פּאָזיציע וועקטאָר

פאזיציע וועקטאָרן: באַסיקס, אַפּליקאַציעס און ביישפילן אין וואָכעדיק לעבן

הקדמה
א פאזיציע וועקטאָר איז א וויכטיגע באַגריף אין מאַטעמאַטיק און פיזיק וואָס ווערט גענוצט צו באַשרײַבן די פאזיציע פון ​​א פּונקט אין פּלאַץ. פשוט געזאָגט, קען מען טראַכטן פון א פאזיציע וועקטאָר ווי א פײַל וואָס ווײַזט פון א אָנהייב פּונקט (געוויינטלעך דער אָנהייב) צו א באַשטימטן פּונקט. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן די דעפֿיניציע פון ​​א פאזיציע וועקטאָר, זײַנע קאָמפּאָנענטן, ווי אַזוי צו רעכענען אים, און זײַנע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן.

דעפֿיניציע פֿון פּאָזיציע וועקטאָר
א פאזיציע וועקטאָר איז א וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט דעם אָנהייב צו אַ פּונקט אין פּלאַץ. ווען מען אַרבעט אין צוויי-דימענסיאָנאַלן (2D) פּלאַץ, ווערט אַ פאזיציע וועקטאָר אויסגעדריקט ווי אַ געאָרדנט פּאָר \((x, y)\), וואו \(x\) און \(y\) זענען די קאָאָרדינאַטן פֿון דעם פּונקט. אין דריי-דימענסיאָנאַלן (3D) פּלאַץ, ווערט אַ פאזיציע וועקטאָר אויסגעדריקט ווי אַ געאָרדנט טריפּלעט \((x, y, z)\).

למשל, אויב מיר האָבן אַ פּונקט A ביי קאָאָרדינאַטן (3, 4) אין 2D פּלאַץ, דעמאָלט איז דער פּאָזיציע וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט דעם אָנהייב (0,0) צו פּונקט A \(\mathbf{r} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\), וואו \(\mathbf{i}\) און \(\mathbf{j}\) זענען איינהייט וועקטאָרן צוזאמען די \(x\) און \(y\) אַקסעס.

פּאָזיציע וועקטאָר קאָמפּאָנענטן
דער פאזיציע וועקטאָר באשטייט פון קאָמפּאָנענטן וואָס רעפּרעזענטירן דיסטאַנסן צוזאמען די קאָאָרדינאַט אַקסן. אין 2D פּלאַץ, קען דער פאזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r}\) אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[
\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}
\]
דאָ, \(x\) איז די קאָמפּאָנענט פֿון דעם פּאָזיציע וועקטאָר אויף דער \(x\) אַקס, און \(y\) איז די קאָמפּאָנענט פֿון דעם פּאָזיציע וועקטאָר אויף דער \(y\) אַקס.

אין 3D פּלאַץ, ווערט דער פּאָזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r}\) אויסגעדריקט ווי:
\[
\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{ק}
\]
דאָ, _(x), _(y), און _(z)_ זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם פּאָזיציע וועקטאָר אויף די _(x), _(y), און _(z) אַקסעס, ריספּעקטיוולי, בשעת _(k)_ איז דער איינהייט וועקטאָר אויף די _(z) אַקס.

ווי אזוי צו רעכענען פאזיציע וועקטאָר
אויסרעכענען א פאזיציע וועקטאָר באַדייט באַשטימען די דיסטאַנץ פֿון דעם אָנהייב ביזן פּונקט אין פֿראַגע אין קאַרטעזישע קאָאָרדינאַטן. למשל, אויב פּונקט B איז ביי קאָאָרדינאַטן (5, 7) אין 2D פּלאַץ, איז דער פאזיציע וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט דעם אָנהייב (0, 0) מיט פּונקט B:
\[
\mathbf{r_B} = 5\mathbf{i} + 7\mathbf{j}
\]

צו רעכענען די לענג פון דעם פאזיציע וועקטאָר (אדער מאַגניטוד), ניצן מיר דעם פּיטהאַגאָראַס טעאָרעם. די לענג פון דעם פאזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r}\) אין 2D פּלאַץ ווערט געגעבן דורך:
\[
|\מאַטבפ{ר}| = \sqrt{x^2 + י^2}
\]
אין 3D פּלאַץ, ווערט די לענג פון דעם פּאָזיציע וועקטאָר \(\mathbf{r}\) אויסגערעכנט ווי:
\[
|\מאַטבפ{ר}| = \sqrt{x^2 + י^2 + ז^2}
\]

למשל, פֿאַר פּונקט C ביי קאָאָרדינאַטן (3, 4, 5) אין 3D פּלאַץ, די לענג פון די פּאָזיציע וועקטאָר r_C איז:
\[
|\מאַטבף{ר_ק}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} \בערך 7.07
\]

