (2) ^نق²

r² = 8 ^م² / ²

r ² = 4 م ²

r = 2 متر

إذا تم تدوير الجسم حول النقطة O بحيث يكون نصف نصف القطر r = 1 متر، فإن عزم القصور الذاتي يكون:

I = mr² ⁼ (2 كجم)(1 م) ^² = (2 كجم)(1 م² ⁾ = 2 كجم ^م²

3. كرتان متصلتان بقضيب كما هو موضح في الشكل أدناه. أهمل كتلة القضيب. ما هو عزم القصور الذاتي للنظام؟

معروف :

كتلة الكرة أ (م)_A) = 200 غرام = 0.2 كيلوغرام

كتلة الكرة B (m _B ) = 400 غرام = 0.4 كيلوغرام

المسافة بين الكرة A ومحور الدوران (r _A ) = 0

المسافة بين الكرة B ومحور الدوران (r _B ) = 25 سم = 0.25 م

المطلوب: عزم القصور الذاتي للنظام

الحل:

عزم القصور الذاتي للكرة أ:

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

عزم القصور الذاتي للكرة B:

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 كجم م ²

عزم القصور الذاتي للنظام:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 كجم/ ^م² = 25 × ^10⁻³ كجم/ ^م²

4. أربع جسيمات ذات كتل مختلفة، موضحة في الشكل أدناه. حدد عزم القصور الذاتي للنظام حول الخط الأفقي P.

الحلول

محور الدوران هو الخط الأفقي P.

معروف :

كتلة الجسيم أ (m _A ) = m

كتلة الجسيم B (m _B ) = 2m

كتلة الجسيم C (m _C ) = 3m

مرور الجسيمات D (m _D ) = 4m

المسافة بين الجسيم A ومحور الدوران (r _A ) = b

المسافة بين الجسيم B ومحور الدوران (r _B ) = b

المسافة بين الجسيم C ومحور الدوران (r _C ) = 2b

المسافة بين الجسيم D ومحور الدوران (r _D ) = 2b

المطلوب: عزم القصور الذاتي للنظام حول الخط الأفقي P

الحل:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

أنا = (م)(ب) ² + (2م)(ب) ² + (3م)(2ب) ² + (4م)(2ب) ²

أنا = ميجا بايت ² + 2 ميجا بايت ² + (3م)(4ب ² ) + (4م)(4ب ² )

أنا = ميغابايت ² + 2 ميغابايت ² + 12 ميغابايت ² + 16 ميغابايت ²

I = 31 ميجا باسكال ²

5. أربع جسيمات متصلة بقضيب. أهمل كتلة القضيب. حدد عزم القصور الذاتي حول محور الدوران المار بالجسيمين m1 _و m2 _، كما هو موضح في الشكل أدناه.

معروف

كتلة الجسيم 1 (م)₁) = 1/4 كجم

كتلة الجسيم 2 (m ₂ ) = 1/2 كجم

كتلة الجسيم 3 (m ₃ ) = 1/4 كجم

كتلة الجسيم 4 (m ₄ ) = 1/4 كجم

المسافة بين الجسيم 1 ومحور الدوران (r ₁ ) = 0

المسافة بين الجسيم 2 ومحور الدوران (r ₂ ) = 0

المسافة بين الجسيم 3 ومحور الدوران (r ₃ ) = 10 سم = 10/100 م = 1/10 م

المسافة بين الجسيم 4 ومحور الدوران (r ₄ ) = 10 سم = 10/100 م = 1/10 م

المطلوب: عزم القصور الذاتي

الحل:

