ديناميكا الموائع – المشاكل والحلول

ديناميكا الموائع – المشاكل والحلول

نظرية توريتشيلي

1. وعاء مملوء بالماء وبه ثقب ، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ ^ث² ، فما سرعة الماء المتدفق عبر هذا الثقب؟

معروف :

الارتفاع (ع) = 85 سم - 40 سم = 45 سم = 0.45 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

المطلوب: سرعة الماء (v)

الحل:

تنص نظرية توريتشيلي على أن الماء يخرج من الفتحة بنفس سرعة سقوط جسم سقوطًا حرًا من نفس الارتفاع. الارتفاع (ح) = 85 سم - 40 سم = 45 سم = 0.45 متر

يتم حساب سرعة الماء باستخدام معادلة حركة السقوط الحر :

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

v _t = √9 = 3 م/ث

2. وعاء مملوء بالماء وبه ثقب، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ ^ث² ، فما سرعة الماء المتدفق عبر هذا الثقب؟

معروف :

الارتفاع (ع) = 1.5 م - 0.25 م = 1.25 م

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

المطلوب: سرعة الماء (v)

الحل:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

v _t = √25 = 5 م/ث

3. وعاء مملوء بالماء وبه ثقب، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ ^ث² ، فما سرعة الماء المتدفق عبر هذا الثقب؟

معروف :

الارتفاع (h) = 1 م - 0.20 م = 0.8 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

المطلوب: سرعة الماء (v)

الحل:

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

v _t = √16 = 4 م/ث

4. وعاء مملوء بالماء وبه ثقب، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ ^ث² ، فما سرعة الماء المتدفق عبر هذا الثقب؟

معروف :

الارتفاع (ع) = 20 سم = 0.2 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

المطلوب: سرعة الماء (v)

الحل:

5. وعاء مملوء بالماء وبه فتحتان ، كما هو موضح في الشكل أدناه. ما هي نسبة _x1 إلى _x2 ؟

الحل

الفترة الزمنية لسقوط الماء الحر من الفتحة رقم 1:

h = 1/2 عند ²

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t ² = 0.8 / 5 = 0.16

ر = 0.4 ثانية

الفترة الزمنية لسقوط الماء الحر من الفتحة رقم 2:

h = 1/2 عند ²

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 ثانية

المسافة الأفقية (س):

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 متر

x² ₌ v²t² = ( _{√10 )} (√0.1) = (10)(0.1) = 1 متر

نسبة x ₁ إلى x ₂ :

x _{1 :} x ₂ = 0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : 5

معادلة الاستمرارية

6. يتدفق الماء عبر أنبوب ذي قطر متغير، من النقطة أ إلى النقطة ب ثم إلى النقطة ج. نسبة قطر الأنبوب أ إلى قطر الأنبوب ج هي 8 : 3. إذا كانت سرعة الماء في الأنبوب أ هي v، فما هي سرعة الماء في الأنبوب ج؟

معروف :

مساحة A (A_A) = 8

مساحة النقطة ج (أ _ج ) = 3

سرعة الماء في الأنبوب A (v _A ) = v

المطلوب: سرعة الماء في الأنبوب C (v _C )

الحل:

معادلة الاستمرارية:

A _A v _A = A _C v _C

8 فولت = 3 فولت _كولوم

v _C = 8/3 v

7. إذا كانت سرعة الماء في أنبوب قطره 12 سم هي 10 سم/ثانية، فما هي سرعة الماء في أنبوب قطره 8 سم؟

معروف :

القطر 1 (d ₁ ) = 12 سم، نصف القطر 1 (r ₁ ) = 6 سم

القطر 2 (d ₂ ) = 8 سم، نصف القطر 2 (r ₂ ) = 4 سم

سرعة الماء 1 (v ₁ ) = 10 سم/ث

المطلوب: سرعة الماء 2 (v ₂ )

الحل:

المساحة 1 (أ ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π سم ²

المساحة 2 (أ ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π سم ²

معادلة الاستمرارية:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

(36π)(10) = (16π) √ ₂

(36)(10) = (16) √ ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v ₂ = 22.5 سم/ث

٨. يتدفق الماء عبر أنبوب ذي قطر متغير، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كانت مساحة المقطع العرضي الأول (A1 ₎ = ٨ سم² ^، ومساحة المقطع العرضي الثاني (A2 ₎ = ٢ سم² ^، وسرعة الماء في الأنبوب الثاني (v2 ₎ = ٢ م/ث، فما هي سرعة الماء في الأنبوب الأول (v1 ₎ ؟

معروف :

المنطقة 1 (أ)₁) = 8 سم²

المساحة 2 (A2 ₎ = 2 ^سم²

سرعة الماء في الأنبوب 2 (v2 ₎ = 2 م/ث

المطلوب: سرعة تدفق الماء في الأنبوب رقم 1 ( _v1 )

الحل:

