וועקטאָר נאָטאַציע טערמינאָלאָגיע און טיפּן
ווען מען דיסקוטירט מאטעמאטיק, פיזיק, און קאמפיוטער וויסנשאפט, איז דער קאנצעפט פון וועקטארן אפט א קריטישער עלעמענט צו פארשטיין. וועקטארן זענען נישט נאר אבסטראקטע קאנצעפטן; זיי זענען רעלאוואנט אין א פארשיידנקייט פון פראקטישע סיטואציעס, ווי דאטן אנאליז, קאמפיוטער גראפיקס, און פיזיק סימולאציעס. אין דעם ארטיקל וועלן מיר דיסקוטירן וועקטאר טערמינאלאגיע און נאטאציע, און דערנאך וועלן מיר אויספארשן די פארשידענע טיפן וועקטארן וואס מען געפינט אין די דיסציפלינעס.
וועקטאָר טערמינאָלאָגיע און נאָטאַציע
1. וועקטאָרן און סקאַלאַרן
א וועקטאָר איז אַ מאַטעמאַטישע ענטיטי וואָס האט ביידע מאַגניטוד און ריכטונג. אין קאַנטראַסט, אַ סקאַלאַר איז אַן איינציקער ווערט וואָס האט בלויז מאַגניטוד און קיין ריכטונג. למשל, אַ גיכקייט פון 5 מעטער/סעקונדע אָן אָנווייַזן ריכטונג איז אַ סקאַלאַר, בשעת אַ גיכקייט פון 5 מעטער/סעקונדע מזרח איז אַ וועקטאָר.
2. וועקטאָר נאָטאַציע
וועקטאָרן ווערן געוויינטלעך באַצייכנט מיט אַ פעטן קליינעם אות ווי v, אָדער מיט אַ פײַל איבערן אות ווי \(\vec{v}\). למשל, אויב מיר האָבן אַ וועקטאָר v וועמענס עלעמענטן זענען \(v_1, v_2, v_3\), דעמאָלט קען דאָס געשריבן ווערן ווי:
\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \]
נאך א וועג צו שרייבן וועקטאָרן, ספּעציעל אין צוויי- אדער דריי-דימענסיאָנעלע קאָנטעקסטן, איז צו נוצן א סטאַנדאַרט באַזע. למשל:
\[ \vec{v} = v_1\hat{i} + v_2\hat{j} + v_3\hat{k} \]
וואו \(\hat{i}, \hat{j}\) און \(\hat{k}\) זענען איינהייט וועקטאָרן אויף די x, y, און z אַקסעס.
טיפּן פון וועקטאָרן
1. פּאָזיציע וועקטאָר
א פאזיציע וועקטאָר איז א וועקטאָר וואָס באַשרײַבט די פאזיציע פון א פּונקט אין פּלאַץ אין באַצוג צו א רעפערענץ פּונקט, געוויינטלעך פּונקט O (דער אָנהייב). אויב פּונקט P האט קאָאָרדינאַטן (x, y, z) אין 3D פּלאַץ, דעמאָלט קען דער פאזיציע וועקטאָר \(\vec{r}\) אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]
2. פארשייבונג וועקטאָר
א פארשייבונג וועקטאָר באַשרײַבט די ענדערונג אין פּאָזיציע פֿון אַ פּונקט פֿון איין פּאָזיציע צו אַן אַנדערער. לאָמיר זאָגן אַז פּונקט A האָט קאָאָרדינאַטן (x1, y1, z1) און פּונקט B האָט קאָאָרדינאַטן (x2, y2, z2). דער פארשייבונג וועקטאָר \(\vec{d}\) פֿון A צו B קען געשריבן ווערן ווי:
\[ \vec{d} = (x2 - קס1)\האַט{איך} + (י2 -י1)\האַט{דזש} + (ז2 - ז1)\האַט{ק} \]
3. גיכקייט וועקטאָר
שנעלקייט איז א וועקטאָר וואָס ווײַזט די ראַטע פון ענדערונג פון פּאָזיציע פון אַן אָביעקט פּער צײַט־איינהייט. אויב \(\vec{r}(t)\) איז אַ פֿונקציע פון פּאָזיציע אין באַצוג צו צײַט, איז דער שנעלקייט־וועקטאָר \(\vec{v}(t)\) די דעריוואַטיוו פון \(\vec{r}(t)\) אין באַצוג צו צײַט t:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]
4. אַקסעלעראַציע וועקטאָר
דער אַקסעלעראַציע וועקטאָר איז די דעריוואַט פֿון דעם גיכקייט וועקטאָר אין באַצוג צו צייט. עס ווײַזט די ראַטע פֿון ענדערונג פֿון אַן אָביעקט'ס גיכקייט פּער איינהייט צייט. אויב \(\vec{v}(t)\) איז אַ פֿונקציע פֿון גיכקייט אין באַצוג צו צייט, איז דער אַקסעלעראַציע וועקטאָר \(\vec{a}(t)\) די דעריוואַט פֿון \(\vec{v}(t)\):
[\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]
5. קראַפט וועקטאָר
לויט ניוטאן'ס צווייטן געזעץ, איז קראַפט דער פּראָדוקט פון מאַסע און אַקסעלעראַציע. קראַפט איז אויך אַ וועקטאָר ווייל עס האט ביידע גרייס און ריכטונג. אויב m איז די מאַסע און \(\vec{a}\) איז דער אַקסעלעראַציע וועקטאָר, דעמאָלט קען דער קראַפט וועקטאָר \(\vec{F}\) אויסגעדריקט ווערן ווי:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
6. איינהייט וועקטאָר
