الحركة الدائرية – مسائل وحلول

الحركة الدائرية - المشاكل والحلول

1. يتحرك جسم كتلته 10 كجم في دائرة بسرعة ثابتة قدرها 4 م/ث. إذا كان نصف قطر الدائرة 0.5 متر، فإن:

1) تردد الدوائر هو 4/π هرتز

2) التسارع المركزي هو 32 م/ ^ث²

3) قوة الجذب المركزي تساوي 320 نيوتن

4) الدورة هي 4π ثانية.

أي العبارات التالية صحيحة؟

معروف :

كتلة الجسم (م) = 10 كجم

السرعة الخطية (v) = 4 م/ث

نصف قطر الدائرة (r) = 0.5 متر

الحل:

1) تردد الدائرة

v = 2 π rf

4 = 2π (0.5) f

4 = π f

f = 4/π هرتز

2) التسارع المركزي

a _s = v ² / r = 4 ² / 0,5 = 16 / 0,5 = 32 م/ث ²

3) القوة المركزية

F = ma _s = (10)(32) = 320 نيوتن

4) الفترة

تي = 1 : و = 1 : 4/π = 1 × π/4 = π/4

2. يتحرك جسم في دائرة نصف قطرها 6 أمتار. إذا أكمل الجسم 16 دورة في دقيقتين، فما هي سرعته الخطية؟

معروف :

نصف القطر (r) = 6 متر

السرعة الزاوية (ω) = 16 دورة / 2 دقيقة = 8 دورات / دقائق = 8 دورات / 60 ثانية = 0.13 دورة / ثانية.

المطلوب: السرعة الخطية (v)؟

الحل:

v = r ω = (6 أمتار)(0.13 دورة/ثانية) = 0.8 متر/ثانية

بالراديان:

دورة واحدة = 2π راديان = 2(3.14) = 6.28 راديان

السرعة الزاوية = 8 (6.28) راديان / 60 ثانية = 50.24 راديان / 60 ثانية = 0.84 راديان/ثانية

v = r ω = (6 أمتار)(0.84 راديان/ثانية) = 5.04 راديان/ثانية.

3. يدور جسم نصف قطره 20/π سم أربع مرات في ثانية واحدة. ما هي السرعة الخطية لحافة هذا الجسم؟

معروف :

نصف القطر (نق) = 20/π سم = 20 / 3.14 سم = 6.4 سم = 0.064 متر

السرعة الزاوية (ω) = 4 دورات / 1 ثانية = 4 دورات / ثانية.

دورة واحدة = (2)(3.14) راديان = 6.28 راديان

السرعة الزاوية (ω) = (4)(6.28) راديان/ثانية = 25.12 راديان/ثانية

المطلوب: السرعة الخطية لحافة الجسم (v)

الحل:

v = r ω = (0.064 متر)(25.12 راديان/ثانية) = 1.6 متر/ثانية

4. بالنسبة لجسم يتحرك في دائرة بسرعة ثابتة، تعتمد السرعة الخطية للجسم على...

الحل:

معادلة السرعة الخطية للحركة الدائرية:

v = السرعة الخطية

د = ٢πنق = المحيط

T = الفترة = الوقت اللازم لدورة كاملة واحدة.

5. يتحرك جسم في دائرة نصف قطرها 50 متراً. إذا كانت السرعة الزاوية للجسم 120 دورة في الدقيقة، فما هو الفاصل الزمني والسرعة الخطية للجسم؟

معروف :

نصف القطر (نق) = 50 سم = 0.5 متر

السرعة الزاوية (ω) = 120 دورة في الدقيقة = 120 دورة / دقيقة واحدة = 120 دورة / 60 دقيقة = دورتان / ثانية واحدة

دورة واحدة = 2π راديان

السرعة الزاوية (ω) = 2 (2π راديان) / 1 ثانية = 4π راديان/ثانية

المطلوب: الفترة الزمنية (T) والسرعة الخطية (v)

الحل:

الفترة (T):

الدورة هي الوقت اللازم لإتمام دورة كاملة.

يدور الجسم دورتين كاملتين في ثانية واحدة = دورة واحدة كل 0.5 ثانية. الزمن الدوري = 0.5 ثانية.

السرعة الخطية (v):

v = r ω = (0.5 متر)(4π راديان/ثانية) = 2π متر/ثانية.

