مقال حول مبدأ برنولي ومعادلة برنولي
عندما نركب دراجة نارية، تنتفخ ملابسنا للخلف. أحيانًا، إذا هبت الرياح بقوة، قد يُغلق الباب من تلقاء نفسه. مع أن الرياح تهب خارج المنزل، بينما الباب داخله.
يمكن تفسير ذلك باستخدام مبدأ برنولي. اكتشف دانيال برنولي (1700-1782) مبدأً يمكن استخدامه لتفسير الظاهرة المذكورة أعلاه.
مبدأ برنولي
ينص مبدأ برنولي على أنه كلما زادت سرعة تدفق السائل، انخفض ضغطه. والعكس صحيح. فعندما تتحرك دراجة نارية بسرعة، تزداد سرعة الهواء على مقدمة وجانبي الجسم، مما يؤدي إلى انخفاض ضغط الهواء. أما الجزء الخلفي من الجسم، فيُحجب بتدفق الهواء من الأمام، فلا تزداد سرعة الهواء عليه، وبالتالي يرتفع ضغط الهواء في هذه المنطقة. وبسبب هذا التفاوت في الضغط، حيث يكون الضغط أعلى في الجزء الخلفي من الجسم، يدفع الهواء القميص للخلف، مما يجعل الملابس تبدو منتفخة للخلف.
ماذا عن باب المنزل الذي يُغلق تلقائيًا عندما تهبّ الرياح خارجه؟ يتحرك الهواء خارج المنزل أسرع من الهواء داخله، وبالتالي يكون ضغط الهواء خارجه أقل منه داخله. وبسبب هذا الفرق في الضغط، حيث يكون ضغط الهواء داخل المنزل أعلى، يندفع الباب للخارج. بعبارة أخرى، يتحرك الباب من منطقة ذات ضغط هواء مرتفع إلى منطقة ذات ضغط هواء منخفض.
معادلة برنولي
سبق أن تعرفنا على مبدأ برنولي، الذي طوره برنولي كمياً. ولاشتقاق معادلة برنولي، نفترض أن تدفق المائع ثابت وطبقي وغير مضغوط، وأن اللزوجة ضئيلة لدرجة يمكن إهمالها.
في مناقشة معادلة الاستمرارية، تعلمنا أن معدل تدفق المائع يتغير تبعًا لمساحة التدفق في أنبوب التدفق. وبناءً على مبدأ برنولي المذكور سابقًا، يتغير ضغط المائع أيضًا تبعًا لمعدل تدفقه، وكذلك تبعًا لارتفاعه. ويمكن استنتاج العلاقة بين الضغط ومعدل التدفق وارتفاع التدفق من معادلة برنولي.
تُعدّ معادلة برنولي بالغة الأهمية لأنها تُستخدم في تحليل رحلات الطائرات، ومحطات الطاقة الكهرومائية، وأنظمة الأنابيب، وغيرها. ولاشتقاق معادلة برنولي بشكل عام، نفترض أن المائع يتدفق عبر أنبوب تدفق ذي مساحة مقطع عرضي وارتفاع غير ثابتين. ولاشتقاق معادلة برنولي، نُطبّق نظرية الشغل والطاقة على المائع داخل أنبوب التدفق.
يُظهر اللون المعتم في أنبوب التدفق في الشكل أدناه تدفق السائل، بينما يُظهر اللون الأبيض عدم وجود سائل.
يتدفق السائل في منطقة المقطع العرضي 1 (الجانب الأيسر) لمسافة تصل إلى L1 ويجبر السائل في القسم 2 (الجانب الأيمن) على التحرك لمسافة تصل إلى L2نظرًا لأن مساحة المقطع العرضي 2 على اليمين أصغر، فإن سرعة تدفق السائل على الجانب الأيمن من أنبوب التدفق تكون أكبر (تذكر معادلة الاستمرارية). وهذا يُسبب فرقًا في الضغط بين المقطع 2 (الجانب الأيمن من أنبوب التدفق) والمقطع 1 (الجانب الأيسر من أنبوب التدفق) - تذكر مبدأ برنولي. يُعطي السائل الموجود على يسار المقطع 1 ضغطًا (P).1) على السائل إلى اليمين ويعمل:
ثم حرف W1 يمكن كتابة المعادلة على النحو التالي:
W1 = ص1 A1 L1
في القسم 2 (الجانب الأيمن من أنبوب التدفق)، يكون الشغل المبذول على السائل كما يلي:
W2 = − p2 A2 L2
تشير الإشارة السالبة إلى أن القوة المؤثرة معاكسة لاتجاه الحركة. لذا، يبذل السائل شغلاً على يمين المقطع العرضي 2. علاوة على ذلك، تبذل قوة الجاذبية شغلاً على السائل. في الحالة المذكورة أعلاه، تنتقل بعض كتل السائل من المقطع 1 إلى مسافة L.1 إلى القسم 2 حتى L2أين حجم السائل في المقطع 1 (أ)1 L1) = حجم السائل في المقطع 2 (أ2 L2الشغل المبذول بواسطة الجاذبية هو:
W3 = − mg (h2 - ح1)
W3 = − mgh2 + mgh1)
W3 = mgh1 - mgh2
تنتج الإشارة السالبة عن تدفق السائل إلى أعلى، عكس اتجاه الجاذبية. وبالتالي، فإن صافي الشغل المبذول على السائل هو:
W = W1 + ث2 + ث3
و = ص1 A1 L1 - ب2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
تنص نظرية الشغل والطاقة على أن الشغل الكلي المبذول على نظام ما يساوي التغير في الطاقة الحركية. وبالتالي، يمكننا استبدال الشغل (W) بالتغيرات في الطاقة الحركية (EK).2 – إي كي1).
يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه:
و = ص1 A1 L1 - ب2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 - إي كي1 = ف1 A1 L1 - ب2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
نصف ملي فولت22 – ½ ملي فولت12 = ف1 A1 L1 - ب2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
كتلة السائل التي تتدفق لمسافة تصل إلى L1 في المقطع العرضي أ1 = كتلة السائل التي تتدفق لمسافة تصل إلى L2 (المقطع العرضي أ)2كتلة السائل، ولتكن m، لها حجم A1 L1 و A2 L2 اين ا1 L1 = أ2 L2 (L2 أطول من L1).
والآن نستبدل m في المعادلة أعلاه بـ m = ρ AL:
هذه هي معادلة برنولي. تُشتق معادلة برنولي بناءً على مبدأ الشغل والطاقة، لذا فهي شكل من أشكال قانون حفظ الطاقة.
P = الضغط، ρ = الكثافة، v = سرعة السائل، g = تسارع الجاذبية، h = ارتفاع الأنبوب فوق الأرض.
يمكن أن يشير الجزءان الأيسر والأيمن من معادلة برنولي أعلاه إلى نقطتين في أي مكان على طول أنبوب التدفق، بحيث يمكننا إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:
والآن دعونا نراجع معادلة برنولي لبعض الحالات.
معادلة برنولي في الموائع الساكنة
تُعدّ حالة خاصة من معادلة برنولي هي حالة المائع الساكن، حيث لا يمتلك المائع سرعة. وبالتالي، v1 = الخامس2 = 0. في حالة المائع الساكن، يمكننا صياغة معادلة برنولي على النحو التالي:
إذا كان h2 - ح1 = h، ويمكن كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:
p1 - ص2 = ρ g (h2 - ح1)
p1 - ص2 = ρ gh
معادلة برنولي على أنبوب بنفس الارتفاع
إذا كان ارتفاع الأنبوب متساوياً، فإن معادلة برنولي تتغير إلى:
