流體動力學—問題與解決方案

流體動力學—問題與解決方案

托里切利定理

1.一個裝滿水的容器上有一個小孔，如下圖所示。如果重力加速度為 10 ms⁻² ^，那麼水通過這個小孔的速度是多少？

已知：

高度 (h) = 85 公分 – 40 公分 = 45 公分 = 0.45 米

重力加速度(g) = 10 m/ ^s²

求：水的速度（動詞）

解決方案：

托里切利定理指出，水從洞口流出的速度與物體從相同高度自由落體的速度相同。高度 (h) = 85 公分 – 40 公分 = 45 公分 = 0.45 米

水的速度是利用自由落體運動方程式計算的：

v _t ² = 2 gh

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.45) = 9

vt = √9 ₌ 3 公尺/秒

2.如圖所示，一個裝滿水的容器上有一個小洞。如果重力加速度為 10 m/ ^s²，那麼水通過這個小孔的速度是多少？

已知：

高度 (h) = 1.5 米 – 0.25 米 = 1.25 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求：水的速度（動詞）

解決方案：

v _t ² = 2 gh = 2(10)(1.25) = 25

vt = √25 ₌ 5 公尺/秒

3.如圖所示，一個裝滿水的容器上有一個小洞。如果重力加速度為 10 m/ ^s²，那麼水通過這個小孔的速度是多少？

已知：

高度 (h) = 1 米 – 0.20 米 = 0.8 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求：水的速度（動詞）

解決方案：

v _t ² = 2 gh = 2(10)(0.8) = 16

vt = √16 ₌ 4 公尺/秒

4.如圖所示，一個裝滿水的容器上有一個小洞。如果重力加速度為 10 m/ ^s²，那麼水通過這個小孔的速度是多少？

已知：

高度 (h) = 20 公分 = 0.2 米

重力加速度 (g) = 10 m/ ^s²

求：水的速度（動詞）

解決方案：

5.一個裝滿水的容器有兩個孔，如下圖所示。 x₁與 x₂_的比值是多少？

解決方案

水從孔1自由落體的時間間隔：

h = 1/ ^2，2

0.8 = 1/2 (10) t ²

0.8 = 5 t ²

t ² = 0.8 / 5 = 0.16

t = 0.4 秒

水從孔2自由落體的時間間隔：

h = 1/ ^2，2

0.5 = 1/2 (10) t ²

0.5 = 5 t ²

t ² = 0.5 / 5 = 0.1

t = √0.1 秒

水平距離（x）：

x ₁ = v ₁ t ₁ = (2)(0.4) = 0.8 米

x² ₌ v²t² = ( _{√10 )} (√0.1) = (10)(0.1) = 1 米

_x1與 x2_的比值：

x1 _: x2 = _0.8 : 1 = 8 : 10 = 4 : ₅

連續性方程

6. 水流經直徑不同的管道，從 A 流向 B，再流向 C。 A 與 C 的直徑比為 8 : 3。如果水在管道 A 中的流速為 v，那麼水在管道 C 中的流速是多少？

已知：

A 的面積 (A_A）= 8

C 的面積 (A _C ) = 3

管道 A 中水的流速 (v _A ) = v

求：管道 C 中水的流速 (v _C )

解決方案：

連續性方程式：

A _A v _A = A _C v _C

8伏 = 3_伏

v _C = 8/3 v

7. 如果直徑 12 公分的管道中水的流速為 10 公分/秒，則直徑為 8 公分的管道中水的流速為何？

已知：

直徑 1 (d1 ₎ = 12 厘米，半徑 1 (r1 ₎ = 6 厘米

直徑 2 (d2 ₎ = 8 厘米，半徑 2 (r2 ₎ = 4 厘米

水流速度 1 (v1 ₎ = 10 公分/秒

需求：水的速率 2 (v ₂ )

