عزم القصور الذاتي للجسيمات والأجسام الصلبة - المشاكل والحلول

عزم القصور الذاتي للجسيم

1. كرة كتلتها 100 غرام موصولة بأحد طرفي حبل طوله 30 سم. ما هو عزم القصور الذاتي للكرة حول محور الدوران AB؟ أهمل كتلة الحبل.

معروف :

محور الدوران عند النقطة AB

كتلة الكرة (م) = 100 غرام = 100/1000 = 0.1 كيلوغرام

المسافة بين الكرة ومحور الدوران (r) = 30 سم = 0.3 م

المطلوب: عزم القصور الذاتي للكرة (I)

الحل:

I = mr² ⁼ (0.1 كجم)(0.3 م) ^²

I = (0.1 كجم)(0.09 ^م² )

I = 0.009 كجم م ²

[irp]

2. كرة كتلتها 100 غرام، m1 _، وكرة أخرى كتلتها 200 غرام، m2 _، متصلتان بقضيب طوله 60 سم. تم إهمال كتلة القضيب. يقع محور الدوران في مركز القضيب. ما هو عزم القصور الذاتي للكرة حول محور الدوران؟

معروف :

كتلة الكرة 1 (m1 ₎ = 100 غرام = 100/1000 = 0.1 كيلوغرام

المسافة بين الكرة 1 ومحور الدوران (r1 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

كتلة الكرة (م² ₎ = 200 غرام = 200/1000 = 0.2 كجم

المسافة بين الكرة الثانية ومحور الدوران (r2 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي للكرات

الجواب:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 كجم)( 0.3 م) ² + (0.2 كجم)( 0.3 م) ²

I = (0.1 كجم)( 0.09 م² ⁾ + (0.2 كجم)( 0.09 ^م² )

I = 0.009 كجم م ² + 0.018 كجم م ²

I = 0.027 كجم م ²

[irp]

3. كرة كتلتها 200 غرام، m1 _، وكرة أخرى كتلتها 100 غرام، _m2 ، _{متصلتان} بقضيب طوله 60 سم. أهمل كتلة القضيب. يقع محور الدوران عند الكرة m2 . ما هو عزم القصور الذاتي للكرتين؟ أهمل كتلة القضيب.

معروف :

كتلة الكرة 1 (m1 ₎ = 200 غرام = 200/1000 = 0.2 كجم

المسافة بين الكرة 1 ومحور الدوران (r1 ₎ = 60 سم = 60/100 = 0.6 متر

كتلة الكرة الثانية (م ₂ ) = 100 غرام = 100/1000 = 0.1 كيلوغرام

المسافة بين الكرة 2 ومحور الدوران (r2 ₎ = 0 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي للكرات

الحل:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 كجم)( 0,6 م) ² + (0.2 كجم)(0 ) ²

I = (0.2 كجم)( 0.36 ^م² ) + 0

I = 0.072 كجم م ²

[irp]

4. كتلة كل كرة 100 غرام، موصولة بحبل طوله 60 سم وعرضه 30 سم. ما هو عزم القصور الذاتي للكرة حول محور الدوران؟ أهمل كتلة الحبل.

معروف :

كتلة الكرة = م ₁ = م ₂ = م ₃ = م ₄ = 100 غرام = 100/1000 = 0.1 كيلوغرام

المسافة بين الكرة ومحور الدوران (r1 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

المسافة بين الكرة 2 ومحور الدوران (r2 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

المسافة بين الكرة 3 ومحور الدوران (r3 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

المسافة بين الكرة 4 ومحور الدوران (r4 ₎ = 30 سم = 30/100 = 0.3 متر

المعلوم: عزم القصور الذاتي

الحل:

I = m₁ r₁² + م₂ r₂² + م₃ r₃² + م₄ r₄²

I = (0.1 كجم)( 0.3 م) ^² + (0.1 كجم)( 0.3 م) ^² + (0.1 كجم)(0.3 م) ^² + (0.1 كجم)(0.3 م) ^²

I = (0.1 كجم)( 0.09 م² ⁾ + (0.1 كجم)(0.09 م² ⁾ + (0.1 كجم)(0.09 م² ⁾ + (0.1 كجم)(0.09 ^م² )

I = 0.036 كجم م ²

[irp]

عزم القصور الذاتي لجسم صلب

5. ما هو عزم القصور الذاتي لقضيب منتظم طوله 2 متر وكتلته 2 كجم؟ يقع محور الدوران في مركز القضيب.

معروف :

كتلة القضيب (M) = 2 كجم

طول القضيب (L) = 2 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي

الحل:

صيغة عزم القصور الذاتي عندما يقع محور الدوران في مركز القضيب الطويل المنتظم:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 كجم)( 2 م) ²

I = (1/12) (2 كجم)(4 م ² )

I = (1/12)(8 كجم م ² )

I = 8/12 كجم م ²

I = 2/3 كجم م ²

[irp]

6. ما هو عزم القصور الذاتي لقضيب منتظم كتلته 2 كجم وطوله 2 متر؟ يقع محور الدوران عند أحد طرفي القضيب.

معروف :

كتلة القضيب (M) = 2 كجم

طول القضيب الصلب (L) = 2 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي

الحل:

صيغة عزم القصور الذاتي عندما يكون محور الدوران موجودًا عند أحد طرفي القضيب:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 كجم)( 2 م) ²

I = (1/3) (2 كجم)(4 م ² )

I = (1/3)(8 كجم م ² )

I = 8/3 كجم م ²

[irp]

7. أسطوانة صلبة كتلتها 10 كجم ونصف قطرها 0.1 متر. يقع محور الدوران في مركز الأسطوانة الصلبة، كما هو موضح في الشكل أدناه. ما هو عزم القصور الذاتي للأسطوانة؟

معروف :

كتلة الأسطوانة الصلبة (M) = 10 كجم

نصف قطر الأسطوانة (L) = 0.1 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي

المطلوب: عزم القصور الذاتي

الحل:

صيغة عزم القصور الذاتي عندما يقع محور الدوران في مركز الأسطوانة:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 كجم)(0.1 م) ²

I = (1/2) (10 كجم)(0.01 م ² )

I = (1/2)(0.1 كجم م ² )

I = 0.05 كجم م ²

8. كرة منتظمة كتلتها 20 كجم وطولها 0.1 متر. يظهر محور الدوران الموجود في مركز الكرة في الشكل أدناه.

معروف :

كتلة الكرة (M) = 20 كجم

نصف قطر الكرة (L) = 0.1 متر

المطلوب: لحظة من القصور الذاتي

الحل:

صيغة عزم القصور الذاتي عندما يقع محور الدوران في مركز الكرة:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 كجم)(0.1 م) ²

I = (2/5)(20 كجم)(0.01 م ² )

I = (2/5)(0.2 كجم م ² )

I = 0.4/5 كجم م ²

I = 0.08 كجم م ²

[irp]

9. صفيحة مستطيلة رقيقة كتلتها 2 كجم، طولها 0.5 متر وعرضها 0.2 متر. يقع محور الدوران في مركز الصفيحة المستطيلة الموضحة في الشكل أدناه. ما هو عزم القصور الذاتي لهذه الصفيحة؟

معروف :

كتلة الصفيحة المستطيلة (M) = 2 كجم

طول الصفيحة (أ) = 0.5 متر

عرض الصفيحة (ب) = 0.2 متر

المطلوب: عزم القصور الذاتي

الحل:

صيغة عزم القصور الذاتي عندما يقع محور الدوران في مركز الصفيحة:

I = (1/ 12 ) M (a ² + b ² )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 كجم م ²