וואַריאַנס און סטאַנדאַרד דעוויאַציע פון איין דאַטן
סטאַטיסטיק איז די וויסנשאַפֿט וואָס שטודירט די זאַמלונג, אַנאַליז, אינטערפּרעטאַציע, פּרעזענטאַציע און אָרגאַניזאַציע פֿון דאַטן. איין וויכטיקער אַספּעקט פֿון סטאַטיסטיק איז ווי מיר מעסטן און פֿאַרשטיין וועריאַביליטי אין דאַטן. צוויי קריטישע מאָסן פֿון וועריאַביליטי זענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע אין טיפֿקייט, פֿאָקוסירנדיק אויף אַן איינציקן דאַטן-זאַמלונג, דערקלערן די דעפֿיניציעס, פֿאָרמולעס, קאַלקולאַציע-טרעטן און צושטעלן פּראַקטישע ביישפּילן צו קלעראַפֿיצירן די קאָנצעפּטן.
דעפֿיניציע פֿון וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויאַציע
וואַריאַן
וואַריאַנס איז אַ מאָס פון ווי ווייט דאַטן זענען פאַרשפּרייט פון די דורכשניט. עס גיט אַן איבערבליק פון די דייווערסיטי אָדער וואַריאַציע אין אַ דאַטן זאַמלונג. אין מאַטעמאַטישע טערמינען, וואַריאַנס איז די דורכשניט פון די קוואַדראַטן פון די דיווייישאַנז פון יעדער דאַטן נומער פון זיין דורכשניט.
סטאַנדאַרט דיווייישאַן
די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, אויך באַקאַנט ווי די סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, איז די קוואַדראַט וואָרצל פון דער וואַריאַנס. עס גיט אינפֿאָרמאַציע וועגן דער פאַרשפּרייטונג פון דאַטן אין די זעלבע איינהייטן ווי די אָריגינעלע דאַטן, מאַכנדיג עס גרינגער צו ינטערפּרעטירן אין פאַקטישע קאָנטעקסטן.
פאָרמולעס און קאַלקולאַציעס
וואַריאַן
צו רעכענען די וואַריאַנס (σ^2) פון אַן איינציקן דאַטן-זאַמלונג פון גרייס n, קענען מיר נוצן די פאלגענדע פאָרמולע:
[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
דימאַנאַ:
– \(x_i \) איז דער i-טער דאטן ווערט.
– \( \bar{x} \) איז דער דורכשניט אדער דורכשניט פון די דאַטן.
– n איז די צאָל דאַטן אין דעם סכום.
– (x_i – \bar{x})^2 איז דער קוואדראט פון דעם חילוק צווישן יעדן דאטן און זיין דורכשניט.
סטאַנדאַרט דיווייישאַן
די סטאַנדאַרט דיווייישאַן (σ) איז די קוואַדראַט וואָרצל פון די וואַריאַנס, אַזוי די פאָרמולע איז:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
קאַלקולאַציע טריט
שריט 1: רעכענען אויס דעם דורכשניט פון די דאַטן (מיטל)
דער ערשטער שריט איז צו רעכענען דעם דורכשניט (מיטל) פון די דאַטן זאַמלונג. דער דורכשניט ווערט אויסגערעכנט דורך צולייגן אַלע דאַטן ווערטן און צעטיילן מיט דער צאָל דאַטן ווערטן.
[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
שריט 2: רעכענען אויס דעם חילוק פון יעדן דאַטן סעט קעגן דעם דורכשניט
נאכדעם וואס מען באקומט דעם דורכשניט, איז דער נעקסטער שריט צו רעכענען דעם חילוק צווישן יעדן דאטן ווערט און דעם דורכשניט (דעוויאציע).
[ד_i = x_i – \bar{x} \]
שריט 3: קוואדראטירן יעדע אפוויכונג
דערנאך, קוואדראטיר יעדע דיוויאציע.
[ד_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
שריט 4: סומע אלע קוואדראטישע אפוויכונגען
לייג צו אלע קוואדראטישע רעזולטאטן פון דעם פריערדיגן שריט.
