30 等壓熱力學過程—問題與解決方案
1. 下圖所示的PV圖表明，理想氣體經歷一個等壓過程。計算氣體在過程AB中所做的功。
已知：
壓力(P) = 5 × 10⁵ N / m²
初始體積（V1 ） = 2 m³
最終體積（V₂ ） = 6立方米
招募：工作（W）
解決方案：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (5 x 10 5 )(6 – 2) = (5 x 10 5 ) (4)
瓦特 (W) = 20 × 10⁵ = 2 × 10⁶焦耳
2. 氣體在製程AB和製程CD中所做的功有何不同？
已知：
等壓過程AB：
壓力 (P) = 6 atm = 6 × 10⁵ N / m²
初始體積 (V1 ) = 1 公升 = 1 立方分米= 1 × 10⁻³立方米
最終體積 (V₂ ) = 3 公升 = 3 立方分米= 3 × 10⁻³立方米
等壓過程 CD：
壓力 (P) = 4 atm = 4 × 10⁵ N / m²
初始體積 (V1 ) = 2 公升 = 2 立方分米= 2 × 10⁻³立方米
最終體積 (V₂ ) = 5 公升 = 5 立方分米= 5 × 10⁻³立方米
求：過程 AB 和 CD 中氣體所做的功的差。
解決方案：
過程 AB 中氣體做功：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (6 x 10 5 )(3 x 10 -3 – 1 x 10 -3 )
W = (6 x 10 5 )(2 x 10 -3 )
瓦特 (W) = 12 × 10² = 1200 焦耳
過程 CD 中的氣體做了功：
W = P (V 2 – V 1 )
W = (4 x 10 5 )(5 x 10 -3 – 2 x 10 -3 )
W = (4 x 10 5 )(3 x 10 -3 )
瓦特 (W) = 12 × 10² = 1200 焦耳
過程 AB 和 CD 中氣體所做的功之差 = 1200 – 1200 = 0。
3. 在製程ABC中，氣體所做的功是…
已知：
壓力 1 (P1 ) = 6 × 10⁵ Pa = 6 × 10⁵ N / m²
壓力2 (P2 ) = 3 × 10⁵ Pa = 3 × 10⁵ N / m²
體積 1 (V₂ ) = 2 cm³ = 2 × 10⁻⁶ m³
體積 2 (V₂ ) = 6 cm³ = 6 × 10⁻⁶ m³
需求：工作正在ABC流程中完成。
解決方案：
在過程 AB 中，體積保持恆定，因此氣體不做功。
BC過程中氣體做了功。
W = P 2 (V 2 – V 1 )
W = (3 x 10 5 )(6 x 10 -6 – 2 x 10 -6 )
W = (3 x 10 5 )(4 x 10 -6 )
W = 12 x 10 -1
瓦特 = 1.2 焦耳
ABC 過程中所做的功 = AB 過程中所做的功 = 1.2 焦耳。
4. 確定 2 摩爾理想氣體在 300 K 下進行等壓膨脹時的內能變化，其中 \(\Delta V = 1\ \text{m}^3\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T\)，其中 \(C_v = \frac{R}{\gamma-1}\)（對於單原子理想氣體，\(\gamma = \frac{5}{3}\)）和 \(\Delta T = \frac{P\Delta Vac}{n\Delta \dot; 1}{\frac{5}{3}-1} \approx 1800\ \text{J}\)。
5. 計算等壓過程中的熱傳遞，其中 1 摩爾雙原子理想氣體膨脹，\(C_p = \frac{7}{2}R\)，\(\Delta T = 50\ \text{K}\)。
解：\(Q = nC_p\Delta T = \frac{7}{2} \cdot 50 \cdot R \approx 1750\ \text{J}\) (使用 \(R = 8.314\ \text{J/(mol·K)}\))。
6. 求等壓膨脹系統所做的功，\(P = 3\ \text{atm}\), \(\Delta V = 4\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 3 \times 4 = 12\ \text{L·atm}\).
7. 確定等壓過程中 2 摩爾理想氣體溫度變化 20 K 的熵變。使用 \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 2 \cdot \frac{5}{2}R \cdot \ln\frac{T_1+20}{T_1}\).
8. 計算單原子理想氣體等壓壓縮的熱傳遞，\(C_p = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = -10\ \text{K}\)。
解：\(Q = nC_p\Delta T = \frac{5}{2} \cdot (-10) \cdot R \approx -415\ \text{J}\).
9. 求等壓過程中系統所做的功，其中 \(P = 5\ \text{bar}\), \(\Delta V = -3\ \text{m}^3\).
解：\(W = P\Delta V = 5 \times (-3) = -15\ \text{bar m}^3\).
10. 決定等壓過程中內能的變化，其中 \(n = 3\ \text{mol}\), \(C_v = 3R\), \(\Delta T = 25\ \text{K}\).
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot 3R \cdot 25 \approx 1883\ \text{J}\).