_I = _m1r12 + m2r22 _{+ m3r32} ⁺ m4r42^​​_​​_​^​​_​​_​^​

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 كجم.م ²

1. ما هو عزم القصور الذاتي للجسيم؟
   • إجابة: بالنسبة لجسيم واحد كتلته $m$ على مسافة $r$ من محور الدوران، عزم القصور الذاتي $I$ اعطي من قبل I=m×r².
2. لماذا يُشار إلى عزم القصور الذاتي غالبًا باسم "النظير الدوراني" للكتلة؟
   • إجابةفكما أن الكتلة هي مقياس لمقاومة الجسم للتغيرات في حركته الانتقالية (بسبب قانون نيوتن الثاني)، فإن عزم القصور الذاتي هو مقياس لمقاومة الجسم للتغيرات في حركته الدورانية.
3. كيف يؤثر تغيير المسافة بين الجسيم ومحور دورانه على عزم قصوره الذاتي؟
   • إجابةعزم القصور الذاتي يتناسب طرديًا مع مربع المسافة من محور الدوران. إذا ضاعفت المسافة، سيزداد عزم القصور الذاتي بمقدار أربعة أضعاف.
4. لماذا مربع المسافة (r) يساوي²) المستخدمة في صيغة عزم القصور الذاتي بدلاً من المسافة فقط؟
   • إجابةيُستخدم مربع المسافة نظرًا لطريقة عمل الطاقة الحركية في الحركة الدورانية. ففي الحركة الدورانية، تُساهم كل جسيمات الجسم في الطاقة الحركية الدورانية بناءً على كتلتها ومربع بُعدها عن المحور.
5. كيف يتغير عزم القصور الذاتي لجسيم إذا تضاعفت كتلته ثلاث مرات مع الحفاظ على المسافة من المحور ثابتة؟
   • إجابةإذا تضاعفت الكتلة ثلاث مرات وظلت المسافة ثابتة، فإن عزم القصور الذاتي سيتضاعف ثلاث مرات أيضًا لأنه يتناسب طرديًا مع الكتلة.
6. هل يمكن أن يكون للجسيم عزم قصور ذاتي يساوي صفرًا؟ إذا كان الأمر كذلك، فما هو الشرط؟
   • إجابةنعم، سيكون للجسيم عزم قصور ذاتي يساوي صفرًا إذا كان موجودًا مباشرة على محور الدوران، مما يجعل المسافة $r$ من المحور يساوي الصفر.
7. لماذا تمتلك الأجسام المختلفة التي لها نفس الكتلة والحجم عزم قصور ذاتي مختلف عند الدوران حول محاور مختلفة؟
   • إجابةيُحدد توزيع الكتلة حول محور الدوران عزم القصور الذاتي. حتى لو كان لجسمين نفس الكتلة والحجم، فقد يختلف توزيع كتلتيهما بالنسبة لمحور الدوران، مما يؤدي إلى اختلاف عزم القصور الذاتي.
8. هل عزم القصور الذاتي كمية قياسية أم كمية متجهة؟
   • إجابةعزم القصور الذاتي كمية قياسية. ومع ذلك، بالنسبة للأجسام الصلبة ذات الأشكال المعقدة ومحاور الدوران المتعددة، يتم تمثيله بواسطة موتر.
9. إذا كان لدينا جسيمان، كل منهما كتلته $m$تقع على مسافات r_1​ و r₂​ ما هو عزم القصور الذاتي الكلي من محور الدوران؟
   • إجابةعزم القصور الذاتي هو عزم تراكمي للجسيمات المنفصلة. وبالتالي، فإن عزم القصور الذاتي الكلي هو عزم القصور الذاتي الكلي. I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. كيف يرتبط عزم القصور الذاتي بحفظ الزخم الزاوي؟

    • إجابةالزخم الزاوي $L$ هو ناتج عزم القصور الذاتي $I$ والسرعة الزاوية $\omega$، ممثلة بالمعادلة $L=I\times \omega$إذا لم تؤثر أي عزمات خارجية على النظام، فإن الزخم الزاوي سيظل ثابتًا. وهذا يعني أنه إذا تغير عزم القصور الذاتي (كما هو الحال عند قيام متزلج على الجليد بسحب ذراعيه)، فيجب أن تتكيف السرعة الزاوية للحفاظ على ثبات حاصل ضرب الزخم الزاوي.