1. 在 20 ℃时，一块钢板的长度为 50 cm，宽度为 30 cm。如果钢的线膨胀系数为 10 -5 ℃ -1 ，求60 ℃时的面积变化量和最终面积。
已知：
初始温度（T₁ ）= 20 ℃
最终温度（T2 ）= 60 ℃
温度变化 ( ΔT ) = 60 ℃ – 20 ℃ = 40 ℃
初始面积（A₁ ）= 长 × 宽 = 50 厘米 × 30 厘米 = 1500平方厘米
钢的线膨胀系数（α）= 10 -5 o C -1
钢的面积膨胀系数( β) = 2α = 2 x 10 -5 o C -1
求：面积变化量（ΔA ）
解决方案：
面积变化量（ΔA ）：
ΔA = β A 1 ΔT
ΔA = ( 2 x 10 -5 o C -1 )(1500 cm 2 )(40 o C)
ΔA = (80 x 10 -5 )(1500 cm 2 )
ΔA = 1 20,000 x 10 -5 cm 2
ΔA = 1. 2×10 5 ×10 -5厘米2
ΔA = 1.2 cm 2
最后区域（A2 ）：
A 2 = A 1 + ΔA
A 2 = 1500 cm 2 + 1. 2 cm 2
A 2 = 1501 . 2 cm 2
[irp]
2. 在 30 ℃时，一块铝板的面积为 40 cm² ，线膨胀系数为 24 × 10⁻⁶ / ℃ 。如果最终面积为 40.2 cm²，求最终温度。
已知：
初始温度（T₁ ）= 30 ℃
线膨胀系数 ( α ) = 24 × 10⁻⁶ ° C⁻¹
面积膨胀系数（β）= 2a = 2 × 24 × 10⁻⁶ ° C⁻¹ = 48 × 10⁻⁶ ° C⁻¹
初始面积（A1 ）= 40 cm2
最终面积 (A₂ ) = 40.2 cm²
面积变化量 ( ΔA) = 40.2 cm² – 40 cm² = 0.2 cm²
要求：确定最终温度（T2 ）
解决方案：
面积变化量（ΔA）的计算公式：
ΔA = β A 1 Δ T
最终温度（T2 ）：
ΔA = β A 1 (T 2 – T 1 )
0.2厘米2 = (48 x 10-6 oC-1（40厘米）2)(T2 – 30oC)
0.2 = (1920 x 10 -6 ) (T 2 – 30 )
0.2 = (1.920 x 10 -3 ) (T 2 – 30)
0.2 = (2 x 10 -3 ) (T 2 – 30)
0.2 / (2 x 10 -3 ) = T 2 – 30
0.1 x 10³ = T² - 30
1 x 10² = T² – 30
100 = T 2 – 30
100 + 30 = T 2
T2 = 130
最终温度 = 130 ℃
[irp]
3. 一个圆环在 20 ℃时的半径为 20 cm。如果其在 100 ℃时的最终半径为 20.5 cm，求其面积膨胀系数和线膨胀系数……
已知：
初始温度（T₁ ）= 30 ℃
最终温度（T2 ）= 100 ℃
温度变化 ( ΔT ) = 100 ℃ – 30 ℃ = 70 ℃
初始半径 (r₁ ) = 20 厘米
最终半径 (r₂ ) = 20.5 厘米
求：面积膨胀系数（ β ）
解决方案：
初始面积 (A₁ ) = πr₁² = ( 3.14 )(20 cm) ² = (3.14)(400 cm² ) = 1256 cm²
最终面积 (A₂ ) = πr²² = ( 3.14 )(20.5 cm) ² = (3.14)(420.25 cm² ) = 1319.585 cm²
面积变化量 ( ΔA) = 1319.585 cm² – 1256 cm² = 63.585 cm²
面积变化量（ΔA）的计算公式：
ΔA = β A 1 ΔT
面积膨胀系数：
ΔA = β A 1 ΔT
63.585 cm² = b (1 256 cm² ) (70 ℃ )
63.585 = b ( 87,920摄氏度)
β = 63.585 / 87,920摄氏度
β = 0.00072 /摄氏度
β = 7.2 × 10⁻⁴ / ° C
β = 7.2 x 10 -4 o C -1
线膨胀系数（ α ）：
β = 2 α
α = β / 2
α = (7.2 x 10 -4 ) / 2
α = 3.6 x 10 -4 o C -1
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