11. 計算雙原子理想氣體在等壓過程中的熵變，\(n = 1\ \text{mol}\), \(\Delta T = 40\ \text{K}\), \(T_1 = 300\ \text{K}\)。
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = \frac{7}{2}R\ln\frac{340}{300}\).
12. 求等壓膨脹中的熱傳遞，\(P = 2\ \text{atm}\), \(\Delta V = 3\ \text{L}\), \(C_p = \frac{7}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 2 \times 3 + \frac{7}{2}R\Delta T\).
13. 求等壓過程中所做的功，已知 \(P = 4\ \text{bar}\), \(\Delta V = 5\ \text{m}^3\).
解：\(W = P\Delta V = 4 \times 5 = 20\ \text{bar m}^3\).
14. 計算等壓壓縮的內能變化，\(n = 2\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{3}{2}R\), \(\Delta T = -30\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 2 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (-30) \approx -753\ \text{J}\).
15. 求等壓過程中的熵變，\(n = 1.5\ \text{mol}\), \(\Delta T = 60\ \text{K}\), \(T_1 = 400\ \text{K}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 1.5 \cdot \frac{5}{2}R\ln\frac{460}{400}\).
16. 決定等壓膨脹的熱傳遞，\(P = 3\ \text{bar}\), \(\Delta V = 2\ \text{m}^3\), \(C_p = \frac{5}{2}R\), \(n = 2\ \text{mol}\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 3 \times 2 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
17. 計算 3 摩爾氣體在等壓壓縮下所做的功，\(P = 5\ \text{atm}\), \(\Delta V = -4\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 5 \times (-4) = -20\ \text{L·atm}\).
18. 確定等壓過程中 \(n = 4\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = 15\ \text{K}\) 的內能變化。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 4 \cdot \frac{7}{2}R \cdot 15 \approx 3157\ \text{J}\).
19. 求等壓過程中的熱傳遞，\(P = 4\ \text{atm}\), \(\Delta V = 5\ \text{L}\), \(n = 2\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 4 \times 5 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
20. 決定等壓壓縮所做的功，\(P = 7\ \text{bar}\), \(\Delta V = -2\ \text{m}^3\)。
解：\(W = P\Delta V = 7 \times (-2) = -14\ \text{bar m}^3\).
21. 計算 3 摩爾理想氣體在等壓過程中的內能變化，\(C_v = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = 20\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot \frac{5}{2}R \cdot 20 \approx 1256\ \text{J}\).
22. 求等壓膨脹的熵變，\(n = 1\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = 30\ \text{K}\), \(T_1 = 250\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = \frac{7}{2}R\ln\frac{280}{250}\).
23. 決定等壓過程中的熱傳遞，\(P = 6\ \text{bar}\), \(\Delta V = 4\ \text{m}^3\), \(n = 3\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{3}{2}R\).
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 6 \times 4 + 3 \cdot \frac{3}{2}R\Delta T\).
24. 計算系統在等壓膨脹中所做的功，其中 \(P = 8\ \text{bar}\), \(\Delta V = 3\ \text{m}^3\)。
解：\(W = P\Delta V = 8 \times 3 = 24\ \text{bar m}^3\).
25. 決定等壓過程的內能變化，其中 \(n = 2\ \text{mol}\), \(C_v = \frac{7}{2}R\), \(\Delta T = -10\ \text{K}\).
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 2 \cdot \frac{7}{2}R \cdot (-10) \approx -878\ \text{J}\).
26. 求雙原子理想氣體在等壓壓縮下的熵變，\(n = 1.5\ \text{mol}\), \(T_1 = 350\ \text{K}\), \(\Delta T = -40\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 1.5 \cdot \frac{7}{2}R\ln\frac{310}{350}\).
27. 決定 2 摩爾氣體在等壓膨脹過程中的熱傳遞，\(P = 5\ \text{bar}\), \(\Delta V = 6\ \text{m}^3\), \(C_p = \frac{5}{2}R\)。
解：\(Q = P\Delta V + nC_p\Delta T = 5 \times 6 + 2 \cdot \frac{5}{2}R\Delta T\).
28. 計算在等壓壓縮下，系統所做的功，其中 \(P = 9\ \text{atm}\), \(\Delta V = -3\ \text{L}\)。
解：\(W = P\Delta V = 9 \times (-3) = -27\ \text{L·atm}\).
29. 確定 3 摩爾氣體在等壓過程中的內能變化，\(C_v = \frac{3}{2}R\), \(\Delta T = 15\ \text{K}\)。
解：\(\Delta U = nC_v\Delta T = 3 \cdot \frac{3}{2}R \cdot 15 \approx 564\ \text{J}\).
30. 求等壓膨脹中的熵變，\(n = 4\ \text{mol}\), \(C_p = \frac{5}{2}R\), \(\Delta T = 25\ \text{K}\), \(T_1 = 300\ \text{K}\).
解：\(\Delta S = nC_p\ln\frac{T_2}{T_1} = 4 \cdot \frac{5}{2}R\ln\frac{325}{300}\).
