ديناميكيات الحركات الدورانية - المشكلات والحلول

ديناميكيات الحركات الدورانية - المشكلات والحلول

1. بكرة ذات عزم قصور ذاتي I = 2/5 MR² ^{وكتلتها} 2 كجم. إذا كان عزم القوة المؤثرة على البكرة 4 نيوتن متر، فما هو تسارعها الخطي؟ علمًا بأن تسارع الجاذبية الأرضية g = 10 م/ ^ث².

معروف :

عزم القصور الذاتي للبكرة (I) = 2/5 MR ²

كتلة البكرة (M) = 2 كجم

عزم القوة (τ) = 4 نيوتن متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 20 سم = 0.2 م

المطلوب: التسارع الخطي (أ)

الحل:

عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

I = 2/5 MR² ⁼ 2/5 (2)(0.2) ^² = 2/5 (2)(0.04) = 2/5 (0.08) = 0.16 / 5 = 0.032 كجم/ ^م²

التسارع الزاوي (α):

τ = I α

α = τ/I = 4 / 0.032 = 125 rad.s ^-2

التسارع الخطي (أ):

a = R α = (0.2)(125) = 25 م/ ^ث²

التسارع الخطي لحافة البكرة هو 25 م/ ^ث².

2. تسارع البكرة هو 2 م/ ^ث² ، وتسارع الجاذبية الأرضية هو g = 10 م/ ^ث² . ما هو عزم القصور الذاتي للبكرة؟

معروف :

التسارع الخطي لحافة البكرة (أ) = 2 م/ث^-2

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 10 سم = 0.1 م

وزن الجسم (w) = mg = (4)(10) = 40 نيوتن

المطلوب: عزم القصور الذاتي للبكرة

الحل:

عزم القوة (τ):

τ = FR = w R = (40)(0.1) = 4 نيوتن متر

التسارع الزاوي للبكرة (α):

أ = ر α

α = أ/ر = 2 / 0.1 = 20 راد.س ^-2

عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

τ = I α

I = τ/α = 4/20 = 0.2 كجم م ²

3. تسارعت البكرة بمعدل 1 م/ ^ث² . إذا كان نصف قطر البكرة 10 سم، فما هو عزم القصور الذاتي للبكرة؟

معروف :

التسارع الخطي لحافة البكرة (أ) = 1 م/ث^-2

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

نصف قطر البكرة (R) = 10 سم = 0.1 م

القوة (F) = 4 نيوتن

المطلوب: عزم القصور الذاتي للبكرة

الحل:

عزم القوة (τ):

τ = FR = (4)(0.1) = 0.4 نيوتن متر

التسارع الزاوي للبكرة (α):

أ = ر α

α = أ/ر = 1 / 0.1 = 10 راد.س ^-2

عزم القصور الذاتي للبكرة (I):

τ = I α

أنا = τ/α = 0.4 / 10 = 0.04 كجم م ²

1. ما هو المكافئ الدوراني للكتلة في الحركة الخطية؟
   • الجواب: المكافئ الدوراني للكتلة في الحركة الخطية هو عزم القصور الذاتي، والذي يُشار إليه غالبًا بـ $I$.
2. كيف يرتبط عزم الدوران بالحركة الدورانية، وكيف يقارن بالقوة في الحركة الخطية؟
   • الجواب: العزم هو المكافئ الدوراني للقوة. فبينما تُسبب القوة تسارعًا خطيًا في الأجسام، يُسبب العزم تسارعًا زاويًا في الأجسام الدوارة. ويُحسب العزم بضرب القوة المؤثرة في المسافة العمودية من محور الدوران إلى نقطة تأثير القوة.
3. ما هي العلاقة بين التسارع الزاوي وعزم الدوران وعزم القصور الذاتي؟
   • الجواب: تُعطى هذه العلاقة من خلال قانون نيوتن الثاني للدوران: $\tau =I\alpha$، حيث $\tau$ هو عزم الدوران، $I$ هو عزم القصور الذاتي، و $\alpha$ هو التسارع الزاوي.
4. إذا زاد عزم القصور الذاتي لجسم دوار بينما يظل عزم الدوران الخارجي ثابتًا، فماذا يحدث للتسارع الزاوي؟
   • الجواب: إذا زاد عزم القصور الذاتي وظل عزم الدوران الخارجي ثابتًا، فإن التسارع الزاوي سينخفض.
5. كيف تتشابه مفاهيم الزخم الخطي والزخم الزاوي في الحركة الخطية والدورانية؟
   • الجواب: الزخم الخطي (معطى بواسطة $p=mv$، حيث $m$ هو الكتلة و $v$ (السرعة) هو حاصل ضرب الكتلة والسرعة الخطية، بينما الزخم الزاوي (المعطى بواسطة $L=I\omega$، حيث $I$ هو عزم القصور الذاتي و $\omega$ (السرعة الزاوية) هو ناتج عزم القصور الذاتي والسرعة الزاوية.
6. ما المقصود بحفظ الزخم الزاوي؟
   • الجواب: ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أنه في حالة عدم وجود عزم دوران خارجي، يظل الزخم الزاوي الكلي لنظام مغلق ثابتًا.
7. لماذا يدور متزلجو التزلج الفني بشكل أسرع عندما يضمون أذرعهم أثناء الدوران؟
   • الجواب: عندما يضم متزلجو التزلج الفني أذرعهم، فإنهم يقللون من عزم قصورهم الذاتي. وبسبب قانون حفظ الزخم الزاوي، فعندما يقل عزم القصور الذاتي، يجب أن تزداد السرعة الزاوية (أو معدل الدوران) للحفاظ على ثبات الزخم الزاوي.
8. كيف تتم مقارنة الطاقة الحركية الدورانية لجسم ما بطاقته الحركية الخطية؟
   • الجواب: الطاقة الحركية الدورانية (المعطاة بالمعادلة 1/2) ​Iω²) مماثل للطاقة الحركية الخطية (المعطاة بالمعادلة 1/2 ​mv²يرتبط الأول بدوران الجسم، ويرتبط الثاني بحركته الخطية.
9. هل يمكن لجسم ما أن يمتلك طاقة حركية دورانية وطاقة حركية خطية في آن واحد؟
   • الجواب: نعم، يمكن أن يمتلك الجسم طاقة حركية دورانية وطاقة حركية خطية. على سبيل المثال، تمتلك العجلة الدوارة طاقة حركية دورانية نتيجة دورانها، وطاقة حركية خطية نتيجة حركتها الأمامية.
10. إذا تضاعف نصف قطر عجلة دوارة مع الحفاظ على سرعتها الزاوية ثابتة، فكيف يتغير عزم قصورها الذاتي؟

• الجواب: يُعطى عزم القصور الذاتي لقرص صلب بالعلاقة 1/2 ​mr²، حيث $m$ هي الكتلة و $r$ يمثل نصف القطر. إذا تضاعف نصف القطر وبقيت الكتلة ثابتة، فإن عزم القصور الذاتي سيزداد بمقدار أربعة أضعاف.