אן איינהייט וועקטאָר איז א וועקטאָר וואָס האט אַ מאַגניטוד (לענג) פון איינס. דער איינהייט וועקטאָר פון אַ וועקטאָר \(\vec{v}\) קען מען באַקומען דורך צעטיילן \(\vec{v}\) מיט זיין מאַגניטוד. אויב \(\vec{v}\) האט אַ מאַגניטוד פון \(||\vec{v}||\), דעמאָלט קען זיין איינהייט וועקטאָר געשריבן ווערן ווי:
\[ \האט{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]
7. נול וועקטאָר
א נול וועקטאָר איז אַ וועקטאָר וועמענס קאָמפּאָנענטן זענען אַלע נול, און ווערט געוויינטלעך באַצייכנט מיט \(\vec{0}\). דער וועקטאָר האט נישט קיין ריכטונג און זיין מאַגניטוד איז נול. א ביישפּיל אין דריי-דימענסיאָנעלן פּלאַץ איז:
\[ \vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]
8. אָרטאָגאָנאַלע וועקטאָרן
צוויי וועקטאָרן ווערן געזאָגט צו זיין אָרטאָגאָנאַל אויב זייער אינערלעכער פּראָדוקט איז נול. אויב \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\) זענען צוויי וועקטאָרן, דאַן זענען זיי אָרטאָגאָנאַל אויב:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]
9. קאָלינעאַרע וועקטאָרן און קאָפּלאַנאַרע וועקטאָרן
צוויי וועקטאָרן ווערן געזאָגט צו זיין קאָלינעאַר אויב זיי ליגן אויף דער זעלבער גלייכער ליניע אָדער זענען פּאַראַלעל. זיי קענען אויסגעדריקט ווערן ווי סקאַלאַרע קייפל פון יעדן אַנדערן. למשל:
\[ \vec{v} = k\vec{u} \]
פֿאַר עטלעכע סקאַלאַר \(k\).
דערווייל, דריי וועקטאָרן ווערן געזאָגט צו זיין קאָפּלאַנאַר אויב זיי ליגן אין דער זעלבער פלאַך. זיי קענען אויסגעדריקט ווערן ווי אַ לינעאַרע קאָמבינאַציע פון די אַנדערע צוויי וועקטאָרן.
אָפּעראַציעס אויף וועקטאָרן
1. וועקטאָר אַדיציע און סובטראַקציע
וועקטאָר אַדיציע ווערט געטאָן דורך אַדיציע זייערע קאָרעספּאָנדירנדיקע קאָמפּאָנענטן. אויב \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) און \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), דאַן:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \end{pmatrix} \]
סובטראַקציע ווערט געטאָן דורך סובטראַקירן די קאָרעספּאָנדירנדיקע קאָמפּאָנענטן:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \end{pmatrix} \]
2. סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע
סקאַלאַרע מולטיפּליקאַציע איז אַן אָפּעראַציע וואָס נעמט אַרײַן אַ וועקטאָר מיט אַ סקאַלאַרע (נומערישער ווערט). אויב k איז אַ סקאַלאַרע און \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), דאַן:
\[ k\vec{v} = \begin{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \\end{pmatrix} \]
3. אינערער פּראָדוקט (דאָט פּראָדוקט)
דער אינערלעכער פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\) איז אַ סקאַלאַר. מען קען עס אויסרעכענען דורך:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]
4. קראָס פּראָדוקט
דער קראָס פּראָדוקט פֿון צוויי וועקטאָרן \(\vec{u}\) און \(\vec{v}\) פּראָדוצירט אַ נײַעם וועקטאָר וואָס איז אָרטאָגאָנאַל צו ביידע וועקטאָרן. אין אַ דריי-דימענסיאָנאַלן אָרט ווערט דאָס אויסגערעכנט ווי:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}
\האט{i} און \האט{j} און \האט{k} \\
u_1 און u_2 און u_3 \\
v_1 און v_2 און v_3
\ענד{vmatrix} \]
קעסימפּולאַן
פֿאַרשטיין וועקטאָר טערמינאָלאָגיע און נאָטאַציע, ווי אויך זייערע טיפּן, איז קריטיש אין פֿאַרשידענע וויסנשאַפֿטלעכע דיסציפּלינעס. וועקטאָרן זענען נישט נאָר אַבסטראַקטע מאַטעמאַטישע ענטיטעטן, נאָר אויך שטאַרקע מכשירים אין פֿיזיק, אינזשעניריע און אינפֿאָרמאַציע טעכנאָלאָגיע אַנאַליז. מיט אַ גוטן פֿאַרשטאַנד פֿון די יסודותדיקע קאָנצעפּטן, קענען מיר גרינגער זיך אָננעמען מיט קאָמפּליצירטע פּראָבלעמען אין אַ ברייטן קייט פֿון פֿעלדער.
