ديناميكيات الجسيمات - المشاكل والحلول
1. جسمان، أحدهما (أ) كتلته 6 كجم والآخر (ب) كتلته 4 كجم، متصلان بحبل ويسحبان بقوة مقدارها 60 نيوتن، كما هو موضح في الشكل أدناه. معامل الاحتكاك الحركي بين الأرضية والجسمين هو 0.5 (tan θ = ¾). تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث² . ما مقدار قوة الشد؟
معروف :
كتلة الجسم أ (م)A) = 6 كجم
كتلة الجسم ب (m B ) = 4 كجم
القوة (F) = 60 نيوتن
معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والأرضية (μk ) = 0.5
التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث²2
ظل الزاوية θ = 3/4
المطلوب: قوة الشد (T)
الحل:
المركبة الأفقية للقوة F:
F x = F cos θ
F x = (60)(4/5) = (4)(12) = 48 نيوتن
المركبة الرأسية للقوة F:
F y = F sin θ
F y = (60)(3/5) = (3)(12) = 36 نيوتن
القوة العمودية المؤثرة على الجسم أ:
N A = w A = m A g = (6)(10) = 60 نيوتن
القوة العمودية المؤثرة على الجسم ب:
N B + F y – w B = 0
N B + F y = w B
N B = w B – F y = m B g – F y = (4)(10) – 36 = 40 – 36 = 4 N
قوة الاحتكاك الحركي بين الجسم أ والأرضية:
f kA = μ k N A = (0.5)(60) = 30 N
قوة الاحتكاك الحركي بين الجسم ب والأرضية:
f kB = μ k N B = (0.5)(4) = 2 N
احسب تسارع كلا الجسمين:
ΣF = ma
F x – T + T – f kB – f kA = (m A + m B ) أ
F x – f kB – f kA = (m A + m B ) أ
48 – 2 – 30 = (6 + 4) أ
16 = 10 أ
أ = 16/10
a = 1.6 م/ ث²
احسب قوة الشد:
الكائن أ:
ΣF = ma
T A – f kA = m A a
T A – 30 = (6)(1.6)
T A – 30 = 9.6
T A = 9.6 + 30 = 39.6 نيوتن
الكائن ب:
ΣF = ma
F x – f kB – T B = m B a
48 – 2 – T B = (4)(1.6)
46 – T B = 6.4
46 – 6.4 = T B
T B = 39.6 نيوتن
2. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين الكتلتين والأرضية يساوي 0.2، فما هو تسارع الجسمين؟ (جتا 37 ° = 0,8، جا 37 ° = 0,6)
معروف :
كتلة الجسم أ (م)A) = 4 كجم
كتلة الجسم ب (m B ) = 2 كجم
القوة (F) = 30 نيوتن
معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والأرضية (μk ) = 0.2
التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = 10 م/ث²2
جتا 37 درجة = 0.8
sin 37 ° = 0.6
المطلوب: تسارع كلا الجسمين
الحل:
المركبة الأفقية للقوة F:
F x = F cos θ
F x = (30)(0.8) = 24 نيوتن
المركبة الرأسية للقوة F:
F y = F sin θ
F y = (30)(0.6) = 18 نيوتن
القوة العمودية المؤثرة على الجسم أ:
N A = w A = m A g = (4)(10) = 40 نيوتن
القوة العمودية المؤثرة على الجسم ب:
N B + F y – w B = 0
N B + F y = w B
N B = w B – F y = m B g – F y = (2)(10) – 18 = 20 – 18 = 2 N
قوة الاحتكاك الحركي بين الجسم أ والأرضية:
f kA = μ k N A = (0.2)(40) = 8 N
قوة الاحتكاك الحركي بين الجسم ب والأرضية:
f kB = μ k N B = (0.2)(2) = 0.4 N
تسارع كلا الجسمين:
ΣF = ma
F x – f kB – f kA = (m A + m B ) أ
24 – 0.4 – 8 = (4 + 2) أ
15.6 = 6 أ
أ = 15.6 / 6
a = 2.6 م/ ث²
3. جسمان متصلان بحبل يمر فوق بكرة كما هو موضح في الشكل أدناه. كتلة الجسم أ = mA ، وكتلة الجسم ب = mB ، وتسارع الجسم ب هو a. تسارع الجاذبية الأرضية هو g. ما هي قوة الشد المؤثرة على الجسم ب؟
الحل:
السطح الأفقي أملس، لذا لا يوجد احتكاك. القوة الوحيدة التي تُسرّع النظام هي وزن الكتلة B.