解決方案：

面積 1 (A ₁ ) = π r ² = π 6 ² = 36π cm ²

面積 2 (A ₂ ) = π r ² = π 4 ² = 16π cm ²

連續性方程式：

A1v1 = _A2v2

(36π)(10) = (16π) _v²

(36)(10) = (16) v ₂

360 = (16) v ₂

v ₂ = 360/16

v₂ = 22.5_公分/秒

8. 如圖所示，水流經直徑不同的管道。如果管道 1 (A1 ₎ = 8 cm2 ^， A2 ₌ 2 cm2 ^，且管道 2 中水的流速 v2 = _{2 m/s，則管道 1 中水的流速v1}是多少？

已知：

區域 1 (A₁）= 8厘米²

面積 2 (A₂ ₎ = 2^平方厘米

管道 2 中水的速度 (v2 ₎ = 2 公尺/秒

求：管道 1 中的水流速度（v ₁）

解決方案：

連續性方程式：

A1v1 = _A2v2

8 v ₁ = (2)(2)

8 乘以₁ = 4

v1 = 4 / 8 = 0.5 公尺/_秒

9. 如果大管的直徑是小管直徑的 2 倍，那麼小管中流體的速度是多少？

已知：

較大管道的直徑（d）₁）= 2

較大管道的半徑 (r1 ₎ = ½ d1 ₌ ½ (2) = 1

較大管道的面積 ( A ₁ ) = π r ₁ ² = π (1) ² = π (1) = π

較小管道的直徑（d2 _） = 1

較小管道的半徑 (r ₂ ) = ½ d ₂ = ½ (1) = ½

較小管道的面積 ( A ₂ ) = π r ₂ ² = π (1/2) ² = π (1/4) = ¼ π

_較大管路中的流體速度 ( v1 ) = 4 m/s

求：較小管路中_的流體速度（v2）

解決方案：

連續性方程式：

A1v1 = _A2v2

π 4 = ¼ π (v ₂ )

4 = ¼ (v ₂ )

v2 = 8 公尺/_秒

伯努利原理與方程

10. 水由一台 120 kP 的壓縮機抽出，從下部管道 (1) 進入，並以 1 m/ s 的速率向上流動。重力加速度為10 m/ s² ，水的密度為1000 kg/m³ ^。求上部管道 (II ) 上的水壓。

已知：

下部管道半徑（r）₁）= 12厘米

下部管道半徑 (r₂ ₎ = 6 厘米

下部管道中的水壓 (p1 ₎ = 120 kPa = 120,000 帕斯卡

下部管道中水的速度（v1 _） = 1 ms ^-1

下部管道的高度（h1 _） = 0 米

上部管道的高度（h₂ _） = 2 米

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

水的密度 = 1000 kg· ^m⁻³

求： 2號管道（p ₂）的水壓

解決方案：

利用連續性方程式計算管道 2 中的水流速度：

管道 2 中的水壓是利用伯努利方程式計算的：

11. 一根大管道距離地面 5 米，一根小管道距離地面 1 公尺。大管道中水的流速為 36 km/h ，壓力為 9.1 × ^10⁵ Pa；小管道中水的壓力為 2.1 × ^10⁵ Pa。求小管道中水的流速。水的密度為 10³ ^kg /m³ ^。

已知：

大管道中的水壓（p）₁) = 9.1 x 10⁵ 帕斯卡 = 910,000 帕斯卡

小管內的水壓 (p2 ₎ = 2 x 105^帕斯卡= 200,000 帕斯卡

大管道中的水流速度 (v1 ₎ = 36 km/h = 36(1000)/(3600) = 36000/3600 = 10 m/s

大管道的高度（h1 _） = -4米

小管的高度（h₂ _） = 0 米

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

水的密度 = 1000 kg/ ^m³

求：小管道中水的流速（v ₂）

解決方案：

利用伯努利方程式計算小管道中水的速度（v2 _{） ：}

12.一根半徑為15 cm的管道與另一根半徑為5 cm 的管道相連。兩根管道均處於水平位置。大管道中的水流速度為 1 m/s，壓力為 10⁵ ^N / m² 。求小管道中的水壓（單位：g/ ^cm³）^。

