דריי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן אין דער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם
הקדמה
א וועקטאָר איז אַ מאַטעמאַטישער אָביעקט וואָס האָט ביידע גרייס און ריכטונג. אין וואָכעדיקן לעבן ווערן וועקטאָרן אָפט גענוצט צו רעפּרעזענטירן פֿאַרשידענע פֿיזישע דערשיינונגען ווי גיכקייט, קראַפט און פֿאַרשייבונג. אין אַ דריי-דימענסיאָנאַלער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם ווערט אַ וועקטאָר רעפּרעזענטירט דורך דריי קאָמפּאָנענטן פֿאַרבונדן מיט די x, y און z אַקסן. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן די גרונטלעכע קאָנצעפּטן פֿון וועקטאָרן אין אַ דריי-דימענסיאָנאַלער קאַרטעזישער קאָאָרדינאַט סיסטעם, גרונטלעכע אָפּעראַציעס אויף וועקטאָרן, און עטלעכע פֿון זייערע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס.
דריי-דימענסיאָנעל קאַרטעזיש קאָאָרדינאַט סיסטעם
די דריי-דימענסיאָנאַלע קאַרטעזישע קאָאָרדינאַט סיסטעם באַשטייט פון דריי אַקסן פּערפּענדיקולאַר צו יעדער אַנדערער, נעמליך די x, y, און z אַקסן. דער אָנהייב (0,0,0) איז דער פּונקט וואו די דריי אַקסן טרעפן זיך. יעדער פּונקט אין דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ קען רעפּרעזענטירט ווערן ווי אַ טריפּלעט (x, y, z), וואו x איז די קאָאָרדינאַט אויף דער x-אַקס, y איז די קאָאָרדינאַט אויף דער y-אַקס, און z איז די קאָאָרדינאַט אויף דער z-אַקס.
וועקטאָר רעפּרעזענטאַציע
א וועקטאָר אין דריי-דימענסיאָנאַלן פּלאַץ ווערט געוויינטלעך רעפּרעזענטירט ווי \(\mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle\), וואו \(v_x\), \(v_y\), און \(v_z\) זענען די קאָמפּאָנענטן פון דעם וועקטאָר אויף די x, y, און z אַקסעס. למשל, דער וועקטאָר \(\mathbf{a} = \langle 3, 4, 5 \rangle\) האט קאָמפּאָנענטן \(a_x = 3\), \(a_y = 4\), און \(a_z = 5\).
וועקטאָר לענג
די לענג אדער גרייס פון דעם וועקטאָר \(\mathbf{v}\) קען אויסגערעכנט ווערן מיט דער פאָרמולע:
\[ \|\מאטהבף{וו}\| = \סקרט{וו_קס^2 + וו_י^2 + וו_ז^2} \]
למשל, פֿאַר דעם וועקטאָר \(\mathbf{a} = \langle 3, 4, 5 \rangle\), איז די לענג:
\[ \|\מאטהבף{אַ}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
גרונטלעכע אפעראציעס אויף וועקטאָרן
וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע
צולייגן צוויי וועקטאָרן ווערט געטאָן דורך צולייגן זייערע קאָמפּאָנענטן. אויב \(\mathbf{a} = \langle a_x, a_y, a_z \rangle\) און \(\mathbf{b} = \langle b_x, b_y, b_z \rangle\), דאַן:
\[ \mathbf{אַ} + \mathbf{ב} = \langle a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z \rangle \]
אין קאנטראסט, וועקטאָר רעדוקציע ווערט געטאן דורך סובטראַקירן זייַנע קאָמפּאָנענטן:
\[ \mathbf{a} – \mathbf{ב} = \langle a_x – b_x, a_y – b_y, a_z – b_z \rangle \]
סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע
מאַלטיפּליקאַציע פון אַ וועקטאָר מיט אַ סקאַלאַר ווערט געטאָן דורך מאַלטיפּליקירן יעדן קאָמפּאָנענט פון דעם וועקטאָר מיטן סקאַלאַר. אויב \(k\) איז אַ סקאַלאַר און \(\mathbf{a} = \langle a_x, a_y, a_z \rangle\), דאַן:
\[ k \mathbf{אַ} = \langle k a_x, k a_y, k a_z \rangle \]
וועקטאָר מולטיפּליקאַציע
פּונקט פּראָדוקט