ما الفرق بين السرعة المماسية والسرعة الزاوية في الحركة الدائرية؟
الإجابة : السرعة المماسية هي السرعة الخطية لنقطة على جسم دوار، وتشير إلى مدى سرعة حركة هذه النقطة على طول مسارها الدائري. أما السرعة الزاوية، فتشير إلى مدى سرعة تغير الزاوية أثناء دوران الجسم. تُقاس السرعة المماسية عادةً بالمتر في الثانية (م/ث)، بينما تُقاس السرعة الزاوية عادةً بالراديان في الثانية (راد/ث).
ما هو التسارع المركزي وكيف يرتبط بالحركة الدائرية؟
الإجابة : التسارع المركزي هو التسارع الذي يتعرض له جسم يتحرك في مسار دائري. ويتجه هذا التسارع دائمًا نحو مركز الدائرة، وهو المسؤول عن إبقاء الجسم في مساره الدائري. صيغة التسارع المركزي هي: $a_{c} = v ^{2 /r}$ ، حيث $v$ هي السرعة المماسية و $r$ هو نصف قطر الدائرة.
لماذا يمتلك الجسم الذي يتحرك حركة دائرية منتظمة تسارعاً حتى لو كانت سرعته ثابتة؟
الإجابة : بينما يظل مقدار السرعة ثابتًا في الحركة الدائرية المنتظمة، يتغير اتجاهها. وبما أن التسارع يُعرَّف بأنه تغير في السرعة، والسرعة كمية متجهة لها مقدار واتجاه، فإن أي تغير في الاتجاه يُعد تسارعًا. في هذه الحالة، هو تسارع مركزي.
كيف ترتبط القوة المطلوبة للحفاظ على الحركة الدائرية بكتلة الجسم ونصف قطر الدائرة؟
الإجابة : تُعطى القوة اللازمة للحفاظ على الحركة الدائرية بصيغة القوة المركزية: $F_{c} = m \times a_{c} = m \times v ^{2 /r}$
لماذا تشعر بالدفع للخارج عندما تنعطف السيارة بشكل حاد (على سبيل المثال، في دوار)؟
الجواب : يعود ذلك إلى قوة الطرد المركزي "الوهمية"، وهي قوة مُدرَكة تؤثر للخارج على جسم يتحرك في مسار دائري. إنها ليست قوة حقيقية بمعنى الدفع أو السحب، بل هي بالأحرى تأثير القصور الذاتي. يرغب جسمك في التحرك في خط مستقيم (قانون نيوتن الأول)، لكن جدران السيارة أو حزام الأمان يمارسان قوة تُبقيك تتحرك في دائرة. هذا ما يُولّد الإحساس بالدفع للخارج.
ما هو دور الاحتكاك في الحركة الدائرية، وخاصة عندما تنعطف السيارة على الطريق؟
الإجابة : يوفر الاحتكاك بين الإطارات والطريق قوة الطرد المركزي اللازمة التي تسمح للسيارة بالانعطاف. وبدون احتكاك كافٍ، ستنزلق السيارة أو تنحرف عن مسارها الدائري المقصود.
كيف تتغير قوة الجذب المركزي إذا تم تقليل نصف قطر المسار الدائري إلى النصف ولكن السرعة ظلت كما هي؟
الإجابة : إذا تم تقليل نصف القطر إلى النصف وبقيت السرعة كما هي، فإن قوة الجذب المركزي ستتضاعف، لأن قوة الجذب المركزي تتناسب عكسياً مع نصف القطر.
لماذا لا يمكننا الحصول على قوة طرد مركزي بدون قوة جذب مركزي في حركة دائرية؟
الإجابة : القوة الطاردة المركزية هي قوة رد فعل أو قوة "وهمية" تُلاحظ في إطار مرجعي دوار. تبدو وكأنها تدفع الأجسام للخارج بعيدًا عن مركز الدوران. مع ذلك، لكي يتحرك جسم ما في مسار دائري، لا بد من وجود قوة حقيقية تؤثر باتجاه المركز، وهي القوة الجاذبة المركزية. بدون القوة الجاذبة المركزية، لن تكون هناك حركة دائرية من الأساس، وبالتالي، لن يكون هناك إدراك للقوة الطاردة المركزية.
كيف تكون قوة الجاذبية بين الأرض والقمر مسؤولة عن مدار القمر الدائري؟
الإجابة : تعمل قوة الجاذبية بين الأرض والقمر كقوة مركزية تُبقي القمر في مداره حول الأرض. وبدون هذه الجاذبية، سيتحرك القمر في خط مستقيم بدلاً من مداره الدائري (أو بالأحرى، الإهليلجي).
إذا تم تقصير خيط مربوط بكرة بمقدار النصف أثناء تدوير الكرة في دائرة بنفس السرعة، فكيف سيتغير الشد في الخيط؟

الإجابة : إذا تم تقليل طول الخيط (الذي يتوافق مع نصف قطر المسار الدائري) إلى النصف مع الحفاظ على السرعة ثابتة، فإن قوة الجذب المركزي المطلوبة (وبالتالي قوة الشد في الخيط) ستتضاعف. وذلك لأن قوة الجذب المركزي (وبالتالي قوة الشد في هذه الحالة) تتناسب عكسيًا مع نصف القطر.