النوابض المتصلة على التوالي والتوازي - مسائل وحلول

النوابض المتصلة على التوالي والتوازي - المشاكل والحلول

1. جسم كتلته 160 غرامًا مُعلق بأحد طرفي نابض، والتغير في طول النابض هو 4 سم. ما هو التغير في طول ثلاثة النوابض المتصلة على التوالي والتوازيكما هو موضح في الشكل أدناه؟

معروف :

التغير في طول الزنبرك (Δx) = 4 سم = 0.04 م النوابض المتصلة على التوالي والتوازي - المشاكل والحلول 1

كتلة (م) = 160 غرام = 0.16 كيلوغرام

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث²

الوزن (w) = mg = (0.16)(10) = 1.6 نيوتن

مطلوب: التغير في طول ثلاثة نوابض (Δx)

الحل:

معادلة قانون هوك :

k = w / Δx = 1.6 / 0.04 = 40 نيوتن/متر

للزنبركات الثلاثة نفس الثابت، k = 40 نيوتن/متر.

حدد الثابت المكافئ:

الربيع 2 (ك₂) والنابض 3 (ك₃يتم توصيلها على التوازي. الثابت المكافئ:

k₂₃ = ك₂ + ك₃ = 40 + 40 = 80 نيوتن/متر

الربيع 1 (ك₁) والنابض 23 (ك₂₃يتم توصيلها على التوالي. الثابت المكافئ:

1/k = 1/k₁ + 1/k₂₃ = 1/40 + 1/80 = 2/80 + 1/80 = 3/80

k = 80/3

حدد التغير في طول ثلاثة نوابض:

Δx = w / k = 1.6 : 80/3 = (1.6)(3/80) = 4.8 / 80 = 0.06 م = 6 سم

2. ثلاثة نوابض لها نفس الثابت موصولة على التوالي والتوازيوجسم كتلته 2 كجم مُعلق بأحد طرفي نابض، كما هو موضح في الشكل أدناه. ثابت النابض هو k₁= ك₂ = ك₃= 300 نيوتن/متر. ما هو التغير في طول النوابض الثلاثة؟ علمًا بأن تسارع الجاذبية الأرضية g = 10 م/ث²^-2.

معروف :

ثابت الزنبرك k₁= ك₂ = ك₃= 300 نيوتن متر^-1

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث^-2

كتلة الجسم (م) = 2 كجم

وزن الجسم (w) = mg = (2)(10) = 20 نيوتن

انظر أيضا تطبيق قانون حفظ الطاقة الميكانيكية على حركة المقذوفات - المشاكل والحلول

مطلوب: التغير في طول النوابض الثلاثة (Δx)

الحل:

حدد الثابت المكافئ:

الربيع 1 (ك₁) والنابض 2 (ك₂يتم توصيلها على التوازي. الثابت المكافئ:

k₁₂ = ك₁ + ك₂ = 300 + 300 = 600 نيوتن/متر

الربيع 3 (ك₃) والنابض 12 (ك₁₂يتم توصيلها على التوالي. الثابت المكافئ:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/300 + 1/600 = 2/600 + 1/600 = 3/600

k = 600/3 = 200 نيوتن/متر

حدد التغير في طول النوابض الثلاثة:

Δx = w / k = 20/200 = 2/20 = 1/10 = 0.1 م

3. ثلاثة نوابض موصولة على التوالي والتوازي، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان ثابت النابض k = 50 نيوتن/متر^-1 وكتلة مقدارها 400 غرام معلقة في أحد طرفي نابض. ما هو التغير في طول النوابض الثلاثة؟

معروف :

ثابت الزنبرك 1 (ك₁) = k = 50 نيوتن متر^-1

ثابت الزنبرك 2 (ك₂) = k = 50 نيوتن متر^-1

ثابت الزنبرك 3 (ك₃) = 2k = 2 (50 نيوتن متر^-1) = 100 نيوتن متر^-1

كتلة الجسم (م) = 400 غرام = 0.4 كيلوغرام

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث²²

وزن الجسم (w) = mg = (0.4)(10) = 4 نيوتن

مطلوب: التغير في الطول (Δx)

الحل:

حدد الثابت المكافئ:

الربيع 1 (ك₁) والنابض 2 (ك₂يتم توصيلها على التوازي. الثابت المكافئ:

k₁₂ = ك₁ + ك₂ = 50 + 50 = 100 نيوتن/متر

الربيع 3 (ك₃) والنابض 12 (ك₁₂يتم توصيلها على التوالي. الثابت المكافئ:

