דעריוואַטיוו פון אַ פונקציע: באַגריף, אַפּליקאַציע און קאַלקולאַציע
די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע איז אַ יסודותדיקער באַגריף אין קאַלקולוס, מיט פֿילע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע פֿעלדער פֿון וויסנשאַפֿט, ווי פֿיזיק, עקאָנאָמיק, ביאָלאָגיע און אינזשעניריע. דורך פֿאַרשטיין די דעריוואַטיוו, קענען מיר אַנאַליזירן ווי אַ פֿונקציע ענדערט זיך ווען דער ווערט פֿון איר אומאָפּהענגיקער וואַריאַבלע ענדערט זיך. אין דעם אַרטיקל וועלן מיר באַהאַנדלען די גרונטפּרינציפּן פֿון דער דעריוואַטיוו, עטלעכע וויכטיקע כּללים און עטלעכע פּראַקטישע אַפּליקאַציעס.
דעפֿיניציע פֿון דעריוואַטיוון
די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע אין אַ געוויסן פּונקט איז די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון דער פֿונקציעס ווערט אין באַצוג צו דעם ווערט פֿון דער אומאָפּהענגיקער וואַריאַבלע אין יענעם פּונקט. פֿאָרמעל, אויב \(f(x) \) איז אַ פֿונקציע, דאַן ווערט די דעריוואַטיוו פֿון \(f \) ביי \(x = a \) באַצייכנט מיט \(f'(a) \) אָדער \(\frac{d}{dx} f(x) \bigg|_{x=a} \). די דעפֿיניציע ווערט אויסגעדריקט ווי אַ לימיט:
[f'(a) = θ_{Δx = θ} \frac{f(a + Δx) – f(a)}{Δx}]
דאָ, Δx איז די קליינע ענדערונג אין x, און (f(a + Δx) – f(a)) איז די קליינע ענדערונג אין דער פונקציע (f) צוליב דער ענדערונג אין x).
קאַלקולירן דעריוואַטיוון: עטלעכע גרונטלעכע כּללים
צו רעכענען דעריוואַטיוון, זענען דא עטלעכע גרונטלעכע כּללים וואָס מיר קענען נוצן:
1. קאָנסטאַנטע הערשאפט
אויב f(x) = c), וואו c איז אַ קאָנסטאַנט, דאַן:
\[ f'(x) = 0 \]
למשל, אויב \(f(x) \) = 5 \), דעמאָלט איז די דעריוואַטיוו פון \(f(x) \) 0.
2. ראַנג כּללים
אויב \(f(x) = x^n \), וואו \(n \) איז אַ גאַנצע צאָל, דעמאָלט:
[f'(x) = nx^{n-1}]
למשל, אויב \(f(x) = x^3 \), דעמאָלט:
\[ f'(x) = 3x^2 \]
3. נומער כּללים
אויב f(x) = g(x) + h(x)), דעמאָלט:
[f'(x) = g'(x) + h'(x)]
למשל, אויב \(f(x) = x^2 + 3x \), דעמאָלט:
\[ f'(x) = 2x + 3 \]
4. פּראָדוקט כּללים
אויב f(x) = g(x) ⋅ h(x)), דעמאָלט:
[f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)]
למשל, אויב \(f(x) = x^2 \cdot \sin(x) \), דעמאָלט:
[f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cos(x)]
5. קייטן הערשן
אויב \(f(x) = g(h(x)) \), דעמאָלט:
[f'(x) = g'(h(x)) ⋅h'(x)]
למשל, אויב \(f(x) = \sin(x^2) \), דעמאָלט:
[f'(x) = ∫cos(x^2)∫2x]
אַפּליקאַציע פון פונקציע דעריוואַטיוון
די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע האָט פֿאַרשידענע אַפּליקאַציעס אין דער ווירקלעכקייט און אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע דיסציפּלינעס. דאָ זענען עטלעכע ביישפּילן פֿון אירע אַפּליקאַציעס:
1. פיזיק
אין פיזיק, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו באַשטימען גיכקייט און אַקסעלעראַציע. לאָמיר זאָגן אַז די פּאָזיציע פון אַן אָביעקט ווי אַ פֿונקציע פון צייט ווערט געגעבן דורך s(t)). דעמאָלט איז די גיכקייט, v(t), די ערשטע דעריוואַטיוו פון דער פּאָזיציע:
\[ v(t) = s'(t) \]
בשעת אַקסעלעראַציע, \(a(t) \), איז די צווייטע דעריוואַטיוו פון פּאָזיציע:
\[ a(t) = s”(t) = v'(t) \]
למשל, אויב s(t) = 4t^2), דעמאָלט איז די גיכקייט v(t) = 8t און די אַקסעלעראַציע איז a(t) = 8.