已知：

大管半徑 (r1 ₎ = 15 公分 = 0.15 米

小管半徑 (r₂ ₎ = 5 公分 = 0.05 米

大管道中的水壓 (p1 ₎ = ¹⁰⁵ N m ^-2 = 100.000 N m ^-2

大管道中水的速度（v1 _） = 1 ms ^-1

重力加速度 (g) = 10 m ^/s²

水的密度= 1 克/立方厘米⁼ 1000 公斤/^立方米

高度差（Δh）= 0。

求：小管道內的壓力（第₂頁）

解決方案：

利用連續性方程式計算管道 2 中的水流速度：

利用伯努利方程式計算小管道中的水壓（p2 _{） ：}

1. 什麼是流體動力學？
   • 答： 流體動力學是物理學的一個分支，研究流體（液體和氣體）的運動以及作用於其上的力。它涵蓋了描述流體如何流動、與固體邊界相互作用以及彼此影響的原理和方程式。
2. 層流和湍流有什麼差別？
   • 答： 層流的特徵是流體以平滑、平行的層狀結構沿著有序路徑運動。而湍流則相反，它混亂無序，充滿渦流、旋渦和快速波動。湍流通常發生在高速流動或不規則形狀的通道中。
3. 黏度概念在流體動力學中為何如此重要？
   • 答： 黏度衡量流體抵抗剪切或流動的能力。高黏度流體（如蜂蜜）比低黏度流體（如水）更難流動。在流體動力學中，黏度在決定流體流動特性、能量耗散和阻力方面起著至關重要的作用。
4. 什麼是伯努利原理？
   • 答： 伯努利原理指出，在穩定流動中，單位體積內的壓力能、動能和位能總和保持不變。具體來說，流體速度高的地方，壓力低，反之亦然。
5. 空氣動力學中的升力原理與流體動力學有何關係？
   • 答： 飛機機翼的升力可以用伯努利原理和牛頓第三定律來解釋。當空氣流過機翼時，它在彎曲的上表面比在下表面流速更快，從而產生壓力差。這種壓力差，加上機翼對空氣的向下偏轉，就產生了向上的力，也就是升力。
6. 流體動力學中的連續性方程式是什麼？
   • 答： 連續性方程式表明，在穩定流動中，沿著流線方向，流體的橫截面積 (A) 與其速度 (v) 的乘積保持不變。數學上， A₁​v_1​=A₂​v₂​，其中 A_1​ 以及 A₂​ 是橫截面積和 v₁​ 以及 v_2​ 是沿流線兩點的速度。
7. 雷諾數在流體動力學中扮演什麼角色？
   • 答： 雷諾數是一個無量綱量，用於預測流體動力學中的流動狀態（層流、過渡流或湍流）。它定義為慣性力與黏滯力的比值，並取決於流體速度、特徵長度和流體性質等因素。
8. 流體中運動的物體如何受到阻力作用？
   • 答： 阻力會阻礙物體在流體中的運動。它是由流體的黏性阻力和物體周圍的壓力差引起的。阻力的大小和性質取決於物體的形狀、粗糙度、速度以及流體的性質等因素。
9. 什麼是文丘里效應？
   • 答： 文丘里效應是指流體流經管路狹窄段時壓力下降的現象。由於質量守恆，流體在狹窄段內的速度增加，而根據伯努利原理，其壓力則會下降。
10. 為什麼流體在流經管道或通道的狹窄部分時速度會加快？

• 答： 這種現象可以用質量守恆定律來解釋。在穩定流動中，流入管道某一段的流體體積必須等於流出的流體體積。如果管道較窄，流體必須加速流動才能在給定時間內通過相同的流體體積。