關於伯努利原理和伯努利方程式的文章
我們騎摩托車時，身上的衣服會被向後吹得鼓鼓囊囊的。有時候，如果風刮得很大，門會自己關上。雖然風是從屋外吹的，但門卻在屋裡。
這可以用伯努利原理來解釋。丹尼爾·伯努利（1700-1782）發現了一個可以用來解釋上述現象的原則。
伯努利原理
伯努利原理指出，流體流動速度越快，流體壓力越低；反之，流體流動速度越慢，流體壓力越高。當摩托車快速行駛時，身體前方和側面的氣流速度很高，因此氣壓較低。由於身體前方氣流的阻擋，背部的氣流速度不會很高，導致背部氣壓較高。由於前後氣壓有差異，背部氣壓高於身體其他部位，空氣會將衣服向後推，使衣服看起來向後鼓脹。
那麼，當風吹向屋外時，那扇會自動關上的門是怎麼回事呢？屋外的空氣流動速度比屋內的空氣流動速度快。因此，屋外的氣壓比屋內的氣壓小。由於有氣壓差，屋內氣壓較高的地方，門就會被推開。換句話說，門扇會從氣壓高的地方往氣壓低的地方移動。
伯努利方程
之前我們學習了伯努利原理。伯努利也對此原理進行了定量推導。為了推導伯努利方程，我們假設流體流動是穩定層流、未壓縮的，且黏度極小，可以忽略不計。
在討論連續性方程式時，我們了解到流體流量也會隨流通管的流通面積而改變。基於上述伯努利原理，流體壓力也會隨流體流量而改變。此外，流體壓力也會隨流體高度而變化。壓力、流量和流體高度之間的關係可以用伯努利方程式來描述。
伯努利方程式至關重要，因為它可用於分析飛機飛行、水力發電廠、管道系統等。為了推導伯努利方程式的一般形式，我們假設流體流經一個橫截面積和高度均不相同的流動管道。為了推導伯努利方程，我們將功和能定理應用於流動管道中的流體。
下圖所示流動管中的不透明部分錶示流體流動，而白色部分錶示沒有流體流動。
橫斷面區域 1（左側）內的流體流動至 L1 ，並迫使橫斷面區域 2（右側）內的流體流動至 L2 。由於右側橫截面區域 2 較小，因此流體在流動管右側的流速較大（回想連續性方程式）。這導致橫斷面區域 2（流動管右側）和橫斷面區域 1（流動管左側）之間產生壓力差——回想一下伯努利原理。位於橫斷面區域 1 左側的流體對右側的流體施加壓力 (P1) 並做功：
那麼 W1方程式可以寫成：
W 1 = p 1 A 1 L 1
在第 2 段（流動管的右邊），流體所做的功為：
W 2 = − p 2 A 2 L 2
負號表示所施加的力與運動方向相反。因此，流體在截面 2 右側做功。此外，重力也對流體做功。在上述情況下，部分流體質量從截面 1 的 L1 處轉移到截面 2 的 L2 處，其中 V1 = V2是截面 1 中流體的體積 (A1L1 ) ， V2是截面 2 中流體的體積 (A2L2 ) 。重力所做的功為：
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
負號是由於流體向上流動（與重力方向相反）造成的。因此，流體所受的淨功為：
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
動能定理指出，作用於系統的淨功等於動能的變化。因此，我們可以用動能的變化（EK2 – EK1）來取代功（W ）。
上面的方程式可以重新寫成：
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 - EK1 = P.1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2毫伏22 – 1⁄2 毫伏12 = P.1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
流經 L 的流體質量1 在橫斷面 A 中1 = 流經 L 處的流體質量2 （橫截面 A）2假設流體的質量為 m，其體積為 A。1 L1 和A2 L2 其中 A1 L1 = A.2 L2 (L2 比 L 長1).
現在我們將上述方程式中的 m 替換為 m = ρ AL：
這就是伯努利方程式。伯努利方程式是基於動能原理推導出來的，因此它是能量守恆的一種形式。
P = 壓力，ρ = 密度，v = 流體速度，g = 重力加速度，h = 管道離地面的高度。
上述伯努利方程式的左右兩部分可以指流管內任兩點，因此我們可以將上述方程式改寫為：
現在讓我們回顧一下伯努利方程式的一些應用。
靜止流體中的伯努利方程
伯努利方程式的特殊情況是流體靜止，即流體速度為零。因此，v₁ = v₂ = 0。對於靜止流體，我們可以將伯努利方程式表述為：
如果 h₂ – h₁ = h，則方程式可以寫成：
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
同高管道上的伯努利方程
如果管道高度相同，則伯努利方程式變為：