1/k = 1/k₃ + 1/k₁₂ = 1/100 + 1/100 = 2/100

k = 100/2 = 50 نيوتن/متر

حدد التغير في طول النوابض الثلاثة:

Δx = w / k = 4 / 50 = 0.08 م = 8 سم

كيف يؤثر توصيل النوابض على التوالي على ثابت النابض الكلي؟
- الجواب: عند توصيل النوابض على التوالي، ينخفض ثابت النابض الكلي. مقلوب ثابت النابض المكافئ هو مجموع مقلوبات ثوابت النوابض الفردية: 1/k $= 1 / k ^{1} + 1 / k ^{2}$ .
كيف يتغير ثابت الزنبرك الكلي عند توصيل الزنبركات على التوازي؟
- الجواب: يؤدي توصيل النوابض على التوازي إلى ثابت نابض إجمالي يساوي مجموع ثوابت النوابض الفردية: k $= k_{1} + k_{2}$ .

إذا تم ترتيب نابضين متطابقين على التوالي، فكيف تتم مقارنة ثابت النابض المجمع بثابت النابض الفردي؟
- الجواب: سيكون ثابت الزنبرك المجمع نصف ثابت الزنبرك لأحد الزنبركات الفردية.

ماذا يحدث لتمدد أو انضغاط النوابض المتصلة على التوالي عند تطبيق قوة عليها؟
- الجواب: بالنسبة للزنبركات المتصلة على التوالي، تتسبب نفس القوة في تمدد أو انضغاط كل زنبرك، ولكن التمدد الكلي (أو الانضغاط) هو مجموع التمددات (أو الانضغاطات) للزنبركات الفردية.

إذا تعرضت نوابض متوازية لقوة، فكيف يتم توزيع تلك القوة؟
- الجواب: في حالة النوابض المتوازية، تتوزع القوة بين النوابض بناءً على ثوابت المرونة الخاصة بها. فالنوابض ذات ثوابت المرونة الأعلى تتحمل جزءًا أكبر من القوة مقارنةً بتلك ذات ثوابت المرونة الأقل.
لماذا يمكن اعتبار النوابض المتصلة على التوالي بمثابة نابض واحد ذي طول أطول؟
- الجواب: تُحدث النوابض المتصلة على التوالي تأثيراً مُجتمعاً يُعادل شد نابض واحد أطول. تتراكم استطالات أو انضغاطات النوابض الفردية، تماماً كما هو الحال في نابض واحد أطول.

كيف تتم مقارنة الطاقة الكامنة المخزنة في النوابض المتصلة على التوالي بتلك الموجودة في النوابض المتصلة على التوازي لنفس القوة المطبقة؟
- الجواب: تخزن النوابض المتصلة على التوالي طاقة كامنة أكبر من النوابض المتصلة على التوازي لنفس القوة المطبقة لأنها تخضع لتمدد أو انضغاط أكبر مجتمعين.
إذا انكسر أحد النوابض في التكوين المتوازي أو أصبح غير فعال، فماذا يحدث للسلوك العام للنظام؟
- الجواب: إذا انكسر أحد النوابض في نظام متوازي، فستظل النوابض المتبقية تعمل. مع ذلك، سينخفض ثابت النابض الكلي للنظام، ولن يتمكن النظام من بذل نفس قوة الاستعادة السابقة.

لماذا تكون النوابض الموصولة على التوالي أكثر عرضة للتشوهات الأكبر من تلك الموصولة على التوازي لنفس القوة المطبقة؟
- الجواب: في حالة النوابض الموصولة على التوالي، تؤثر نفس القوة على كل نابض، مما يؤدي إلى تمدده أو انضغاطه. ويكون التشوه الكلي هو مجموع التشوهات الفردية. أما في حالة النوابض الموصولة على التوازي، فتتوزع القوة بين النوابض، وبالتالي يتعرض كل نابض لقوة فعالة أقل، مما يؤدي إلى تشوهات فردية أصغر.
في التطبيقات العملية، لماذا قد يختار المهندسون استخدام النوابض بالتوازي بدلاً من التوالي؟

الجواب: قد يختار المهندسون توصيل النوابض على التوازي لتحقيق ثابت نابض إجمالي أعلى، مما ينتج عنه أداء أكثر صلابة. كما يوفر هذا الترتيب خاصية التكرار؛ فإذا تعطل أحد النوابض، يستمر النظام في العمل، وإن كان بثابت نابض إجمالي أقل.