[ \sum_{i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
שריט 5: רעכענען אויס וואַריאַנס
טייל די סומע פון די קוואדראטן פון די דעוויאציעס מיט די צאל דאטן (n) צו באקומען די וואריאנץ.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
שריט 6: רעכענען אויס די סטאַנדאַרט דעוויאַציע
צום סוף, רעכנט אויס די סטאַנדאַרט דעוויאַציע דורך נעמען די קוואַדראַט וואָרצל פון די וואַריאַנס.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
קאַלקולאַציע בייַשפּיל
כדי צו קלארשטעלן דעם באַגריף פון רעכענען וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן, לאָמיר קוקן אויף דעם פאלגנדן בייַשפּיל. זאָגן מיר האָבן די פאלגנדע איין דאַטן זאַמלונג: 4, 8, 6, 5, 3.
שריט 1: רעכענען אויס דעם דורכשניט פון די דאַטן
[\bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
שריט 2: רעכענען אויס דעם חילוק פון יעדן דאַטן סעט קעגן דעם דורכשניט
דער אונטערשייד צווישן יעדן דאטן ווערט און דעם דורכשניט:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
שריט 3: קוואדראטירן יעדע אפוויכונג
דער קוואדראט פון יעדער אָפּנייגונג:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
שריט 4: סומע אלע קוואדראטישע אפוויכונגען
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
שריט 5: רעכענען אויס וואַריאַנס
[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
שריט 6: רעכענען אויס די סטאַנדאַרט דעוויאַציע
[ \sigma = \sqrt{2.96} \approx 1.72 \]
אַזוי, אין דעם בייַשפּיל, די וואַריאַנס פון די דאַטן איז 2.96, און די סטאַנדאַרט דיווייישאַן איז וועגן 1.72.
ינטערפּריטיישאַן
די וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דיווייישאַן געבן וויכטיקע אינפֿאָרמאַציע וועגן דער פאַרשפּרייטונג פון די דאַטן. אין דעם בייַשפּיל אויבן, אַ וואַריאַנס פון 2.96 ווייזט אַז די דורכשניטלעך קוואַדראַטישע דיווייישאַן פון די דאַטן ווערטן פון די דורכשניט איז 2.96. אַ סטאַנדאַרט דיווייישאַן פון 1.72 ווייזט אַז, אין דורכשניט, די דאַטן ווערטן דיוויירן מיט 1.72 איינהייטן פון די דורכשניט.
סטאַנדאַרט דעוויִאַציע איז גרינגער צו אינטערפּרעטירן ווײַל עס האט די זעלבע איינהייטן ווי די אָריגינעלע דאַטן. למשל, אין דעם קאָנטעקסט פון איינקונפט סטאַטיסטיק, אויב די דאַטן האָבן אַ סטאַנדאַרט דעוויִאַציע פון $500, מיינט עס אַז די דורכשניטלעכע איינקונפט ווייכט אָפּ מיט $500 פון די דורכשניטלעכע איינקונפט.
אַפּליקאַציע אין טעגלעך לעבן
פארשטיין וואריאנץ און סטאנדארט דעוויאציע קען ווערן גענוצט אין פארשידענע פעלדער. אין פינאנץ, קען מען ניצן סטאנדארט דעוויאציע צו מעסטן אינוועסטמענט ריזיקע. אין בילדונג, קען מען עס ניצן צו אפשאצן די וואריאציע אין טעסט רעזולטאטן צווישן סטודענטן. אין פאבריקאציע, קען עס העלפן אין קוואליטעט קאנטראל דורך מעסטן פראדוקציע וואריאציע.
קעסימפּולאַן
וואַריאַנס און סטאַנדאַרט דעוויִאַציע זענען צוויי וויכטיקע סטאַטיסטישע מכשירים פֿאַר פֿאַרשטיין וואַריאַביליטי אין אַ דאַטן-זאַמלונג. דורך רעכענען וואַריאַנס, קענען מיר באַשטימען ווי פֿאַרשפּרייט די דאַטן זענען. סטאַנדאַרט דעוויִאַציע, וואָס איז די קוואַדראַט וואָרצל פֿון דער וואַריאַנס, אָפפערט אַ מער אינטואיטיווע אינטערפּרעטאַציע און ווערט געמאָסטן אין די זעלבע איינהייטן ווי די אָריגינעלע דאַטן. דורך פֿאַרשטיין און קענען רעכענען די צוויי מאָסן, קענען מיר בעסער אַנאַליזירן דאַטן און מאַכן מער אינפֿאָרמירטע באַשלוסן.
