דיסקוטירן וועקטאָרן אין מאַטעמאַטיק איז נישט אָפּגעטיילט פֿון אַ דיסקוסיע וועגן דעם קאַרטעזישן קאָאָרדינאַט סיסטעם. דאָס קאַרטעזישע קאָאָרדינאַט סיסטעם איז די מערסט אָפֿט גענוצטע סיסטעם פֿאַר מאָדעלירן און אַנאַליזירן פֿאַרשידענע דערשיינונגען אין צוויי- און דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר אויספֿאָרשן דעם באַגריף פֿון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן אין דעם קאָנטעקסט פֿון דעם קאַרטעזישן קאָאָרדינאַט סיסטעם.
הקדמה צו וועקטאָרן אין דער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם
אין אַ קאַרטעזיאַנישער קאָאָרדינאַט סיסטעם, קען יעדער פּונקט אין צוויי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ רעפּרעזענטירט ווערן ווי אַ אָרדנטלעכער פּאָר (x, y), וואו x איז די האָריזאָנטאַלע קאָאָרדינאַט און y איז די ווערטיקאַלע קאָאָרדינאַט. פֿאַר דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, האָבן מיר דעם טריפּלעט (x, y, z). אַ וועקטאָר אין דעם קאָנטעקסט איז אַ מאַטעמאַטישע ענטיטי וואָס האָט ביידע מאַגניטוד (אָדער לענג) און ריכטונג.
א וועקטאָר אין צוויי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ ווערט געוויינטלעך רעפּרעזענטירט ווי \(\vec{v}\) = (v_x, v_y), וואו \(v_x\) און \(v_y\) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר אויף די x-אַקס און y-אַקס, ריספּעקטיוולי. אין דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ, ווערט אַ וועקטאָר רעפּרעזענטירט ווי \(\vec{v}\) = (v_x, v_y, v_z).
דער באַגריף פון וועקטאָר עקוויוואַלענץ
צוויי וועקטאָרן ווערן געזאָגט צו זיין עקוויוואַלענט אויב זיי האָבן די זעלבע מאַגניטוד און די זעלבע ריכטונג, נישט קוקנדיק אויף זייער אָנהייבפּונקט. אין מאַטעמאַטישע טערמינען, צוויי וועקטאָרן \(\vec{u}\) = (u_x, u_y) און \(\vec{v}\) = (v_x, v_y) ווערן געזאָגט צו זיין עקוויוואַלענט אויב:
1. \(u_x = v_x\)
2. \(u_y = v_y\)
אין עיקר, וועקטאָרן זענען נישט געבונדן צו אַ ספּעציפֿישן אָנהייב־פּונקט. צוויי וועקטאָרן קענען געשטעלט ווערן ערגעץ אין פּלאַץ, אָבער אויב זיי האָבן די זעלבע ריכטונג און מאַגניטוד, ווערן זיי נאָך אַלץ באַטראַכט ווי גלייך, אָדער עקוויוואַלענט. דאָס איז אַ שליסל־אייגנשאַפט וואָס מאַכט וועקטאָרן אַזאַ אַ פֿילזײַטיקן געצייַג אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק.
געאמעטרישע אנאלאגיע
לאָמיר זאָגן מיר האָבן צוויי וועקטאָרן ____ = (3, 4) און _____ = (3, 4). די צוויי וועקטאָרן, ווען זיי ווערן וויזואַליזירט אין אַ קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם, וועלן רעפּרעזענטירן פײַלן וואָס זענען אין דער זעלבער ריכטונג און האָבן די זעלבע לענג, אפילו כאָטש זיי קענען אָנהייבן פֿון פֿאַרשידענע פּונקטן. אַזוי, אויב מיר צייכענען _____ פֿון דעם אָנהייב (0, 0) צום פּונקט (3, 4) און _____ פֿון אַן אַנדער אָנהייב, זאָגן מיר (1, 1), צום פּונקט (4, 5), זענען די צוויי וועקטאָרן נאָך אַלץ גלייך ווײַל זיי האָבן די זעלבע ריכטונג און מאַגניטוד.
עקוויוואַלענט וועקטאָר רעפּרעזענטאַציע אין מאַטעמאַטיק
מאטעמאטיש, עקוויוואַלענטע וועקטאָרן נאָכפאָלגן דעם פאלגנדן פּרינציפּ:
– אויב \(\vec{v}\) = (v_x, v_y) איז אַ וועקטאָר, דעמאָלט קען מען באַקומען יעדן וועקטאָר עקוויוואַלענט צו \(\vec{v}\) דורך צולייגן דעם זעלבן איבערזעצונג וועקטאָר צו זיינע אָנהייב און ענד פּונקטן.
– מער פֿאָרמעל, אויב \(\vec{v_1}\) = (v_{1x}, v_{1y}) און \(\vec{v_2}\) = (v_{2x}, v_{2y}) זענען צוויי עקוויוואַלענטע וועקטאָרן, דעמאָלט עקזיסטירט אַ קאָנסטאַנטע וועקטאָר \(\vec{k}\) = (k_x, k_y) אַזוי אַז:
\[
\vec{v_1} = \vec{v_2} + \vec{ק} – \vec{ק}
\]
די פּראָפּאָרציע האַלט זיך אין n-דימענסיאָנעלן פּלאַץ און אונטערשטרייכט דעם פאַקט אַז וועקטאָרן זענען אין עסענץ וועגן אונטערשיידן אין פּאָזיציעס, נישט די פּאָזיציעס אַליין.