2. עקאנאמיע
אין עקאנאמיק, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט צו אנאליזירן מאַרדזשינאַל קאָסטן און מאַרדזשינאַל איינקונפט. לאָמיר זאָגן אַז \( C(x) \) איז די גאַנץ קאָסטן פונקציע פֿאַר פּראָדוצירן \( x \) איינהייטן פון פּראָדוקט. מאַרדזשינאַל קאָסטן, \( MC(x) \), איז די ערשטע דעריוואַטיוו פון גאַנץ קאָסטן:
\[MC(x) = C'(x) \]
אזוי אויך, אויב \(R(x) \) איז די גאַנצע איינקונפט פונקציע פון פארקויפן \(x \) איינהייטן פון פּראָדוקט, דעמאָלט איז מאַרדזשינאַל איינקונפט, \(MR(x) \), די ערשטע דעריוואַטיוו פון גאַנצע איינקונפט:
\[ MR(x) = R'(x) \]
3. ביאָלאָגיע
אין ביאלאגיע, ווערן דעריוואטיוון גענוצט צו מאָדעלירן באַפעלקערונג וואוקס. לאָמיר זאָגן אַז \(P(t) \) איז די באַפעלקערונג אין צייט \(t \), דעמאָלט איז די באַפעלקערונג וואוקס ראטע די דעריוואט פון \(P(t) \):
\[ פּ'(ט) \]
דאָס ערלויבט ביאָלאָגן צו פֿאַרשטיין ווי פּאָפּולאַציעס ענדערן זיך איבער צייט און וואָס פֿאַקטאָרן השפּעה האָבן אויף זיי.
4. טעכניק
אין אינזשעניריע, ווערן דעריוואַטיוון גענוצט אין דער אַנאַליז און פּלאַן פון קאָנטראָל סיסטעמען. למשל, אין דער פּלאַן פון אַ PID (פּראָפּאָרציאָנעל-אינטעגראַל-דעריוואַטיוו) קאָנטראָל סיסטעם, גיט דער דעריוואַטיוו קאָמפּאָנענט אַ רעאַקציע וואָס איז אָפּהענגיק פון דער ראַטע פון ענדערונג פון דער טעות. דאָס העלפֿט פֿאַרבעסערן די סיסטעם'ס טראַנזיענט רעאַקציע און רעדוצירן אָוווערשוט.
פראבלעמען לייזן: פראקטישע ביישפילן
צו פארטיפן אונזער פארשטאנד פון דעריוואטיוון, לאָמיר קוקן אויף עטלעכע בייַשפּיל פֿראַגעס.
בייַשפּיל 1:
געפינט די דעריוואטיוו פון \( f(x) = 5x^3 – 3x^2 + 6x – 2 \).
לייזונג:
ניצט די עקספּאָנענט און סומע כּללים:
\[ f'(x) = 15x^2 – 6x + 6 \]
בייַשפּיל 2:
רעכנט אויס די דעריוואַטיוו פון \( f(x) = (3x^2 + 2x)(\sin(x) \).
לייזונג:
ניצן פּראָדוקט כּללים:
\[ f(x) = u(x)v(x) \]
וואו \(u(x) = 3x^2 + 2x \) און \(v(x) = \sin(x) \)
\[ u'(x) = 6x + 2 \]
[v'(x) = \cos(x)]
אַזוי:
[f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = (6x + 2) \sin(x) + (3x^2 + 2x) \cos(x) \]
קעסימפּולאַן
די דעריוואַטיוו פֿון אַ פֿונקציע איז אַ שטאַרק געצייַג אין מאַטעמאַטיק און האָט פֿילע אַפּליקאַציעס אין פֿאַרשידענע דיסציפּלינעס. פֿאַרשטיין ווי צו רעכענען דעריוואַטיוון און זיי אָנווענדן אין רעאַלע סיטואַציעס איז וויכטיק ניט נאָר אין טעאָריע, נאָר אויך אין טעגלעכער וויסנשאַפֿטלעכער און אינזשעניריע פּראַקטיק. דורך פֿאַרשידענע גרונט־רעגולאַציעס און פּראַקטישע ביישפּילן, קענען מיר באַהערשן דעם באַגריף פֿון דער דעריוואַטיוו און עס נוצן צו אַנאַליזירן ענדערונגען און פֿאָרויסזאָגן רעזולטאַטן אין אַ פֿאַרשיידנקייט פֿון קאָנטעקסטן.