معادلة الاستمرارية:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

8 ضد ₁ = (2)(2)

8 ضد ₁ = 4

v ₁ = 4 / 8 = 0.5 م/ث

9. إذا كان قطر الأنبوب الأكبر ضعف قطر الأنبوب الأصغر، فما هي سرعة السائل عند الأنبوب الأصغر؟

معروف :

قطر الأنبوب الأكبر (د)₁) = 2

نصف قطر الأنبوب الأكبر (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

مساحة الأنبوب الأكبر ( أ ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

قطر الأنبوب الأصغر (d2 ₎ = 1

نصف قطر الأنبوب الأصغر (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

مساحة الأنبوب الأصغر ( أ ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

سرعة السائل عند الأنبوب الأكبر ( _v1 ) = 4 م/ث

المطلوب: سرعة السائل عند الأنبوب الأصغر ₍ v2 )

الحل:

معادلة الاستمرارية:

A ₁ v ₁ = A ₂ v ₂

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v ₂ = 8 م/ث

مبدأ برنولي ومعادلاته

١٠. يُضخ الماء بواسطة ضاغط ضغطه ١٢٠ كيلو باسكال ، ويدخل الأنبوب السفلي (١) ويتدفق لأعلى بسرعة ١ م/ ث. تسارع الجاذبية الأرضية ١٠ م/ ث² وكثافة الماء ١٠٠٠ كجم/م³ ^. ما هو ضغط الماء على الأنبوب العلوي (٢ )؟

معروف :

نصف قطر الأنبوب السفلي (r₁) = 12 سم

نصف قطر الأنبوب السفلي (r ₂ ) = 6 سم

ضغط الماء في الأنبوب السفلي (p ₁ ) = 120 كيلو باسكال = 120,000 باسكال

سرعة الماء في الأنبوب السفلي (v ₁ ) = 1 م/ ^ث

ارتفاع الأنبوب السفلي (h1 ₎ = 0 متر

ارتفاع الأنبوب العلوي (h2 ₎ = 2 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

كثافة الماء = 1000 كجم ^/م³

المطلوب: ضغط الماء في الأنبوب رقم 2 (p ₂ )

الحل:

يتم حساب سرعة الماء في الأنبوب رقم 2 باستخدام معادلة الاستمرارية:

يتم حساب ضغط الماء في الأنبوب رقم 2 باستخدام معادلة برنولي:

١١. أنبوب كبير على ارتفاع ٥ أمتار فوق سطح الأرض، وأنبوب صغير على ارتفاع متر واحد فوق سطح الأرض. تبلغ سرعة الماء في الأنبوب الكبير ٣٦ كم/ساعة بضغط ٩٫١ × ١٠⁵ ^باسكال ، بينما يبلغ الضغط في الأنبوب الصغير ٢٫١ × ^١٠⁵ باسكال. ما هي سرعة الماء في الأنبوب الصغير؟ كثافة الماء = ١٠³ ^كجم / ^م³

معروف :

ضغط الماء في الأنبوب الكبير (p₁) = 9.1 × 10⁵ باسكال = 910,000 باسكال

ضغط الماء في الأنبوب الصغير (p ₂ ) = 2 × 10 ⁵ باسكال = 200,000 باسكال

سرعة الماء في الأنبوب الكبير (v1 ₎ = 36 كم/ساعة = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 م/ث

ارتفاع الأنبوب الكبير (h1 ₎ = -4 أمتار

ارتفاع الأنبوب الصغير (h2 ₎ = 0 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

كثافة الماء = 1000 كجم/ ^م³

المطلوب: سرعة الماء في الأنبوب الصغير (الإصدار ₂ )

الحل:

يتم حساب سرعة الماء في الأنبوب الصغير (v ₂ ) باستخدام معادلة برنولي:

١٢. أنبوب نصف قطره ١٥ سم متصل بأنبوب آخر نصف قطره ٥ سم. كلاهما في وضع أفقي. سرعة تدفق الماء في الأنبوب الكبير ١ م/ث عند ضغط ١٠⁵ ^نيوتن / م² . ما هو ضغط الماء على الأنبوب الصغير (١ جم / ^سم³ ) ^؟

معروف :

نصف قطر الأنبوب الكبير (r1 ₎ = 15 سم = 0.15 م

نصف قطر الأنبوب الصغير (r ₂ ) = 5 سم = 0.05 م

ضغط الماء في الأنبوب الكبير (p ₁ ) = 10 ⁵ نيوتن/م² ⁼ 100.000 نيوتن/ ^م²

سرعة الماء في الأنبوب الكبير (v ₁ ) = 1 م/ ^ث

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

كثافة الماء = 1 غرام/ ^سم³ = 1000 كجم/ ^م³

فرق الارتفاع (Δh) = 0.