אַפּליקאַציע פון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן אין פיזיק
אין פיזיק, איז דער באַגריף פון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן קריטיש וויכטיק, ספּעציעל אין דער אַנאַליז פון קראַפט, גיכקייט און מאָמענטום. למשל, כוחות וואָס ווירקן אין אַ געגעבענעם פונקט אין אַן אָביעקט קענען איבערגעזעצט ווערן (אַלס עקוויוואַלענטע וועקטאָרן) אויב זיי פּראָדוצירן דעם זעלבן ווירקונג אין טערמינען פון לינעאַרער אַקסעלעראַציע אָדער ענדערונג אין מאָמענטום.
אַפּליקאַציע ביישפילן:
1. עקוויוואַלענטע כוחות און וועקטאָרן:
אין קלאַסישער מעכאניק, אויב אַ קראַפט F ווערט רעפּרעזענטירט ווי אַ וועקטאָר און געווענדט אין אַ פּונקט אויף אַן אָביעקט, קענען מיר באַוועגן דעם פּונקט פון אַפּליקאַציע פון דער קראַפט מיט אַן עקוויוואַלענטן דיסטאַנץ. דאָס איז וויכטיק אין דער רעכענונג פון מאָמענטן פון קראַפט אָדער טאָרקעס, וואו עקוויוואַלענטע קראַפט קאָמפּאָנענטן ווערן גענוצט צו סאָלווען מעכאַנישע פּראָבלעמען.
2. גיכקייט:
גיכקייט אלס א וועקטאָר אויסדריקט די ריכטונג און גיכקייט פון אן אביעקט'ס באוועגונג. למשל, די גיכקייט פון אן אויטאָ וואָס באַוועגט זיך מזרח מיט 60 קילאָמעטער פּער שעה קען רעפּרעזענטירט ווערן אלס דער וועקטאָר (60, 0) אויב די x-אַקס ווייזט מזרח. אַלע עקוויוואַלענטע וועקטאָרן באַשרייבן אידענטישע באַוועגונג סיטואַציעס, אפילו אויב זייערע אָנהייב פּונקטן זענען אַנדערש, למשל, (1, 1) ביז (61, 1).
האָמאָגענע קאָאָרדינאַטן און עקוויוואַלענטע וועקטאָרן
אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ, ניצן מיר אויך אָפט האָמאָגענע קאָאָרדינאַטן צו יקספּאַנדירן אונדזער אַנאַליז. די סיסטעם פירט איין די מאַטריץ אָפּעראַטאָר פּראָיעקציע מאַטריץ, וואָס ברייטערט אונדזער פארשטאנד פון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן. האָמאָגענע קאָאָרדינאַטן ווערן אָפט געניצט אין קאָמפּיוטער גראַפיקס צו פאַרפּשוטערן געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציעס ווי ראָטאַציעס, טראַנסלאַציעס און סקיילינג. אין דעם קאָנטעקסט, לאָזן אונדז האָמאָגענע וועקטאָרן דורכפירן מונדיר און עלעגאַנטע מאַניפּולאַציעס אויף קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן.
קעסימפּולאַן
עקוויוואַלענטע וועקטאָרן אין אַ קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם זענען אַ פונדאַמענטאַלע באַגריף וואָס פאָרמירט די באַזע פון פילע אַפּליקאַציעס פון מאַטעמאַטיק און פיזיק. פֿאַרשטיין דעם באַגריף ינוואַלווז וויסן אַז צוויי וועקטאָרן זענען עקוויוואַלענט אויב זיי האָבן די זעלבע ריכטונג און מאַגניטוד, אפילו כאָטש זייערע אָנהייב פונקטן קען זיין אַנדערש. די מאַטעמאַטישע רעפּרעזענטאַציע פון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן ווייזט אַז דעם פאַרמאָג אַלאַוז מאָווינג די אָנהייב און ענדיק פונקטן פון די וועקטאָרן אָן טשאַנגינג זייער פונדאַמענטאַלע פּראָפּערטיעס.
די אנווענדונג פון דעם קאנצעפט אין פארשידענע פעלדער, ווי למשל פיזיק, אונטערשטרייכט די וויכטיקייט פון פארשטיין וועקטאר טעאריע פאר ווייטערדיגע אנאליז. אין דער רעאלער וועלט, דערמעגלעכט דער קאנצעפט פון עקוויוואלענטע וועקטארן איינפאכערע חשבונות פון כוחות, שנעלקייטן, און פילע אנדערע אספעקטן פון מעכאניק און קינעמאטיק.
מיט דער מעגלעכקייט צו רעפּרעזענטירן און מאַניפּולירן וועקטאָרן אין אַ קאַרטעזישן קאָאָרדינאַט סיסטעם, קענען מיר מאָדעלירן און אַנאַליזירן אַ ברייטע פאַרשיידנקייט פון קאָמפּלעקסע דערשיינונגען און סיסטעמען מיט אַ הויכן גראַד פון פּרעציזיע און אַקיעראַסי. דאָס מאַכט דעם באַגריף פון עקוויוואַלענטע וועקטאָרן אַ וויכטיקע און פאַסצינירנדיקע טעמע אין דער שטודיע פון מאַטעמאַטיק און פיזיק.