تسارع النظام:
قوة الشد (T):
استبدل m A في المعادلة 1 بـ m A في المعادلة 2.
- ما الفرق بين علم السكون وعلم الحركة في سياق الجسيمات؟
- الجواب: يهتم علم السكون بدراسة القوى المؤثرة على الجسيمات في حالة اتزان، حيث تكون جميع القوى متوازنة ولا يوجد تسارع. أما علم الحركة، فيدرس القوى والحركة الناتجة للجسيمات عندما تكون القوى غير متوازنة، مما يؤدي إلى التسارع.
- كيف ينطبق قانون نيوتن الثاني على حركة الجسيم؟
- الجواب: ينص قانون نيوتن الثاني على أن القوة المؤثرة على جسيم تساوي كتلة الجسيم مضروبة في تسارعه: يصف هذا القانون كيف ستؤثر القوة على حركة الجسيم، اعتمادًا على كتلته والتسارع الناتج عن القوة.
- ما هو مبدأ حفظ الزخم الخطي، وكيف ينطبق على الجسيمات؟
- الجواب: ينص مبدأ حفظ الزخم الخطي على أن الزخم الخطي الكلي لنظام مغلق من الجسيمات يظل ثابتًا في حال عدم وجود قوى خارجية تؤثر على النظام. وهذا يعني أن الزخم الكلي قبل وبعد التفاعل بين الجسيمات داخل النظام سيكون متساويًا.
- كيف يرتبط مفهوم الشغل المبذول على جسيم بالقوة المطبقة وإزاحة الجسيم؟
- الجواب: الشغل المبذول على جسيم هو حاصل ضرب القوة المؤثرة على الجسيم، وإزاحة الجسيم، وجيب تمام الزاوية بين متجهي القوة والإزاحة: .
- ما الفرق بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة في سياق الجسيم؟
- الجواب: الطاقة الحركية هي طاقة الجسيم الناتجة عن حركته، وتُعطى بالمعادلة 1/2 ، حيث هي الكتلة و هي السرعة. طاقة الوضع هي الطاقة المخزنة في الجسيم نتيجة لموقعه في مجال قوة (مثل مجال الجاذبية أو المجال الكهربائي). يعتمد التعبير المحدد لطاقة الوضع على القوة المؤثرة على الجسيم.
- كيف ترتبط قوة الدفع المؤثرة على الجسيم بالتغير في زخمه؟
- الجواب: الدفع المؤثر على جسيم هو حاصل ضرب القوة المؤثرة عليه في المدة الزمنية التي تُطبق خلالها هذه القوة. وهو يساوي التغير في كمية حركة الجسيم. .
- ما المقصود بـ "الجسيم الحر"، وكيف يتصرف؟
- الجواب: الجسيم الحر هو الجسيم الذي لا يخضع لأي قوى. ووفقًا لقانون نيوتن الأول، فإن الجسيم الحر إما أن يبقى ساكنًا إذا كان ساكنًا في البداية، أو يتحرك بسرعة ثابتة إذا كان متحركًا في البداية.
- ما هو الدور الذي يلعبه الاحتكاك في ديناميكيات الجسيمات؟
- الجواب: الاحتكاك قوة تعاكس الحركة النسبية بين الأسطح المتلامسة. وفي سياق ديناميكيات الجسيمات، يمكن للاحتكاك أن يبطئ أو يوقف حركة الجسيم، وذلك تبعاً لاتجاه وقوة الاحتكاك.
- كيف يتأثر مسار الجسيم بقوة مركزية؟
- الجواب: القوة المركزية هي قوة تؤثر على طول الخط الواصل بين الجسيم ونقطة ثابتة تُسمى المركز. وتكثر هذه القوى في التفاعلات الجاذبية والكهربائية، وتؤدي إلى تحرك الجسيم في مسار يحافظ على زخم زاوي محدد حول المركز، مما ينتج عنه غالبًا مدارات بيضاوية أو دائرية.
- ما هي العلاقة بين محصلة القوة الخارجية المؤثرة على نظام من الجسيمات ومعدل تغير الزخم الخطي الكلي للنظام؟
- الجواب: وفقًا لقانون نيوتن الثاني المطبق على نظام من الجسيمات، فإن محصلة القوة الخارجية المؤثرة على النظام تساوي معدل تغير الزخم الخطي الكلي للنظام: ، حيث يمثل الزخم الخطي الكلي.