المطلوب: قياس الضغط في الأنبوب الصغير (p ₂ )

الحل:

يتم حساب سرعة الماء في الأنبوب رقم 2 باستخدام معادلة الاستمرارية:

يتم حساب ضغط الماء في الأنبوب الصغير (p ₂ ) باستخدام معادلة برنولي:

1. ما هي ديناميكا الموائع؟
   • الجواب: ديناميكا الموائع هي فرع من فروع الفيزياء يدرس حركة الموائع (السوائل والغازات) والقوى المؤثرة عليها. وهي تشمل المبادئ والمعادلات التي تصف كيفية تدفق الموائع، وتفاعلها مع الحدود الصلبة، وتأثيرها المتبادل.
2. ما الفرق بين التدفق الصفائحي والتدفق المضطرب؟
   • الجواب: يتميز التدفق الصفائحي بطبقات متوازية ناعمة من السائل تتحرك في مسارات منتظمة. أما التدفق المضطرب، فهو فوضوي، يتسم بالدوامات والتقلبات السريعة. ويحدث الاضطراب عادةً عند السرعات العالية أو في قنوات غير منتظمة الشكل.
3. ما أهمية مفهوم اللزوجة في ديناميكا الموائع؟
   • الجواب: تقيس اللزوجة مقاومة السائل للقص أو التدفق. تقاوم السوائل عالية اللزوجة (كالعسل) التدفق أكثر من السوائل منخفضة اللزوجة (كالماء). في ديناميكا الموائع، تلعب اللزوجة دورًا حاسمًا في تحديد طبيعة تدفق السائل، وتبديد الطاقة، وقوى السحب.
4. ما هو مبدأ برنولي؟
   • الجواب: ينص مبدأ برنولي على أنه في التدفق المستقر، يظل مجموع طاقة الضغط والطاقة الحركية والطاقة الكامنة لكل وحدة حجم ثابتًا. وبالتحديد، عندما تكون سرعة المائع عالية، يكون الضغط منخفضًا، والعكس صحيح.
5. كيف يرتبط مبدأ الرفع في الديناميكا الهوائية بديناميكا الموائع؟
   • الجواب: يمكن تفسير قوة الرفع على جناح الطائرة باستخدام مبدأ برنولي وقانون نيوتن الثالث. فعندما يتدفق الهواء فوق الجناح، يتحرك بسرعة أكبر فوق السطح العلوي المنحني مقارنةً بالسطح السفلي، مما يُحدث فرقًا في الضغط. هذا الفرق في الضغط، بالإضافة إلى انحراف الهواء نحو الأسفل بفعل الجناح، ينتج عنه قوة رفع نحو الأعلى.
6. ما هي معادلة الاستمرارية في ديناميكا الموائع؟
   • الجواب: تنص معادلة الاستمرارية على أن حاصل ضرب مساحة المقطع العرضي (A) للتدفق وسرعته (v) يظل ثابتًا على طول خط الانسياب في التدفق المستقر. رياضيًا، A₁​v_1​=A₂​v₂​، حيث A_1​ و A₂​ هي مساحات مقطعية و v₁​ و v_2​ تمثل هذه السرعات عند نقطتين على طول خط الانسياب.
7. ما هو دور رقم رينولدز في ديناميكا الموائع؟
   • الجواب: يُعدّ عدد رينولدز كميةً لا بُعدية تُساعد في التنبؤ بنظام التدفق (الطبقي، أو الانتقالي، أو المضطرب) في ديناميكا الموائع. ويُعرَّف بأنه نسبة قوى القصور الذاتي إلى قوى اللزوجة، ويعتمد على عوامل مثل سرعة المائع، والطول المميز، وخصائص المائع.
8. كيف تؤثر قوة السحب على الأجسام المتحركة في سائل؟
   • الجواب: تُقاوم قوة السحب حركة الجسم عبر المائع. وتنشأ هذه القوة نتيجةً للمقاومة اللزجة للمائع وفروق الضغط حول الجسم. ويعتمد مقدار قوة السحب وطبيعتها على عوامل مثل شكل الجسم، وخشونة سطحه، وسرعته، وخصائص المائع.
9. ما هو تأثير فنتوري؟
   • الجواب: يشير تأثير فنتوري إلى انخفاض ضغط السائل الذي يحدث عند تدفقه عبر جزء ضيق من أنبوب. فمع ازدياد سرعة السائل في الجزء الضيق (بسبب قانون حفظ الكتلة)، ينخفض ​​ضغطه وفقًا لمبدأ برنولي.
10. لماذا تزداد سرعة السائل عند تدفقه عبر جزء ضيق من أنبوب أو قناة؟

• الجواب: يمكن تفسير هذا السلوك بمبدأ حفظ الكتلة. في التدفق المنتظم، يجب أن يتساوى حجم السائل الداخل إلى جزء من الأنبوب مع حجم السائل الخارج منه. إذا كان الأنبوب ضيقًا، يجب أن تزداد سرعة السائل للسماح بمرور نفس الحجم خلال فترة زمنية محددة.