דער פּונקט־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן פּראָדוצירט אַ סקאַלאַרן פּראָדוקט און ווערט גענוצט צו רעכענען ווי פּאַראַלעל צוויי וועקטאָרן זענען איינער צום אַנדערן. אויב \(\mathbf{a} = \langle a_x, a_y, a_z \rangle\) און \(\mathbf{b} = \langle b_x, b_y, b_z \rangle\), דאַן:
\[ \mathbf{אַ} \cdot \mathbf{ב} = אַ_קס ב_קס + אַ_י ב_י + אַ_ז ב_ז \]
קראָס פּראָדוקט
דער קראָס־פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן פּראָדוצירט אַ נײַעם וועקטאָר וואָס איז פּערפּענדיקולאַר צו ביידע אָריגינעלע וועקטאָרן. אויב \(\mathbf{a} = \langle a_x, a_y, a_z \rangle\) און \(\mathbf{b} = \langle b_x, b_y, b_z \rangle\), דאַן:
\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \langle a_y b_z – a_z b_y, a_z b_x – a_x b_z, a_x b_y – a_y b_x \rangle \]
אַפּליקאַציעס פון וועקטאָרן אין וואָכעדיק לעבן
פיזיק
אין פיזיק, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו רעפּרעזענטירן פֿאַרשידענע קוואַנטיטעטן, ווי קראַפט, גיכקייט און מאָמענטום. למשל, די גראַוויטאַציאָנעלע קראַפט וואָס אַקט אויף אַן אָביעקט איז געריכטעט צו דעם צענטער פֿון דער ערד און איר מאַגניטוד דעפּענדס אויף דער מאַסע פֿון דעם אָביעקט און דיסטאַנץ פֿון דעם צענטער. ניצנדיק וועקטאָרן, קענען מיר רעכענען די רעזולטאַנט קראַפט וואָס אַקט אויף אַן אָביעקט וואָס ווערט באַאיינפֿלוסט פֿון קייפל כוחות סיימאַלטייניאַסלי.
טעכניש
אין אינזשעניריע, ווערן וועקטאָרן גענוצט אין סטרוקטוראַלער אַנאַליז און מעכאַניק צו באַשטימען די כוחות וואָס ווירקן אויף אַ בנין אָדער מאַשין. אינזשענירן נוצן וועקטאָרן צו רעכענען די דריימאָמענטן, שפּאַנונגען און דעפאָרמאַציעס וואָס פּאַסירן אין פֿאַרשידענע מאַטעריאַלן אין אַ סטרוקטור.
קאָמפּיוטער גראַפיקס
אין קאָמפּיוטער גראַפיקס, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו רעפּרעזענטירן די פּאָזיציע, ריכטונג און באַוועגונג פון אָביעקטן אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ. וועקטאָרן זענען וויכטיק פֿאַר געאָמעטרישע טראַנספאָרמאַציעס ווי ראָטאַציע, טראַנסלאַציע און סקיילינג. ניצן וועקטאָרן קען מאַכן אַנימאַציעס און פיזיק סימולאַציעס מער רעאַליסטיש.
נאַוויגאַציע
אין נאַוויגאַציע, ווערן וועקטאָרן גענוצט צו באַשטימען די ריכטונג און דיסטאַנץ צווישן צוויי פונקטן. סאַטעליט נאַוויגאַציע סיסטעמען ווי GPS נוצן וועקטאָרן צו רעכענען די פּאָזיציע און טראַיעקטאָריע פון אַ פאָרמיטל אָדער שיף. ניצנדיק די אינפֿאָרמאַציע, קען מען באַשטימען די שנעלסטע אָדער קירצסטע מאַרשרוט.
קעסימפּולאַן
דריי-דימענסיאָנאַלע וועקטאָרן אין דעם קאַרטעזישן קאָאָרדינאַט סיסטעם זענען אַ יסודותדיקער באַגריף וואָס ווערט גענוצט אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט און טעכנאָלאָגיע. דורך פֿאַרשטיין די יסודות פֿון וועקטאָרן, די גרונטלעכע אָפּעראַציעס וואָס זיי קענען דורכפֿירן, און זייערע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן, קענען מיר נוצן דעם באַגריף צו סאָלווען אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון פּראַקטישע פּראָבלעמען. וועקטאָרן ניט נאָר פֿאַרפּשוטערן די רעפּרעזענטאַציע און אַנאַליז פֿון פֿיזישע דערשיינונגען, נאָר אויך באַפֿעסטיקן דעם וועג פֿאַר כידעש און דער אַנטוויקלונג פֿון נײַע, מער סאָפיסטיקירטע טעכנאָלאָגיעס.