אַפּליקאַציעס פון פּאָזיציע וועקטאָרן אין וואָכעדיק לעבן
פאזיציע וועקטאָרן האָבן פילע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער. דאָ זענען עטלעכע ביישפילן פֿון זייער נוצן אין וואָכעדיקן לעבן:

1. נאַוויגאַציע און דזשי-פּי-עס
אין נאַוויגאַציע סיסטעמען ווי GPS, ווערן פּאָזיציע וועקטאָרן גענוצט צו באַשטימען דעם באַניצער'ס אָרט אין באַצוג צו GPS סאַטעליטן. די פּאָזיציע דאַטן ווערן דאַן גענוצט צו רעכענען דיסטאַנץ און ריכטונג פון רייזע.

2. ציווילע אינזשעניריע און ארכיטעקטור
ציווילע אינזשענירן און ארכיטעקטן ניצן פאזיציע וועקטאָרן צו דיזיינען געביידעס און אינפראַסטרוקטור. די וועקטאָרן העלפן באַשטימען די רעלאַטיווע פאזיציעס פון פארשידענע סטרוקטורעלע עלעמענטן.

3. אַסטראָנאָמיע
אין אַסטראָנאָמיע, ווערן פּאָזיציע וועקטאָרן גענוצט צו באַשרײַבן די פּאָזיציעס פֿון שטערן, פּלאַנעטן און אַנדערע הימלישע אָביעקטן אין באַצוג צו דער ערד אָדער דעם צענטער פֿון דער זון־סיסטעם.

4. פיזיש
אין פיזיק, זענען פאזיציע וועקטאָרן וויכטיג פֿאַר דער אַנאַליז פון באַוועגונג. למשל, אין דער אַנאַליז פון פּראָיעקטיל באַוועגונג, ווערן פאזיציע וועקטאָרן גענוצט צו באַשטימען די פּאָזיציע פון ​​אַן אָביעקט אין פֿאַרשידענע צייטן.

5. ראָבאָטיק
אין ראָבאָטיק, ווערן פּאָזיציע וועקטאָרן גענוצט צו קאָנטראָלירן אַ ראָבאָט'ס באַוועגונג. די וועקטאָרן העלפֿן דעם ראָבאָט באַשטימען זיין גענויע פּאָזיציע און ריכטונג פון באַוועגונג.

בייַשפּיל פֿראַגן און לייזונגען
די פאלגענדע איז א ביישפיל פראגע צו קלאר מאכן דאס פארשטאנד פון פאזיציע וועקטארן.

פראגע:
פונקט פּ איז ביי קאָאָרדינאַטן (2, 3) און פונקט ק איז ביי קאָאָרדינאַטן (5, 7) אין 2D פּלאַץ. באַשטימט דעם פּאָזיציע וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פונקט פּ מיט פונקט ק און רעכנט אויס די לענג פֿון דעם וועקטאָר.

לייזונג:
דער פאזיציע וועקטאָר \(\mathbf{PQ}\) איז דער וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פּונקט P מיט פּונקט Q. מיר קענען רעכענען די קאָמפּאָנענטן פֿון דעם וועקטאָר \(\mathbf{PQ}\) דורך אַראָפּרעכענען די קאָאָרדינאַטן פֿון P פֿון די קאָאָרדינאַטן פֿון Q:
\[
\mathbf{PQ} = (5 – 2)\mathbf{i} + (7 – 3)\mathbf{j} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}
\]

די לענג פון דעם פאזיציע וועקטאָר \(\mathbf{PQ}\) איז:
\[
|\מאטהבף{פּק}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

אַלזאָ, דער פּאָזיציע וועקטאָר וואָס פֿאַרבינדט פּונקט P מיט פּונקט Q איז 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j}\) און די לענג פֿון דעם וועקטאָר איז 5 איינהייטן.

קעסימפּולאַן
א פאזיציע וועקטאָר איז א פונדאַמענטאַלער באַגריף געניצט צו באַשרײַבן די לאָקאַציע פון ​​אַ פּונקט אין פּלאַץ. פֿאַרשטיין די קאָמפּאָנענטן און ווי צו רעכענען אַ פאזיציע וועקטאָר איז וויכטיק פֿאַר אַ ברייטע קייט פון פּראַקטישע אַפּליקאַציעס, פֿון נאַוויגאַציע ביז פֿיזישער אַנאַליז. פֿאַרשטיין די יסודות מאַכט עס גרינגער צו פֿאַרשטיין און אַפּליקירן דעם באַגריף פון פאזיציע וועקטאָרן אין וואָכעדיק לעבן און פּראָפעסיאָנעלע פֿעלדער.