דריי טריגאָנאָמעטרישע פאַרהעלטענישן
טריגאָנאָמעטריע איז אַ צווייַג פֿון מאַטעמאַטיק וואָס שטודירט די באַציִונג צווישן ווינקלען און זײַט־לענג אין אַ דרייַעק. אין וואָכעדיקן לעבן טרעפֿן מיר אָפֿט טריגאָנאָמעטרישע קאָנצעפּטן, אַרײַנגערעכנט אינזשעניריע, פֿיזיק, אַסטראָנאָמיע, און אַפֿילו פּשוטע אַפּליקאַציעס ווי מאָדעלירן אָדער אַנימאַציע. איינער פֿון די יסודותדיקע עלעמענטן פֿון טריגאָנאָמעטריע וואָס ווערט אָפֿט גענוצט איז די טריגאָנאָמעטרישע פּראָפּאָרציע־פֿונקציעס, וואָס באַשטייען פֿון דרײַ הויפּט־פֿונקציעס: סינוס (sin), קאָסינוס (cos), און טאַנגענט (tan).
סינוס (זינד)
סינוס איז איינע פון די יסודות'דיגע טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס. פאר א ווינקל $θ$ אין א רעכטן דרייעק, ווערט דער סינוס דעפינירט אלס די פראפארציע צווישן דער לענג פון דער זייט קעגן איבער דעם ווינקל $θ$ (די קעגן איבערגעקערטע זייט) און דער לענג פון דער היפאטענוז.
\[
\טעקסט{זינד}(θ) = \frac{\text{אויסער זייַט}}{\טעקסט{היפּאָטענוס}}
\]
קאָנצעפּט און אַפּליקאַציע
די סינוס פונקציע איז קריטיש אין א ברייטע פאַרשיידנקייט פון אַפּליקאַציעס. אין פיזיק, למשל, ווערט דער סינוס גענוצט אין סינוסאָידאַל כוואַליע מאָדעלן וואָס באַשרייבן ליכט, קלאַנג און אַנדערע עלעקטראָמאַגנעטישע כוואַליעס. אין אינזשעניריע ווערט דער סינוס גענוצט פֿאַר ווייבריישאַן אַנאַליז און AC קרייז פּלאַן.
שטעלט זיך פאר אז איר קלעטערט אויף א בארג ביי א געוויסן ווינקל. אויב מיר ווייסן די לענג פון דעם שיפּוע פון דעם וועג וואס מיר קלעטערן און ווילן וויסן די הייך וואס מיר האבן דערגרייכט, קענען מיר ניצן די סינוס פונקציע, וויסנדיק דעם ווינקל פון הייך און די לענג פון דעם וועג.
קאָסינוס (קאָס)
דער קאָסינוס איז נאָך אַן גלייך וויכטיקע טריגאָנאָמעטרישע פונקציע. פֿאַר אַ ווינקל $θ$ אין אַ רעכטן דרייַעק, ווערט דער קאָסינוס דעפינירט ווי די פאַרהעלטעניש פון דער לענג פון דער זייט וואָס איז נעבן דעם ווינקל $θ$ (די נעבן זייט) צו דער לענג פון דער היפּאָטענוז.
\[
\text{cos}(θ) = \frac{\text{די שכנותדיקע זייט}}{\text{היפּאָטענוזע}}
\]
קאָנצעפּט און אַפּליקאַציע
דער קאָסינוס, ווי דער סינוס, האט אסאך אנווענדונגען אין פארשידענע פעלדער. אין פיזיק, ווערט דער קאָסינוס גענוצט צו מעסטן די האָריזאָנטאַלע קאָמפּאָנענט פון אַ וועקטאָר. למשל, אויב מיר וואַרפן אַ באַל אין אַ געוויסן ווינקל צו דער ערד און ווילן וויסן ווי ווייט ער גייט האָריזאָנטאַל, קענען מיר נוצן די קאָסינוס פונקציע.
נאך א ביישפיל איז אין גראפישן דיזיין און קאמפיוטער אנימאציע. דא ווערט די קאסינוס פונקציע גענוצט פאר ראטאציע פון דריי-דימענסיאנעלע אביעקטן און קאארדינאט טראנספארמאציעס.
טאַנגענט (טאַן)
טאַנגענט איז די דריטע טריגאָנאָמעטרישע פונקציע וואָס איז ענג פֿאַרבונדן מיט סינוס און קאָסינוס. פֿאַר אַ ווינקל $θ$ אין אַ רעכטן דרייַעק, ווערט דער טאַנגענט דעפינירט ווי די פּראָפּאָרציע צווישן דער לענג פֿון דער זײַט קעגן דעם ווינקל $θ$ (די קעגן-זײַט) און דער לענג פֿון דער זײַט וואָס איז נעבן דעם ווינקל $θ$ (די נעבן-זײַט).
\[
טאַן (θ) = פֿראָנט זײַט (פֿראָנט זײַט) און זײַט זײַט
\]
קאָנצעפּט און אַפּליקאַציע
טאַנגענטן ווערן אָפט גענוצט צו רעכענען די הייך פון אָביעקטן אָדער שלעפֿן, וואָס איז זייער נוצלעך אין געאָגראַפֿיע און ציוויל אינזשעניריע. למשל, אַ סורוועיער וואָס וויל וויסן די הייך פון אַ בנין דאַרף נאָר מעסטן די דיסטאַנץ פון זיך צום בנין און דעם ווינקל פון הייך פון זיין קוקווינקל. דורך נוצן דעם טאַנגענט פון יענעם ווינקל און די באַקאַנטע דיסטאַנץ, קען מען לייכט רעכענען די הייך פון דעם בנין.
דערצו ווערט דער טאנגענט אויך גענוצט אין נאַוויגאַציע צו באַשטימען ריכטונג און אַזימוט. אין אַוויאַציע ווערט דער טאנגענט גענוצט צו רעכענען עפעקטיווע פלי-וועגן, נעמענדיג אין באַטראַכט ווינט און אַנדערע עקסטערנע פאַקטאָרן.
די באַציִונג צווישן די דריי
סינוס, קאסינוס, און טאנגענט האבן א נאנטע מאטעמאטישע באציאונג. איינע פון די מערסט באקאנטע טריגאנאָמעטרישע אידענטיטעטן איז די פיטאגארישע אידענטיטעט, וואס פארבינדט סינוס און קאסינוס אין א גלייכונג:
\[
\טעקסט{זינד}^2(θ) + \טעקסט{קאָס}^2(θ) = 1
\]
דעמאָלט איז דאָ אַ דירעקטע באַציִונג צווישן טאַנגענט, סינוס און קאָסינוס:
\[
\text{טאַן}(θ) = \frac{\text{sin}(θ)}{\text{cos}(θ)}
\]
עס ווייזט ווי די דריי פונקציעס זענען פארבונדן איינע מיט די אנדערע אין פארשידענע טריגאָנאָמעטרישע קאנטעקסטן.
מעמאָריזאַציע און געדענקען טעקניקס
אויסווייניג לערנען די ווערטן און באציאונגען צווישן טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס קען זיין א שוועריקייט. איין פאפולערע אויסווייניג לערנען טעכניק איז דורך ניצן טריגאָנאָמעטרישע טאבעלעס אדער mnemonic devices. איין באוואוסטע mnemonic איז SOH-CAH-TOA, וואס שטייט פאר:
– SOH: סינוס = פאַרקערט / היפּאָטענוז
– CAH: קאָסינוס = צוגעבונדן / היפּאָטענוז
– TOA: טאַנגענט = פאַרקערט / צוגעבונדן
די מעטאָדע העלפֿט סטודענטן געדענקען די גרונט־דעפֿיניציעס פֿון יעדער טריגאָנאָמעטרישער פֿונקציע.
נאַוויגירן דורך גראַפיקס
גראַפיקס פון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס געבן אויך א וויכטיקע וויזועלע פּערספּעקטיוו. די גראַפיקס פון סינוס און קאָסינוס, למשל, זענען איבערחזרנדיקע כוואַליעס מיט א פּעריאָד פון $2π$. א סינוס כוואַליע הייבט זיך אָן ביי 0, גייט ארויף צו 1, פאלט צו -1, און קערט זיך צוריק צו 0, שאַפֿנדיק א קאָנסיסטענטן ציקל.
דער טאַנגענט גראַף, פֿון דער אַנדערער זײַט, פֿירט זיך אַנדערש ווײַל ער איז נישט דעפֿינירט בײַ די ווינקלען $π/2$, $3π/2$, און אַזוי ווײַטער. דער טאַנגענט גראַף האָט אַסימפּטאָטן וואָס דערנענטערן זיך צו פּאָזיטיוון אָדער נעגאַטיוון אומענדלעכן בײַ די ווינקלען.
דורך פֿאַרשטיין די גראַפֿן, קענען מיר גרינגער וויזואַליזירן און פֿאַרשטיין דאָס נאַטור פֿון טריגאָנאָמעטרישע פונקציעס אין פֿאַרשידענע קאָנטעקסטן.
די שוועריקייטן און שפּאַס פון לערנען טריגאָנאָמעטריע
כאָטש טריגאָנאָמעטריע קען אויסזען שווער, קען פֿאַרשטיין די טריגאָנאָמעטרישע פֿונקציעס - סינוס, קאָסינוס און טאַנגענט - עפֿענען טירן אין פֿילע וויסנשאַפֿטלעכע פֿעלדער און אָנבאָטן פּראַקטישע אַפּליקאַציעס אין וואָכעדיקן לעבן. דער שליסל איז צו פֿאַרשטיין די גרונטלעכע דעפֿיניציעס, די באַציִונגען צווישן יעדער פֿונקציע און ווי זיי קענען ווערן אָנגעווענדט צו סאָלווען פּראָבלעמען אין דער רעאַלער וועלט.
רעגולערע פּראַקטיק און די נוצן פון מכשירים ווי טאַבעלעס און גראַפיקס וועט זייער העלפֿן צו פֿאַרשטיין די קאָנצעפּטן. אין דעם דיגיטאַלן עלטער, קענען פילע אָנליין אַפּפּס און מכשירים פֿאַרלייכטערן דעם לערנען פּראָצעס, אַזאַ ווי טריגאָנאָמעטריע קאַלקולאַטאָרן און ינטעראַקטיווע גראַפֿישע וויזואַליזאַציעס.
קעסימפּולאַן
סינוס, קאסינוס, און טאנגענט זענען די אומצוטיילנדיקע טריגאנאָמעטריע. דורך פארשטיין די באציאונג צווישן ווינקלען און זייט לענג אין טרייענגלעך, פארשטייען מיר אויך ווי די וועלט ארום אונז ארבעט - פון די באוועגונג פון פלאנעטן, ביז די ווייבראציעס פון כוואליעס, ביז די סטרוקטור פון געביידעס. טריגאנאָמעטריע לערנט אונז אז מאטעמאטיק איז נישט נאר וועגן נומערן, נאר אויך וועגן א טיפערן פארשטאנד פון די אוניווערס. דעריבער, באהערשן די יסודות'דיגע קאנצעפטן איז א וויכטיגער שריט צו באהערשן ברייטערע פעלדער פון וויסן.
